Transcript mat_cw04 (ok. 1,04 MB)

Ćwiczenie IV. „Sumowanie do nieskończoności” - całki
i ich zastosowania
•
Strona internetowa ćwiczeń:
http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112
Większość czynności/operacji matematycznych ma
czynności/operacje odwrotne – „odwracające” wynik. Czynnością
odwrotną w stosunku do różniczkowania (znajdowania pochodnej)
jest „antypochodna”, czyli całka nieoznaczona pochodnej f(x), czyli:
F(x) =  f(x)dx . (niżej – „c”, „C” – stała całkowania! b. ważne!)
Jest to czynność odwracająca wynik różniczkowania. Z definicji tej,
można bezpośrednio wyprowadzić niektóre równania na całki nieoznaczone, np.: dx = x + c,
xndx = xn+1/(n + 1) + c,
eaxdx = eax/a + c,
0dx = c,
xdx = 2/3x3 + c,
sin(x)dx = -cos(x) + c,
cos(x)dx = sin(x) + c,
tan(x)dx = -ln|cos(x)| + c,
ctg(x)dx = ln|sin(x)| + c .
Podstawowe prawa całkowania:
Całka z iloczynu funkcji przez stałą: a.f(x)dx=a.f(x)d(x), gdzie aR;
Całka z sumy (różnicy) funkcji: [f(x)  g(x)] = f(x)dx  g(x)dx .
Różniczkowanie: proste – całkowanie – nie. Pomocne w całkowaniu
bywają programy komputerowe, ale też nie zawsze. Ważną metodą
całkowania jest całkowanie przez części; jej podstawą jest wzór na
pochodną iloczynu:
d(uv)/dx = u(x)dv/dx + v(x)du/dx . Całkowanie obu stron daje:
d(uv)/dx = u(x)dv + v(x)du
u(x)v(x) = u(x)dv + v(x)du; najczęściej jest to zapisywane następująco:
udv = uv – vdu . Ozn. to, że nawet wtedy, gdy nie możemy scałkować
bezpośrednio, ale możemy wyrażenie przekształcić w iloczyn (nawet
uwzględniający mnożenie przez 1) – możemy spróbować scałkować
II-gi czynnik iloczynu. Przykład: całkowanie funkcji y = ln(x); w tym celu
definiujemy 2 nowe funkcje: u = ln(x) i v = x. Dlatego: y = u i dv = dx.
Ponadto: du/dx = 1/x lub du = (1/x)dx; teraz można scałkować:
ln(x)dx = udv = uv – vdu = xln(x) – x(1/x)dx = xln(x)
–x+c
2
Taki sam wynik – przy użyciu programów typu Mathematica czy wxMaxima. Należy wtedy pamiętać, że: programy nie dodają stałej „c” („C”),
poza tym logarytmy naturalne są tam domyślne i „jedyne”
[log(x)=ln(x)].
Całkowanie y=x.ex: – przyjmujemy: u = x – to daje du = dx. Zakładamy
też, że v = ex , co daje: dv = exdx. Wtedy:
xexdx = udv = xex – exdx = xex – ex + c.
Inny problem: zmiany wielkości populacji komórek bakterii w hodowli, w zależności od czasu. Wielkość zmiany jest a do liczby obecnych
komórek bakterii (10000 kom. wytwarza 10000 nowych kom., 1000000
– 1000000 nowych, etc.). Dlatego Nt+1 = rNt. Populacja wzrasta proporcjonalnie do wyjściowej wielkości populacji. Proces ten można modelować za pomocą równania różnicowego lub różniczkowego w formie:
 N (t )
dN ( t )
 rN ( t )
 rN ( t )
t
lub
.
dt
Jaka jest całkowita liczba komórek bakterii po upływie czasu b? W celu obliczenia całkowitej liczby bakterii Ntotal, należy najpierw rozwiązać tzw. równanie różniczkowe:
Mnożymy obydwie strony przez
dN ( t )
 rN ( t ) dt, dzielimy przez N(t) i całkudt
jemy.:

