Transcript Algebra oefenen met inzicht

Algebra oefenen met inzicht
Johan Deprez
CNO, Wilrijk, 19/11/14
http://perswww.kuleuven.be/johan_deprez
Kennismaking
2
Wie zijn jullie?
• gra(a)d(en) waarin je lesgeeft?
 (derde) // tweede // eerste
• basisdiploma?
 bachelor onderwijs: wiskunde // andere
 master/licentiaat: wiskunde // andere
• ervaring als wiskundeleraar?
 < 5 jaar //  5 jaar, < 10 jaar //  10 jaar
Wie ben ik?
• verantwoordelijke voor de Specifieke
Lerarenopleiding wiskunde KU Leuven
• (en een verleden als
 docent wiskunde in het economisch onderwijs aan de
hogeschool/universiteit
 verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding
wiskunde aan de Universiteit Antwerpen)
• gebaseerd op artikel in
Uitwiskeling 29/1 (winter
2013) = syllabus
• mede-auteur: Regi Op de
Beeck (lerares) + grondig
besproken met de hele
redactie van Uitwiskeling
• artikel schatplichtig aan
vele bronnen, maar o.a.
aan Paul Drijvers en Martin
Kindt (medewerkers
Freundenthal Instituut)
5
Werkmoment 1
Los werktekst 1 op
6
Aanleiding voor deze nascholing
7
Peiling wiskunde 2de graad aso (2011)
resultaten voor algebra niet goed genoeg
8
Twee voorbeeldvragen
Peiling eerste graad A-stroom
10
Resultaten voor algebra niet goed genoeg
• enkele nuanceringen
 grote verschillen tussen studierichtingen
 op het einde van het vierde jaar zonder vooraf studeren
• oorzaken?
 te moeilijke vragen?
eerder niet
 leraren vinden algebra niet belangrijk?
leraren geven in de peiling aan dat ze algebra belangrijk vinden
 weinig lestijd besteed aan algebra?
leraren besteden veel tijd aan algebra
11
Oplossingen?
• problemen zijn niet nieuw
 zoals oudere collega’s wel weten
 is ook gedocumenteerd in wetenschappelijk onderzoek
• niet typisch voor Vlaanderen
 in internationaal perspectief doen we het zelfs vrij goed
• geen wonderoplossingen bekend
• vandaag inzoomen op verdere verbetering didactiek
• (lang) niet enige element in de oplossing
bv. grote problemen bij Humane Wetenschappen zijn niet zomaar op te
lossen met betere didactiek
• betere oriëntering?
• eindtermen differentiëren
• …
12
Werkmoment 2
13
Zoek 𝑥
2
1. 5𝑥 − 3𝑥 = 0
2.
𝑥−2 𝑥−3 =5 2−𝑥
3. 3𝑥 + 𝑎 = −2𝑥 + 1 − 3𝑎
4.
12
24
2+ 28
8+ 9
2+
𝑥
=3
14
5. Wat verkies je?
Los op: 𝑥 − 𝑥 ⋅ 𝑥 2 + 𝑥 = 0.
OF
Los op: 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 𝑥 = 0.
Bereken:
𝑥 − 𝑥 ⋅ 𝑥 2 + 𝑥 d𝑥.
OF
Bereken:
𝑥 3 − 𝑥 2 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 𝑥 d𝑥.
15
Wat werkt niet?
16
Wat werkt niet?
[S]tudies over several decades ha[ve] shown that an
exclusively skills-based approach to the teaching of algebra
did not lead to skilled performance among algebra students
[…]. Nor, according to the ample number of studies of the
late 1970s and 1980s, ha[ve] such approaches led to
students’ being able to interpret adequately the various ways
in which letters are used in algebra […], or the structural
features of algebraic expressions […], or equivalence
constraints on equations and equation solving […].
Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the
middle school through college levels. Building meaning
for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.),
Second handbook of research on mathematics teaching
17
Vaardigheden + inzicht!
