Transcript gli stati coerenti dell`oscillatore armo

Sommario
Con la presente tesi di laurea, ci proponiamo di fornire una descrizione degli stati coerenti dell’oscillatore armonico e delle relative applicazioni in vari
campi del sapere scientifico, con particolare attenzione al sistema dell’oscillatore armonico dipendente dal tempo. Di quest’ultimo risolveremo il problema
agli autovalori e costruiremo gli stati coerenti; forti dei risultati cosı̀ ottenuti, studieremo il moto di una particella carica in un campo elettromagnetico
uniforme, non stazionario e costruiremo gli stati coerenti del sistema.
Indice
1 Introduzione
1.1 Storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Applicazioni degli stati coerenti . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Stati coerenti dell’oscillatore armonico
2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
8
3 Applicazione al problema dell’oscillatore armonico dipendente dal tempo
3.1 Introduzione al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Invariante hermitiano per hamiltoniano con dipendenza temporale esplicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Stati coerenti dell’oscillatore armonico dipendente dal tempo .
11
11
12
14
4 Moto di una particella carica in un campo elettromagnetico
uniforme e non costante
4.1 Legame con l’oscillatore armonico dipendente dal tempo . . .
4.2 Invariante hermitiano del sistema . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Risoluzione del problema agli autovalori per l’operatore K . .
4.4 Calcolo delle fasi e costruzione degli stati coerenti . . . . . . .
17
19
20
22
24
5 Conclusioni
29
Capitolo 1
Introduzione
La formulazione teorica degli stati coerenti e la loro applicazione a molteplici
problemi della fisica è stata sviluppata ampiamente a partire dalla seconda
metà del ’900. Lavorare nella rappresentazione di stati coerenti comporta
numerosi vantaggi: innanzitutto, permette di superare alcuni dei difetti della
usuale teoria delle perturbazioni; inoltre, fa sı̀ che si possano condurre i calcoli
in maniera più snella, meno laboriosa; da ultimo, consente il passaggio dal
quadro quantistico a quello classico semplicemente applicando un algoritmo
prestabilito.
1.1
Storia
Gli stati coerenti dell’oscillatore armonico furono scoperti da Erwin Schrödinger nel 1926. Nel tentativo di trovare stati quantistici che riproducessero il
moto di una particella classica in presenza di un potenziale di oscillatore armonico, Schödinger costruı̀ una classe di pacchetti d’onda gaussiani tali da
preservare nel tempo la loro forma e il cui centroide oscillasse nel potenziale
allo stesso modo di una particella classica che possegga un’energia hHi ∼ E0 ,
dove E0 è l’energia dello stato di vuoto.
Lo studio degli stati coerenti è stato successivamente ripreso da Glauber,
il quale scoprı̀, nell’ambito dell’ottica quantistica, che questi stati permettono
di ottenere una efficace descrizione di un fascio coerente di luce laser; tale
risultato gli valse il Premio Nober per la fisica nel 2005.
Solitamente, nella descrizione quantistica di un sistema, si utilizza un set
completo di stati ortonormali, generalmente detto base normale. In alcune situazioni, però, questa scelta non è particolarmente conveniente, come
per l’appunto nel caso dei fasci coerenti di luce laser: vediamo brevemente
perché. In elettrodinamica quantistica, la base normale utilizzata è quella
1
degli autostati dell’operatore numero, |ni. I raggi di un fascio laser coerente
hanno tutti approssimativamente la stessa fase φ, ovvero ∆φ è molto piccola. Ma, data la relazione di indeterminazione di Heisenberg ∆n∆φ ≥ 1
[1], questo significa che ∆n è molto grande, ovvero, in termini fisici, che il
numero di occupazione n è indeterminato. Ciò comporta che i calcoli nella
base normale siano estremamente lunghi e complessi poiché si necessita di
un grande numero di stati.
1.2
Applicazioni degli stati coerenti
Gli stati coerenti sono molto versatili: hanno trovato e trovano applicazione in numerose aree del sapere scientifico, dalla fisica alla chimica, finanche
alla biologia. Per quanto riguarda il loro utilizzo in fisica, si spazia in varie
branche, quali meccanica quantistica, ottica quantistica, fisica della materia
condensata, fisica atomica, fisica dei plasmi, fisica nucleare, fisica delle particelle elementari e persino fisica matematica (teoria dei gruppi e integrali di
cammino).