1

Wiadomo, że: d[ln(x)]/dx = 1/x.
N
Pochodna rt = r. Po rozwiązaniu: ln(N) + c1 = rt + c2,
N = Cert, C zawiera obie stałe całkowania.
Czym jest C? Jeżeli przyrównamy je do 0,
to uzyskamy: N0 = C, co prowadzi do:
N = N0ert. Rys. obok (dolny) zawiera wykres zależności Nt od czasu (t) od t = a
(punkt początkowy) do czasu b. W czasie
t0, liczba bakterii wynosiła N0 = c, a po upływie pewnego czasu t,
liczba ta wynosiła oczywiście: N1 = c + f(t0) + f(t1) = f(t0) + f(t0 + t).
Po upływie 2 odstępów czasu, liczba ta będzie równa:
N1 = c + f(t0) + f(t1) + f(t2) = f(t0) + f(t0 + t) + f(t0 + 2t). Jeżeli podzielimy cały zakres czasu od a do b na n małych zakresów czasu x, to
n
całkowita liczba bakterii będzie:
dN 
rdt
N total

 f ( i ) x
i 1
Jest to przedstawione na rys. obok: powierzchnia pod wykresem funkcji, jest sumą wszystkich składników. Mając na uwadze, że całka nieoznaczona, to: F(x) = f(x)dx, czyli:
dF
 lim
dx
F(x  x)  F(x)
0
x
d


f ( x ) dx
 f (x)
dx
lub: F(x + x) – F(x)  f(x)x
Wprowadzamy tę zależność do równania
n 1
n 1
n 1
na Ntotal i uzyskujemy:
Na powyższym rysun- N
[ F( i   i )  F ( i )] 
F (i   i) 
F (i)
total 
ku oznaczamy przei 1
i1
i1
działy czasowe jako:
1, 2, 3, 4,...... i weryfikujemy ostatnie równanie:
Ntotal= F(2) – F(1) + F(3) – F(2) + F(4) – F(3)... + ...F(n)–F(n–1) = F(n) – F(1).
W ten sposób możemy zredukować całą sumę do tylko 2 składników:
I-szego i ostatniego. Ntotal= F(b) – F(a) = f(b)dx – f(a)dx. Powierzchnia
pod krzywą pomiędzy x=a a x=b, jest równa różnicy całek: F(b) – F(a),
co można też zapisać:

n
i1

b

a
f ( x ) dx  F ( x )
|ba  F ( b )  F ( a ) Jest to całka oznaczona od a do b.

Znak całkowania, oznacza faktycznie sumowanie bardzo małych wartości dx; historycznie pochodzi od wydłużonego S, co oznacza sumę.
b
Można więc zapisać:
Całkowita
b
liczba bakterii jest
całką ww.
Powierzchn ia 
f ( x )  x  lim  x  0 f ( x ) dx
funkcji akumulacji
ich liczby
xa
w granicach od a
do b. Dlatea
go można też zapisać:
b
Jest to całkowita liczba komórek
bakterii, wytworzona od czasu „a”
N
N
rt
rt b
rb
ra
N total 
N 0 e dt  0 e |a  0 ( e  e )
do czasu „b”.
r
r



a
W wielu przypadkach, skomplikowane całki nie mają dokładnych rozwiązań, a wyliczające je programy komputerowe podają ich przybliżenia. Jednym z najczęściej spotykanych przybliżeń, jest tzw. funkcja
błędu („error function”). Funkcje błędu spotykane są często, gdy próbujemy całkować funkcje o następującej postaci ogólnej: y = f(x)e–g(x)^2.
Np.: y = axne–bx^2dx . Przy użyciu programu Mathematica, można uzyskać następujące rozwiązanie:
Wyrażenie to można uprościć: Log (e)= 1 (tu są ln!),
n
a  x Erf [ b ]Log ( e )
a następnie znaleźć ogólne rozwiązanie dla funkcji
2 b Log ( e )
błędu. Po uproszczeniu:
n
a