• basisvaardigheden alleen: werkt niet
• doel moet hoger liggen:
basisvaardigheden + algebraïsch inzicht
•
•
•
•
•
•
flexibel met verschillende methodes (WM2 oef. 1 en 2)
inzicht in de structuur van een uitdrukking (WM2 oef. 4 en 5)
deeluitdrukkingen als een geheel zien (WM2 oef. 3 en 4)
welke vorm is best: product of som? (WM2 oef. 5)
je niet laten verleiden door aandachtstrekkers (WM2 oef. 3)
…
18
Vaardigheden + inzicht!
1. techniek, begrip, … inzichtelijk aanbrengen
2. gedurende een korte tijd directe oefeningen maken
3. oefenen combineren met versterken van inzicht
VANDAAG!
19
Wat kunnen we je bieden?
een menu met veel kleine gerechtjes!
20
Wat we je al geboden hebben
• gevarieerd oefenen
• oef. 1 en 2:
rechthoeksmodel voor
vermenigvuldigen
• oef. 3: band tussen
getallen en algebra
• oef. 4 en 5: inzicht in
structuur van een
uitdrukking
• oef. 5:
omkeeroefeningen
21
Werkmoment 3
• Verrassende resultaten
• Omkeervragen
• Slimme rijtjes
Formules, regels, …
Rekenregels die nuttig zijn
Bij welke van de onderstaande berekeningen…
… mag je de haakjes wegwerken?
… vind je het nuttig om de haakjes weg te werken?
−4 2𝑥 + 3𝑦
5 − 11 ⋅ 2
8 ⋅ (55 − 49)
8 ⋅ (90 − 1)
24
Rekenregels die nuttig zijn
Haakjes wegwerken is soms nuttig, maar soms ook niet.
• moet een optie zijn
• mag geen automatisme worden
• breng dit aan met voorbeelden waaruit de
nuttigheidswaarde blijkt
• oefen dit in in situaties waarin het nuttig is
25
Rekenregels die nuttig zijn
Ken je andere voorbeelden van rekenregels die soms
wel, soms niet nuttig zijn?
Geldt ook voor:
• associatieve eigenschap
88 + 25 = 88 + 12 + 13 = 88 + 12 + 13 = ⋯
• ontbinden in factoren
• …
26
Optellen van breuken?
•
3
4
5
6
+ =?
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
• Gebruikte je de formule + =
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
?
• niet de formule maar een algoritme
• Is deze formule nuttig?
27
Nuttig? Spaarzaam zijn met formules
Ken je nog voorbeelden?
• nulpunt van 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞 is
𝑞
–
𝑚
• 𝑦-coö van de top van een parabool is ??
 versus werkwijze: bereken 𝑥-coö en functiewaarde
 beter werkwijze aanleren i.p.v. formule, want
• werkwijze steunt louter op inzicht
• formule wordt na verloop van tijd vergeten
 formule voor 𝑥-coö van de top wel nuttig
28
Nuttig? Spaarzaam zijn met formules
Ken je nog voorbeelden?
• tabellen met tekenverloop van een algemene
tweedegraadsfunctie
 laat leerlingen de 6 types grafieken onthouden…
 … en het tekenverloop (en nog veel meer) daaruit afleiden…
29
Nuttig? Spaarzaam zijn met formules
• 𝑎+𝑏
4
=⋯
• in mijn vroegere job in het hoger onderwijs: veel
studenten
 wisten dat ze een formule geleerd hadden voor 𝑎 + 𝑏
 stelden vast dat ze ze vergeten waren
 en voelden zich machteloos…
3
• Wat is belangrijker?
 formule kennen voor 𝑎 + 𝑏 3 ?
 weten wat een 3-de macht is?