In chimica, una sovrapposizione lineare di stati coerenti, parametrizzati
da traiettorie classiche, è stata utilizzata al fine di costruire funzioni d’onda
multidimensionali, e un approccio analogo ha inoltre condotto allo sviluppo
di una teoria semiclassica di collisione [1]. Nelle scienze biologiche, l’utilizzo della base canonica di stati coerenti permette di comprendere le forze a
lungo raggio tra le cellule ematiche umane e la coerenza a lungo raggio nelle
macromolecole di batteriorodopsina [1].
Oltre al caso dei fasci laser coerenti, un altro importante risultato in ottica
quantistica è stato ottenuto studiando la relazione di indeterminazione tra
gli operatori numero e fase, visti sopra, in termini della base di stati coerenti
[1]. Gli stati coerenti sono inoltre stati applicati alla teoria della superfluidità
e allo studio dei processi irreversibili nei cristalli anarmonici [1].
Tramite l’uso di stati coerenti, poi, è stato possibile ottenere, nell’ambito
della fisica nucleare, una descrizione dei condensati nella materia nucleare ed
efficaci modelli per le collisioni di ioni pesanti [1]. In fisica delle particelle, la
base degli stati coerenti può essere utilizzata per comprendere la distribuzione
di molteplicità adronica [1].
Di particolare rilievo sono gli stati coerenti di spin, variamente utilizzati:
un esempio importante di applicazione è lo studio delle funzioni di correlazione a diversi tempi per sistemi con osservabili che soddisfano l’algebra del
momento angolare [1]. Sono state inoltre studiate costruzione e proprietà
degli stati coerenti a carica conservata e queste ultime sono state applicate
al problema della produzione coerente di pioni [1].
2
Gli stati coerenti sono stati usati per costruire integrali di cammino quantomeccanici, i quali sono stati applicati all’equivalenza tra le equazioni di
Hartree e Hartree-Fock e le equazioni classiche del moto ottenute imponendo
la stazionarietà dell’azione classica [1]. In fisica teorica, gli stati coerenti sono
stati utilizzati per ottenere le ampiezze di transizione [1].
Nieto e Simmons, poi, hanno costruito stati coerenti per un potenziale generico, richiedendo quelle proprietà peculiari che li rendono fisicamente
interessanti. Particolarmente rilevanti in questo senso, quelli relativi ai potenziali di Rosen-Morse, Pöschl-Teller e Coulomb, di grande importanza in
fisica [1].
Per quel che riguarda gli stati coerenti dell’oscillatore armonico, risultati particolarmente felici sono quelli ottenuti dalla loro applicazione agli
oscillatori anarmonico, dipendente dal tempo e smorzato [1]. In questi casi,
l’utilizzo degli stati coerenti permette di semplificare notevolmente i calcoli
e di eliminare uno dei maggiori difetti derivanti dall’applicazione del metodo
perturbativo: la comparsa di termini secolari nell’espressione del valore d’aspettazione della posizione. Nel caso dell’oscillatore armonico dipendente dal
tempo, che verrà analizzato nel dettaglio in seguito, gli stati coerenti vengono
costruiti sfruttando gli invarianti quadratici [2] e sono particolarmente utili
nella descrizione del campo radiativo all’esterno di un laser, quando questo
viene settato [1].
3
Capitolo 2
Stati coerenti dell’oscillatore
armonico
Vediamo ora brevemente come si costruiscono e che peculiarità hanno gli
stati coerenti dell’oscillatore armonico.
2.1
Definizione
Si abbia l’operatore hamiltoniano dell’oscillatore armonico:
H=
1
p2
+ mω 2 x2 .
2m 2
(2.1)
Questo può essere scritto [3] in termini degli operatori di creazione e di
annichilazione (o operatori gradino), a† e a, come:
1
†
H = a a+
~ω
2
dove
†
r
a =
e
r
a=
(2.2)
mω
i
x− √
p
2~
2mω~
(2.3a)
mω
i
x+ √
p.