x
1/2
Czym jest Erf(b )? Funkcję błędu można zdefiF(x) 
Erf [ b ]
niować w różny sposób (nast. przeźrocze):
2 b
2 warianty funkcji błędu na wykresach poniżej (f. gaussiańskie):
2
t
2
(t
2
Ważną jest też


całka f. błędu:
F. gaussiańskie mają
x
ważne cechy – m.in.
2
2
t
Erf ( x ) 
e
dt maksimum mające war
tość [l1/(2)0,5 lub
0
2/0,5, zależnie od formy
funkcji] w punkcie t=0. Punkty przegięcia
miejsca, gdzie pochodna ma maksimum
i minimum w miejscach t = 1 lub t=1/2.
W p-ktach przegięcia II pochodna = 0:
Bardziej interesująca jest całka f. gaussiańskiej, ponieważ
jest to f. błędu, którą
najb. potrzebujemy.
Rys obok przedstawia ją w najczęściej stosowanej formie. Jej wartość zbliża się asymptotycznie do 1. Inaczej mówiąc, cała powierzchnia pod krzywą Gaussa powinna być
równa dokładnie 1.
Równanie na całkę – na następnym
przeźroczu.
y 
e

i y
2
e
/ 2)
Całka funkcji Gaussa:

Y 


Dodatkowo jest spełniony warunek:

x
1
2
e
(t
2
/ 2)
dt  2 lim
x 

1
2
e
(t
2
/ 2)
dt  1
Y 

e
t
2
dt 

2
0
0
Inny przykład: funkcje trygonometryczne (w zw. z oscylacjami harmonicznymi np. w akustyce) – całka funkcji y = sin(x) w granicach od 0
do 2. Jest to powierzchnia pod krzywą na rys. poniżej. Mathematica
2
daje proste rozwiązanie:
Jest to powierzchnia zarówno nad osią x, jak i poA 
sin( x ) dx  0
niżej. Ponieważ wykres
funkcji jest symetryczny,
0
suma obydwu części = 0. O znaku funkcji
w danym p-kcie, decyduje droga, jaką do
niego doszliśmy. Jeśli doszliśmy do niego idąc w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, to powierzchnia pod
krzywą będzie dodatnia („dodatnia w matematycznym znaczeniu”).
Ruch zgodny ze wskazówkami zegara daje powierzchnię ujemną
w matematycznym znaczeniu. Mając to na uwadze

– musimy podwoić „dodatnie części” f. sinus i rozwiązać:

A  2

0
sin( x ) dx
Rozwiązanie (szczegóły) – na str. 59 skryptu; wynik końcowy:

A 2

0
- powierzchnia pod krzywą funkcji
sin( x ) dx  2[  cos(  )  cos( 0 )]  4 trygonometrycznej jest liczbą
naturalną.
Kolejny problem: powierzchnia pomiędzy 2 krzywymi, zaznaczona na
zielono na rys. poniżej. Potrzebne będą całki 2 funkcji f(x) i g(x) w granicach od A do B. Powierzchnia jest
różnicą pomiędzy obydwiema całkami. Dlatego musimy obliczyć:
F(x) i G(x), a dalej – różnicę:
A = [F(B) – F(A)] – [G(B) – G(A)].
Po dokładnym rozpisaniu:
B
A 
Można to zapisać jeszcze
inaczej:

xA
B
f ( x ) dx 

xA
B
g ( x ) dx 

f ( x )  g ( x ) dx
xA
Jest to ogólne równanie tzw. całki podwójnej. Całki podwójne są
używane do obliczania powierzchni zawartej pomiędzy wykresami
2 funkcji.
Niekiedy ważnym jest obliczenie całkowitej długości linii, np. wtedy,
gdy śledzimy tropy zwierzęcia, lub chcemy oszacować całkowitą drogę, jaką przebyło zwierzę (ew. chcemy obliczyć całkowitą długość
naczyń krwionośnych lub części ksylemu i floemu u roślin). Jeżeli dany
wykres funkcji (pomiędzy punktem a i b) podzielimy na „mikroskopijnie
małe” odcinki „dc” I zastosujemy tw.Pitagorasa (rys.), to całkowita długość będzie sumą wszystkich odcinków dc (rys.). Ogólne równanie na
to wyliczenie jest podane poniżej.
Konkretny przykład: jaka jest długość
krzywej funkcji y = x2 od x=1 do x=2?
Potrzebne równanie:
2
Program komputeL   1  f ' ( x ) dx
2
L   1  f ' ( x ) dx rowy wylicza skomlikowaną całkę; roz1
wiązanie numerycz2
2
1
ne: L = 3,167.
Inny problem – obliczanie objętości brył. Jeżeli bryły te powstały w wyniku procesu obracania (nazywamy je wtedy bryłami obrotowymi), to obliczenia są łatwe. Zakładamy, że obiekt obraca się wokół osi
x. Powierzchnia zakreślonej bryły obrotowej jest wtedy równa 2r2,
gdzie r jest dokładną wartością funkcji x, czyli f(x). Połowa obrotu daje
całkowitą objętość bryły, która wynosi:
Objętość bryły powstałęj w wyniku obracania wokół osi y wynosi:
W ostatnim przypadku, należy wziąć pod
uwagę funkcję odwrotną: x = f(y).
Przykład – jaka jest objętość bryły powstałej obrotu krzywej funkcji
y = x2 od x = 1 do x = 2 wokół osi y? (niezbędna – funkcja odwrotna).
4
Schemat powstawania bryły obroto 2 4
2
wej wskutek obrotu wokół osi x.
V    ( y ) dy  y 1  7 , 5   23 , 56
1
2
|
Istotna może być też powierzchnia
brył obrotowych. Bierzemy wtedy pod
uwagę wszystkie małe kółeczka (jakimi można by pokryć całą powierzchnię) o promieniu r i długości L.
Ta powierzchnia = 2rL, r odpowiada
y = f(x), a L znów = [1 + f’(x)2].
Stąd:
Dla obrotu wokół osi y, uzyskujemy:
x2
M  2

x1
y 1  ( y ') dx
2
y2
M  2
2
 1 
x
1


 dy

 y'
y1
Często łatwiej jest użyć współrzędnych biegunowych w celu obliczenia
długości, powierzchni, czy objętości. W celu obliczenia długości segmentu określonego przez funkcję polarną r = f(a), musimy zsumować
wszystkie „małe” segmenty L. Jeżeli L0, to L/rsin(a). Stąd:
L  L = rsin(a). Dalej można zastosować kolejne przybliżenie; szukamy granicy sin(x)/x i rozwijamy w szereg Taylora funkcję sin(x). W szeregu Taylora, wszystkie wyrazy dalsze niż I-szy są
małe w porównaniu z I-szym i dlatego je odrzucamy. Uzyskujemy dzięki temu wynik: lim sin( x )  x .
Teraz wprowadzamy to przybliżenie x  0
do powyższego równania i uzyskujemy:
L  rsin(a)  ra = rda
Np., jaka jest długość okręgu? Uwzględnimy zakres od a=0 do /2. Stąd:
Inny przykład: jaka jest długość spirali Ar /2
 /2
L  4  rd a  4 ra |
 2 r chimedesa (wykł. III w starym skrypcie) w
0
zakresie od 0 do 2. Długość ta wynosi
0
(następne przeźrocze):
2
a
2
1
Długość spirali Archimedesa:
r  c  L  c da 

Stosując podobne rozumowa0
ln( c )
ln( c )
0
nie, można obliczyć powierzchnię zawartą wewnątrz zakresu a. Ta powierzchnia jest w przybliżeniu równa: r*r*sin(a)/2. Na tych samych zasadach możemy obliczyć:
a2
. Teraz, łatwo już można obli1
1
1
2
2
2
A   r sin(  a )   r  a   r d a czyć pole powierzchni koła:
2
2
2 a1
 /2
.
 /2
1
2
2
2
A4
r
d
a

