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Limiti
Esercizi
Volendo verificare se un dato numero è un limite di una funzione f(x), al tendere di x
a un dato numero c , si dovrà procedere nel seguente modo:
1. Si scriverà l’equazione | F(x) – l|< ε ove il numero ε indicherà
un numero positivo ε >0
2. Si risolverà la disequazione, se le soluzioni di questa
formeranno, qualunque sia il numero positivo che si pensa di
attribuire alla lettera ε , un intorno completo del punto c, escluso
al più c, allora in base alla definizione data di limite , si potrà
asserire che il numero l è proprio il limite della funzione per x
tendente a c.
Se invece la disequazione o non ammette soluzioni, oppure se ne
ammette, queste non formeranno, almeno per ε abbastanza
piccolo, un intorno completo del punto c, allora l non è il limite
di f(x) per x tendente c.
• Verificare che lim (3x+1)=7
‘x → 2
| 3 x +1 -7| < ε
|3x – 6| <ε
che risulta soddisfatta per ogni x compreso
3x – 6 < ε ⇒ 3x < 6 + ε
- 3x +6 <ε ⇒ -3x < -6 +ε 3x > 6 -ε
6 - ε< 3x <6 +ε
2-ε <x <2+ε
3
3
f(2)= 3 x 2 +1 = 7
lim (3x+1)=7=f(2)
‘x → 2
scelto ad esempio ε =0,05
2 - ε <x < 2 + ε
3
3
2 – 0,5/3<x<2+0,5/3
2 –0,016 <x<2+0,016
1,984 < x< 2,016
f(1,984)=6,952
f(2,016)= 7,048
7+ε =7,048
7
7 - ε =7,048
1,984
2
2,016
Usate la definizione precisa per dimostrare che
Lim (x 2 +3x) =10
x→2
per la funzione |f(x) –10|<ε
| (x 2 + 3x) – 10| <ε
| x 2 + 3 x – 10| <ε
-3+7
2
-3 ± 9 + 40
x½ =
=
2
x 1= 2
-3-7
2
x2 = - 5
- 5ε
2ε
0
‘ ( x – 2) ( x +5) < ε
Verificare che il limite risulta:
X2 - 4
Lim
X →2
| x2 – 4
|
| x –2
x+2–4
x–2<ε
( x – 2) (x +2)
x–2
= Lim
x→2
-4
<ε
<ε
=4
x–2
x–2 <ε
-x + 2 < ε
x – 2 > -ε
2-ε < x<2+ε
intorno
del
punto
2
Definizione di limite infinito per una funzione in un punto
Si dice che la funzione f(x) , per x tendente a c ha per limite
l’infinito e si scrive:
lim f ( x) = ∞
x→c
quando , in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo M , si
può sempre determinare un intorno H del punto c tale che per ogni
x ε H, distinto da c , risulta
f(x) > M
Se in H, escluso c, vale invece sempre la disequazione
f(x) > M
si dice che il limite
lim f ( x) = ∞
x→c
Se invece vale sempre la disequazione
f(x) < - M
si dice che il limite
lim f ( x) = −∞
x→c
Verificare che risulta
1
lim(− ) = ∞
x
x→0
allo scopo deve verificarsi che
−1
>M
x
x <
−1
1
<x<
M
M
 −1
 >0
 x 
x <0
 −1
 <0
 x 
x >0
1
M
Limite destro e limite sinistro di una funzione
Può accadere che non esista il limite di f(x) per x →c, ma tale
limite esista quando si considerino soltanto i valori di f(x) che
appartengono ad un intorno destro c<x<c + δ del punto c( ancora
privato, ovviamente del punto c), oppure ad un intorno sinistro
‘ c - δ< x < c
si dà cioè la seguente definizione:
Destro
Si dice che l è il limite << destro>> della funzione f(x), per
x→c e si scrive
lim f ( x) = l
x → c+
quando , in corrispondenza a un arbitrario numero ε
positivo, si può sempre determinare un intorno destro H del
punto c , tale che per ogni x di H , escluso eventualmente c,
risulti soddisfatta la disequazione.