2~
2mω~
(2.3b)
4
Gli operatori posizione e momento, x e p, allora, sono legati agli operatori
gradino, a e a† , dalle relazioni:
r
~
a† + a
(2.4a)
x=
2mω
e
r
p=i
~mω †
a −a .
2
(2.4b)
Nota la relazione di commutazione tra posizione e momento
[ x, p ] = i~ ,
(2.5)
è facile verificare che a e a† soddisfano a loro volta
a, a† = 1 .
(2.6)
Data l’equazione (2.2), possiamo definire una base di autostati comuni
dell’hamiltoniano H e dell’operatore numero N = a† a, poiché questi commutano (e, anzi, sono legati tra loro da una relazione lineare). Si ha:
N |ni = n |ni
(2.7)
e dunque
1
H |ni = ~ω n +
2
|ni .
(2.8)
Gli autoket |ni formano un set ortonormale completo, ovvero:
∞
X
hm|ni = δmn ,
|nihn| = 1 .
(2.9)
n=0
Inoltre, valgono le seguenti relazioni di commutazione tra l’operatore N e gli
operatori a e a†
[ N, a ] = −a ,
N, a† = a† ,
(2.10)
tramite le quali si ricava l’azione di a e a† sugli stati |ni:
a† |ni =
√
n + 1 |n + 1i ,
√
a |ni = n |n − 1i .
5
(2.11a)
(2.11b)
Allora, un qualsiasi stato |ni può essere ricavato a partire dallo stato di
vuoto |0i applicando ripetutamente l’operatore a† , n volte, cioè:
√
a†n |0i = n! |ni ;
(2.12)
analogamente, un qualsiasi stato |ni può essere ricondotto allo stato di vuoto |0i applicando ripetutamente l’operatore a, n volte, cioè:
√
an |ni = n! |0i .
(2.13)
Lo stato coerente |αi è caratterizzato dal numero complesso α = |α| eiϕ
ed è autostato dell’operatore annichilazione relativo all’autovalore α, ovvero:
a |αi = α |αi .
(2.14)
Poiché gli |ni formano un set completo, è sempre possibile esprimere |αi
come sovrapposizione di questi stati, ovvero si può sempre scrivere:
|αi =
∞
X
cn |ni .
(2.15)
n=0
Per ricavare i coefficienti cn , innanzitutto sostituiamo l’espansione (2.18)
all’interno della relazione (2.14), ottenendo l’espressione:
∞
∞
X
X
√
cn |ni ,
n cn |n − 1i = α
n=1
(2.16)
n=0
quindi ridefiniamo n := n+1 al primo membro, dal momento che l’espansione
parte da n = 1. Si ottiene, dunque:
∞ X
√
n + 1 cn+1 − α cn |ni = 0
(2.17)
n=0
ovvero:
cn+1 = √
α
cn .
n+1
(2.18)
Partendo da n = 0 e iterando, si giunge a:
αn
cn = √ c0 .
n!
6
(2.19)
Otteniamo, quindi:
∞
X
αn
√ |ni ,
|αi = c0
n!
n=0
(2.20)
e il rimanente coefficiente ignoto c0 può essere determinato imponendo la
normalizzazione dello stato |αi
hα|αi = 1 ,
che porta a:
1
(2.21)
2
c0 = e− 2 |α| .
(2.22)
Allora, lo stato coerente normalizzato è espresso nella forma
− 12 |α|2
|αi = e
∞
X
αn
√ |ni ,
n!
n=0
(2.23)
che può anche essere riscritta in termini dello stato di vuoto |0i, sfruttando
la relazione (2.12):
|αi = e
− 21 |α|2
∞
X
αn
n=0
n!
a†
n
|0i .
(2.24)
Lo stato coerente |αi descrive un pacchetto d’onda non dispersivo per l’oscillatore armonico, di cui la quantità |α| specifica l’ampiezza d’oscillazione e ϕ
la fase.
Vediamo, ora, come ottenere il corretto comportamento classico a partire
da questi stati quantistici. Quando calcoliamo il valore di aspettazione dell’operatore posizione x sullo stato coerente |αi, sfruttando la relazione (2.4a),
otteniamo:
r
~
(α + α∗ ) .