30
Van abstract terug kunnen gaan naar
concreet
• inzichtelijk aanbrengen: van concreet naar abstract
• bij oefenen: verband abstract - concreet levendig
houden (zie werktekst 1)
• bij twijfel: van abstract terug kunnen gaan naar
concreet
• verschillende vormen
 zien
 sprekende voorbeelden
 narekenen
…
31
Formules zien
•
•
•
•
•
bij het aanbrengen
bij het oefenen
bij twijfel
op een poster in de klas?
op het formularium?
•
•
𝑎+𝑏+𝑐 2 =⋯
𝑎+𝑏 3 =⋯
Formules zien
Formules zien
1 1
+
3 2
≠
1
5
Sprekende voorbeelden
𝑎𝑚
𝑛
=?
een prototypisch voorbeeld
𝑎3
2
= 𝑎3 ∙ 𝑎3 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = ⋯
2 factoren
3 factoren 3 factoren
2 factoren
• bij het aanbrengen
• ernaar teruggrijpen bij twijfel
• opnemen in formularium?
35
Formules narekenen
• steunen op de betekenis
 met leerlingen die formules vergeten zijn:
•
𝑎+𝑏
2
= 𝑎+𝑏 ⋅ 𝑎+𝑏 =⋯
• getallenvoorbeelden invullen
 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ?
 3 + 4 2 ≠ 32 + 4 2
 getallenvoorbeeld is vaak voldoende om de incorrectheid
van een vermeende formule aan te tonen
 let op: getallenvoorbeeld is niet voldoende om de
correctheid van een formule aan te tonen
36
Werkmoment 4
• Oplossingen van een vergelijking zien
• Tweedegraadsvergelijkingen oplossen …
37
Vergelijkingen
Los komen van standaardoplossingen
(plan B)
Hoe los je de volgende eerstegraadsongelijkheden op?
• 3 + 𝑥 > 5 − 2𝑥
• 5 − 2𝑥 < 3 + 𝑥
ALTIJD termen met 𝑥 naar het linkerlid brengen en de constanten naar het rechterlid
OF flexibel gebruik maken van verschillende methoden?
• vaste methode kan zekerheid bieden
• vaste methode kan inefficiënt zijn of leiden tot meer rekenfouten
• afweging maken!
Hoe los je de volgende tweedegraadsvergelijkingen op?
•
𝑥 − 3 2𝑥 − 1 = 0
• 7𝑥 2 − 5𝑥 = 0
• 7𝑥 2 − 5 = 0
• 4 𝑥 − 1 2 + 11 = 9
• 7(𝑥 − 1)2 −5(𝑥 − 1) = 0
39
Twee vraagstukjes
1. 208 vertegenwoordigers van de verschillende Belgische
gewesten waren aanwezig op een congres over
euthanasie. Er waren 3 keer zoveel Vlamingen als
Brusselaars, en 16 Walen minder dan Vlamingen.
Hoeveel vertegenwoordigers had elk gewest op het
congres?
2. Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de
schoolsportdag konden ze kiezen tussen in-line skaten,
zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee keer zoveel
leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en
er kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan
voor in-line skaten. Als je nu weet dat er 120 leerlingen
gingen zwemmen, hoeveel gingen er dan mee in-line
skaten, en hoeveel kozen voor de fietstocht?
40
Twee vraagstukjes
1.
2.
…
Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de schoolsportdag konden ze
kiezen tussen in-line skaten, zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee
keer zoveel leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en er
kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan voor in-line skaten.
Als je nu weet dat er 120 leerlingen gingen zwemmen, hoeveel gingen er
dan mee in-line skaten, en hoeveel kozen voor de fietstocht?
41
Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig?
• basisonderwijs: ‘rekenkundige oplossingsmethoden’, bv.
terugrekenen
• secundair onderwijs: algebraïsche oplossingsmethoden
• overgang kan beter
 voor sommige vraagstukken zijn rekenkundige methoden prima
 voor andere vraagstukken is algebra beter (sneller, routine i.p.v.
inventiviteit, …)
 wees flexibel
 waardeer rekenkundige methoden…
 … maar laat de voordelen van algebra zien: zoek problemen waar
algebra echt nuttig is en laat leerlingen hierover nadenken, zie bv.
werktekst in syllabus
42
Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig?