2
r
a


r
|

0
2 0
a

a
c
|
2
c
Na zakończenie, jako krótkie podsumowanie wybranych zastosowań
całek oznaczonych – okno programu „Wykresy”, w którym można całkowicie automatycznie wyliczyć, np. pole powierzchni pod krzywą i objętości brył obrotowych: wystarcza wprowadzić tylko równanie funkcji
(która ma być całkowana) i zakres całkowania. (nast. przeźrocze)
Okno p. „Wykresy”:
Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. 4.
Wskazówki do zadania 1:
W wyliczeniu całki w równaniu I-szym, bierzemy pod uwagę regułę całkowania funkcji potęgowej: xndx = xn+1/(n + 1) + c. Musimy przekształcić funkcję podaną w formie pierwiastka, pamiętając, że pierwiastkowanie jest szczególnym przypadkiem potęgowania.:
Ostatecznie:  4
x dx 
3

x
3/4
dx 
4
x
7/4
c
y
.
4
x  x
3
3/4
7
Dla równania II-giego, stosujemy reguły całkowania funkcji elementarnych: całkowanie funkcji potęgowej i stałej oraz twierdzenia o
całkowaniu iloczynu funkcji przez stałą oraz o całce sumy. Wynik
końcowy:
 (4 x  12 x  5) dx  4 
2
1
3
x  12 
3
1
2
x  5x  c 
2
4
x  6x  5x  c
3
2
3
Przy całkowaniu III-go (ostatniego) równania funkcji, należy zastosować regułę całkowania przez części, która mówi: udv= uv – vdu.
Dla funkcji y = ln(x), definiujemy 2 nowe funkcje: u = ln(x) i v = x, a
stąd: y = u i dv = dx oraz du/dx = 1/x lub du = (1/x)dx. Po uwzględnieniu tego i podstawieniu mamy:
ln(x)dx= uv – vdu = xln(x) – x(1/x)dx = xln(x) – x + c .
Wskazówki do zadania 2:
Okno wejściowe, programu online: http://integrals.wolfram.com ,
wygląda następująco:
Przy wprowadzaniu równania
funkcji do całkowania, należy
pamiętać o tym, że: a) wprowadzamy tylko prawą stronę równania funkcji, b) separatorem
dziesiętnym jest kropka, a nie
przecinek, c) znak mnożenia
„*” można zastąpić spacją,
d) zamiast „ln”, wprowadzamy:
„Log” {inne logarytmy, wprowadzamy jako: Log[b, x], gdzie b
jest podstawą logarytmu}.
Pole wpisywania równania
całkowanej funkcji
Przycisk wykonywania obliczenia
Pole wyników
Wyliczenie przykładowej całki przez program online „Integrals”:
Całka I-szej funkcji z zad. 2 – następne przeźrocze.
W programie „Integrals”: sin(x)*cos(x)dx = – 1/2 cos2(x)
Obok:
arc
sin(x) dx = ½ [(2x-1)*
arc sinx + (x – x2)1/2]
1,5x *e–4x^2dx = – 0,44769 erf [0,25 (0,405465 – 8x)]
Wyniki obliczeń całek tych samych funkcji, co poprzednio, przy
użyciu programu wxMaxima – poniżej.
Po wprowadzeniu równania w pole „INPUT:”, klikamy w przycisk:
„Integrate (ew. Menu: Calculus  Integrate)”:
Wprowadzenie
równania (1)
Klik (2)
Po tym, ukazuje się okno dialogowe całkowania, w którym jest
możliwość wyboru, czy całka ma być nieoznaczona, czy oznaczona;
jeśli wybrano II-gą z wymienionych opcji – to jest możliwość wyboru
granic całkowania. W aktualnie naszym przypadku – pozostawiamy
ustawienia domyślne (całka nieoznaczona – pusty kwadracik przy
opcji: „definite integration”) – następne przeźrocze.
Okno dialogowe całkowania:
Akceptujemy opcje domyślne, czyli
klikamy w OK.
Po tym – uzyskujemy wynik
(odczytywalny na zrzucie
ekranowym: w wierszu oznaczonym
%o1:
[–cos(x)2]/2
arc
sin(x)dx w wxMaxima (pominięto zrzut okna dialogowego całkowania – od razu wynik):
Wynik odczytywalny i odmienny
od uzyskanego przy użyciu programu online „Integrals”
Analogicznie – 1,5x *e–4x^2dx
w wxMaxima:
Wynik – podobnie odmienny
niż w „Integrals”, jak poprzednio. Przyczyny rozbieżności – nieznane. „erf” – funkcja błędu
(„error function”) – vide:
teoria!
Wskazówki do zadania 3:
Uruchamiamy program wxMaxima, wprowadzamy w pole „INPUT:” funkcję: -10*x^2+30*x+10, klikamy „Integrate” i uzyskujemy okno dialogowe całkowania. Przed uruchomieniem obliczania, uaktywniamy liczenie całki oznaczonej (klik w kwadracik przy „Definite integration”) i w
domyślnych opcjach granicy „do” (pole: „to:”) zmieniamy 1 na 3.:
Klik (1)
Zamiana 1  3 (2)
Po uaktywnieniu liczenia całki oznaczonej i zamianie 1  3 w polu
„to:”:
3
A
  10 x
2
 30 x  10  75
0
Klik
Po kliknięciu w OK, pojawia się
wynik:
Uzyskany wynik: pole powierzchni pod krzywą
funkcji y = -10x2 +30x +10,
w zakr. od a=0 do b=3,
wynosi:
A
3
 (  10 x  30 x  10) dx  75
2
0
Wskazówki do zadania 4:
Ogólnie, długość wybranego odcinka krzywej funkcji (od punktu a do
punktu b), można wyliczyć, obliczając następującą całkę oznaczoną:
b
. Biorąc pod uwagę funkcję y = x2, której pochodna wy2
L   1  f '( x ) dx nosi 2x i podstawiając ją do poprzedniego równania na
b
a
całkę, uzyskujemy:
. Całkę oznaczoną,
2
L   1  4 x dx a=0 i b=3, wyliczapodaną ostatnim równaniem dla:
a
my przy użyciu wxMaxima:
Uaktywniamy liczenie całki
oznaczonej – klik (1)
Zamiana 1  3 (2)
Klik (3)
Wynik – następne przeźrocze.
Wynik obliczania długości krzywej funkcji: y = x2, uzyskany w wyniku
obliczenia całki oznaczonej funkcji (1+ 4x2)1/2, w zakresie od a=0 do
b=3:
Uzyskany wynik, nie jest „rozwiązaniem końcowym” w formie liczby rzeczywistej. Można dokończyć obliczenia (np.
w Excelu). Można też powtórzyć wszystkie obliczenia
w wxMaxima:
Ustawiamy wszystkie opcje, jak poprzednio (w sumie – 2)...
...I dodatkowo, włączamy opcję całkowania numerycznego:
Numerical integration [Klik, (3)]
Klik (4)
Wynik – następne przeźrocze.
Wynik obliczania długości krzywej funkcji: y = x2, uzyskany w wyniku
obliczenia całki oznaczonej funkcji (1+ 4x2)1/2, w zakresie od a=0 do
b=3 (całkowanie numeryczne!):
3
Wynik:
2
L   1  4 x dx  9, 747
0
Wskazówki do zadania 5:
Ogólnie, pole powierzchni bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu funkcji y = f(x), wokół osi X w zakresie od punktu a do
punktu b wylicza się, obliczając następującą całkę oznaczoną:
Mając na uwadze, że (x2)’=2x, po podstawieniu
b
2
do równania na całkę oznaczoną uzyskujemy:
M  2  y 1  ( y ') dx
3
Poniższą całkę obliczamy
a
2
2
M  2  x 1  4 x dx stosując wxMaxima
0
(następne przeźrocze)
Wprowadzana funkcja do całkowania: (x^2)*sqrt(1+4*x^2). Okno
dialogowe całkowania (ustawione – całkowanie numeryczne):
Całka oznaczona – klik (1)
Zamiana 1  3 (2)
Włączenie całkowania
numerycznego (3)
Klik (4)
Uzyskujemy wynik:
Uzyskany wynik mnożymy przez 2 – i uzyskujemy wynik ostateczny:
pole powierzchni bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu
funkcji y = x2, wokół osi X, w zakresie od punktu a=0 do punktu b=3:
M  2 * 3,14159 * 41,59  261,32 .
Wskazówki do zadania 6:
Ogólnie, objętość bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu funkcji y = f(x), wokół osi X w zakresie od punktu a do punktu b
b
wylicza się, obliczając następującą całkę oznaczoną:
2
Mając na uwadze, że w niniejszym zadaniu f(x)2 = x4, V   f ( x ) dx
a a=0 i b=3:
3
a

