Transcript de samenvatting

Cyclic Theory of Lie Algebroids
A . Blom
Samenvatting
Cyklische theorie van Lie algebroiden
Dit proefschrift richt zich op de studie van de cyklische theorie van de universeel
omhullende algebras van Lie algebroiden. Lie algebroiden zijn meetkundige objecten die infinitesimale symmetrieën beschrijven, en het concept omvat een
groot aantal klassieke begrippen uit de meetkunde, zoals Poisson varieteiten, foliaties en acties van Lie algebras op varieteiten. Het bestuderen van meetkundige
objecten is in veel gevallen equivalent aan het bestuderen van de algebras
van functies op deze objecten, en deze observatie heeft geleid tot de nietcommutatieve meetkunde, waarbij men niet-commutatieve algebras, die niet
noodzakelijk zijn gerelateerd aan een meetkundig object, bestudeert met technieken die voortkomen uit de meetkunde. Voor elke Lie algebroide kan men
een niet-commutatieve algebra -de universeel omhullende algebra- definiëren,
welke onder andere de algebra van differentiaaloperatoren op een variëteit en
de universeel omhullende algebra van een Lie algebra veralgemeniseert. In dit
proefschrift laten we zien dat de cyklische theorie van deze algebra gelijk is
aan de Poisson (co)homologie van de duale van de Lie algebroide, welke op
haar beurt gelijk is aan de Lie algebroide cohomologie met waarden in de symmetrische algebra van de geadjungeerde representatie tot op homotopy (gedraaid
door een lijnbundel). Verder definieren we een spoor-dichtheid afbeelding van
de cyklische theorie van de universeel omhullende algebra naar het de Rham
complex van de Lie algebroide, wat een veralgemenisering is van bekende resultaten voor de raakbundel van een variẗeit. We gebruiken een Čech resolutie
van het de Rham complex, wat de constructie ook toepasbaar maakt op holomorfe Lie algebroiden. Zowel de berekening van de cyklische theorie van de
universeel onhullende algebra als de constructie van de spoor-dichtheid afbeelding is gebaseerd op de Poincaré–Birkhoff–Witt stelling voor Lie algebroiden, die
we dan ook eerst bewijzen.
1