There is a stage in the curriculum when the introduction of
algebra may make simple things hard, but not teaching
algebra will soon render it impossible to make hard things
simple.
Tall, D., Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking
in algebra using the computer. Educational Studies in
Mathematics 22, 125–147.
simple things hard
 er is een serieuze drempel die overschreden moet worden
hard things simple
 algebra maakt veel mogelijk voor wie het begrijpt
43
Globaal kijken naar uitdrukkingen
44
Voorbeeld 1
• Bepaal het domein van 𝑓: 𝑦 = 2 − 𝑥.
 Ken je courante fouten?
 inzicht nodig in de manier waarop deze uitdrukking
opgebouwd is
• eerst 𝑥 aftrekken van 2 (dat geeft een tussenresultaat)
• daarna wortel trekken
• het tussenresultaat moet positief zijn (want daaruit moet je de
wortel kunnen trekken)
 pijlenschema: 𝑥 → 𝑢 = 2 − 𝑥 → 𝑦 = 𝑢 = 2 − 𝑥
 zie applet Algebra pijlen op www.wisweb.nl (let op: je moet
zelf opgaven maken)
45
Voorbeeld 2
• Hoe ontstaat de grafiek van grafiek van 𝑔: 𝑦 = 2𝑥 3 − 1
uit die van 𝑓: 𝑦 = 𝑥 3 ?
• Hoe ontstaat de grafiek van ℎ: 𝑦 = 2(𝑥 3 −1) uit die van
𝑓: 𝑦 = 𝑥 3 ?
• Ook hier helpt het inzicht dat je opbouwt met de
applet Algebra pijlen!
46
Voorbeeld 3
• Waarom is 𝑒 2⋅ln 𝑥 ≠ 2𝑥 ?
• Maak een pijlenketting!
𝑥
ln
⋅2
ln 𝑥 → 2 ⋅ ln 𝑥
exp
𝑒 2⋅ln 𝑥
• Exponentiële en logaritmische functie worden niet
onmiddellijk na elkaar toegepast.
47
Voorbeeld 4
• Herschrijf ln(100 ∙ 1.05𝑡 )




argument van de logaritme is een product
onderdruk nog even de aandachtstrekker ‘macht’
gebruik kadertjes om deze ideeën te ondersteunen
pas nadat je de regel voor de logaritme van een product
toegepast hebt, wordt de macht in de tweede factor belangrijk
• Laat leerlingen uitdrukkingen benoemen
 3𝑥 + 2 2 − 2𝑥 − 3 2 is een verschil
 ontbinden in factoren: een som omzetten in een product
…
• zie applet Algebra expressies op www.wisweb.nl
48
Algebra expressies op www.wisweb.nl
49
Slot
• we kunnen niet alle problemen zelf oplossen,
• wel ons steentje bijdragen
• door in te zetten op het combineren van basisvaardigheden
met het werken aan algebraïsch inzicht.
Een menu met veel kleine gerechtjes
 Variatie in de vraagstelling, Omkeervragen, Slimme rijtjes, Kunnen
weerstaan aan aandachtstrekkers, Uitdrukkingen als een object kunnen
zien, Rekenregels moeten functioneel zijn, Spaarzaam zijn met formules,
Van abstract terug naar concreet, Globaal kijken naar uitdrukkingen,
Algebra inzetten om patronen te beschrijven, Vergelijkingen
interpreteren met grafieken, Loskomen van standaardoplossingsmethoden, Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig
 En ook nog: Niet te snel en niet teveel verkorten, Niet alleen successen
maar ook mislukkingen, Geregeld oefenen, Ook bij andere onderwerpen
algebra oefenen, …
50
Bedankt voor uw aandacht!