V 

4
x dx
1
Obliczenia przeprowadzamy w wxMaxima (następne przeźrocze)
Wprowadzana funkcja do całkowania: x^4. Okno dialogowe całkowania
(ustawione – całkowanie numeryczne):
Całka oznaczona – klik (1)
Zamiana 1  3 (2)
Włączenie całkowania
numerycznego (3)
Klik (4)
Uzyskujemy wynik:
Uzyskany wynik mnożymy przez  – i dostajemy wynik ostateczny:
objętość bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu funkcji
y = x2, wokół osi X, w zakresie od punktu a=0 do punktu b=3:
V  3,14159 * 48,6  152,68 .
Wskazówki do zadania 7:
W zadaniu chodzi o obliczenie powierzchni zawartej pomiędzy krzywymi funkcji: y = sin(x) i y = x2, w granicach pomiędzy a = 0 i b = punkt
przecięcia krzywych obu funkcji. Na samym początku, należy wyliczyć
współrzędne tego punktu. W tym celu pobieramy plik „2funkcje.xls”,
kończymy rozpoczęte w nim obliczenia, sporządzamy wykres punktowy
(XY) obu funkcji i odczytujemy współrzędne punktu przecięcia – wszystko zgodnie z podstawową instrukcję (na WWW). Współrzędne punktu
przecięcia, odczytujemy z podstawowego arkusza danych:
Na zrzucie widać, że prawie identyczne wartości
zmiennej y – zarówno dla funkcji y = sin(x)
[y = 0,768651], jak i y = x2 [y = 0,768655], zanotowano dla wartości x = 0,87673.
Potwierdza to także wspólny wykres obu funkcji
(następne przeźrocze).
Wspólny wykres funkcji y = sin(x) i y = x2:
Ogólne równanie na pole powierzchni zawartej pomiędzy krzywymi 2
funkcji (pomiędzy punktami a i b), to:
b
b
b
A   f ( x ) dx   g ( x ) dx   f ( x )  g ( x ) dx
a
a
a
W konkretnym przypadku (zad. 7): f(x) = sin(x) i g(x) = x2 (vide wykres
obu funkcji i różnice pomiędzy ich wartościami: wart. wyższe dla sin(x)
niż x2 ). Obliczenia wykonujemy za pomocą wxMaxima – podobnie, jak
w zadaniu 3. W pierwszym przypadku, wprowadzamy: sin(x):
Całka oznaczona – klik (1)
Zamiana 1  0.87673 (2)
Klik (3)
Uzyskujemy następujący wynik:
W drugim przypadku, wprowadzamy x^2 i dodatkowo uruchamiamy całkowanie numeryczne (gdyż tylko wtedy będzie tu możliwe uzyskanie
wyniku w formie ułamka dziesiętnego):
Całka oznaczona – klik (1)
Zamiana 1  0.87673 (2)
Włączenie całkowania
numerycznego (3)
Klik (4)
Uzyskujemy następujący wynik:
Ostateczne wyliczenie, z podstawieniem wyników uzyskanych dla obu
funkcji oddzielnie:
0 ,87673
A

0
sin( x )  x dx  0, 3603  0, 2246  0,1357
2
Dziękuję
za uwagę ;-)