f ( x) − l < ε
Limite sinistro e limite sinistro di una funzione
Può accadere che non esista il limite di f(x) per x →c, ma tale limite
esista quando si considerino soltanto i valori di f(x) che appartengono
ad un intorno destro c -δ<x<c del punto c( ancora privato,
ovviamente del punto c), intorno sinistro
‘ c - δ< x < c
si dà cioè la seguente definizione
Si dice che l è il limite << sinistro>> della funzione f(x), per x→c e
si scrive
lim f ( x) = l
x→c−
quando , in corrispondenza a un arbitrario numero ε positivo, si può
sempre determinare un intorno sinistro H del punto c , tale che per
ogni x di H , escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la
disequazione.
f ( x) − l < ε
Si dimostra che se i limiti destro l1, e sinistro l2 esistono e
sono uguali
‘ l1=l2=l
allora l è il limite di questa funzione per x → c
Viceversa se il limite della funzione f(x) è uguale ad l per
x→c
Allora i limiti destro e sinistro di queste funzioni per c→c ±
esistono e sono uguali.
Definizione di limite per una funzione all’infinito
Si dice che la funzione f(x) , per x tendente all’infinito, ha per
limite il numero l , e si scrive:
lim f ( x) = l
x→∞
quando in corrispondenza ad un numero arbitrario ε > 0 , si
può determinare un numero N >0 , tale che per ogni x
verificante la condizione
x >N
si abbia
f ( x) − l < ε
(a)
cioè i corrispondenti valori della f(x) differiscono tutti da l, in
valore assoluto, meno di ε.
Se la disequazione (a) è soddisfatta anche x > − N
lim f ( x) = l
x → −∞
x > −N
f ( x) − l < ε
Si dice che per x tendente all’infinito la funzione f(x) ha per
limite l’infinito , e si scrive
x → ∞
lim
f ( x ) =
∞
quando in corrispondenza a un arbitrario M > 0, è sempre
possibile determinare un numero N>0 tale che per ogni x
verificante la condizione
x >N
si abbia
f ( x) > M
cioè i corrispondenti valori della f(x) siano tutti, in valore
assoluto maggiori di M.
se risulta
f(x)< - M
allora si dirà che esiste il limite
lim f ( x) = −∞
x→∞
lim f ( x) = +∞
x→∞
lim f ( x) = −∞
x→∞
lim f ( x) = +∞
x → +∞
lim f ( x) = ∞
x → +∞
lim f ( x) = −∞
x → +∞
x >N
1
f ( x) > M
x >N
2
f ( x) < − M
x>N
3
f ( x) > M
x>N
f ( x) > M
x>N
f ( x) < − M
4
5
lim f ( x) = +∞
x → −∞
lim f ( x) = ∞
x → −∞
x < −N
6
7
f ( x) > M
x < −N
8
lim f ( x) = −∞
x → −∞
x < −N
f ( x) < − M
f ( x) > M
9
Verificare che risulta
x +1
x )=1
x→∞
lim(
x + 1 − x < εx
( x + 1)
1/ x < ε
−1 < ε 1 < ε * x
x
1
<ε
x
x >
1
ε
=N
1
0
Verificare che
lim 1 − x = +∞
x → −∞
verifichiamo in base alla definizione
1− x > M
1− x > M 2
1- M 2<0 perché M>1
posto N = 1-M 2
x<-N in base alla definizione possiamo dire che il limite esiste.
Verificare che se a>1
lim a x = 0
x → −∞
aX − 0 < ε
aX < ε
log a a X < log a ε
x < log a ε
posto
N= – log aε
x < -N in base alla definizione il limite esiste.
Definizione più generale di limite
Se f(x)