(2.25)
hα | x | αi =
2mω
Applicando poi la parametrizzazione α = λeiωt , nel limite in cui
r
~
~ → 0 , λ → ∞ cosicché 2λ
→ A,
2mω
otteniamo:
hα | x | αi = A cos ωt .
7
(2.26)
Procedendo in maniera analoga per l’operatore momento p, si ricava:
r
~mω ∗
hα | p | αi = i
(α − α) ,
(2.27)
2
e
hα | p | αi = A mω sin ωt .
2.2
(2.28)
Proprietà
Le principali proprietà degli stati coerenti dell’oscillatore armonico sono le
seguenti.
1. Gli stati coerenti, per costruzione, sono normalizzati.
2. Gli stati coerenti rimangono coerenti col passare del tempo.
3. Su questi stati la relazione di indeterminazione di Heisenberg è minimizzata.
4. Gli stati coerenti non sono ortogonali tra loro e
1 2 1 2
∗
hα | βi = exp α β − |α| − |β| .
2
2
(2.29)
Il set di stati coerenti è supercompleto, ovvero contiene più stati di
quelli necessari per formare un set completo.
Le proprietà (2) e (3) sono certamente quelle fisicamente più interessanti.
Bisogna, però, prestare attenzione alla proprietà (3): infatti, esistono diversi
modi, essenzialmente equivalenti, di definire gli stati coerenti dell’oscillatore
armonico ed uno di questi è strettamente legato ad essa. Si hanno:
• Stati coerenti di minima incertezza (MUCS);
• Stati coerenti dell’operatore di annichilazione (AOCS);
• Stati coerenti dell’operatore di dislocamento (DOCS).
Gli AOCS sono quelli definiti nel paragrafo precedente come autostati di a.
I DOCS si definiscono, invece, nel seguente modo:
† −α∗ a
|αi = D (α) |0i = eαa
8
|0i ,
(2.30)
dove D (α) è l’operatore di dislocamento. I MUCS sono stati tali che,
quando vi vengono calcolati ∆x e ∆p, questi soddisfano la relazione di
indeterminazione di Heisenberg
∆x ∆p ≥
~
2
(2.31)
al livello di uguaglianza. Si noti che lo stato di vuoto |0i soddisfa questa
condizione ed è dunque uno stato coerente.
Queste tre definizioni sono equivalenti quando gli autovalori dell’energia sono equidistanti e limitati inferiormente ma non superiormente [1]: è
esattamente ciò che si ha in presenza del potenziale di oscillatore armonico.
Dunque MUCS, AOCS e DOCS sono stati coincidenti solo nel caso dell’oscillatore armonico mentre non lo sono per potenziali generalizzati. Inoltre, gli
stati coerenti di un potenziale generalizzato non soddisfano la proprietà di
stazionarietà, ovvero non rimangono coerenti col passare del tempo. Vedremo come queste considerazioni acquisteranno importanza nell’analisi degli
stati coerenti dell’oscillatore dipendente dal tempo.
Poiché abbiamo detto che la proprietà (3) è particolarmente interessante,
verifichiamola brevemente sugli stati |αi che abbiamo costruito. Sfruttiamo
la relazione
(∆x)2 = hx2 i − hxi2 .
(2.32)
Abbiamo già calcolato hxi e hpi nel paragrafo precendente. Abbiamo inoltre:
~ (α + α∗ )2 + 1
2mω
(2.33a)
~mω − (α∗ − α)2 + 1 .
2
(2.33b)
hα| x2 |αi =
e
hα| p2 |αi =
Si ha, dunque,
(∆x)2 =
~
,
2mω
(∆p)2 =
~mω
,
2
(2.34)
da cui risulta ovviamente
~2
~
=⇒ ∆x ∆p = .
(2.35)
4
2
La definizione dei DOCS, d’altra parte, fornisce una maniera semplice per
calcolare la funzione d’onda ψα (x) e cosı̀ verificare che si tratta realmente di
un pacchetto gaussiano [3]. Sfruttando le definizioni (2.3) di a e a† , possiamo
riscrivere D(α) in termini degli operatori x e p, come segue
r
mω (α − α∗ )
i
(α + α∗ )
√
√
D(α) = exp
x− √
p .
(2.36)
~
2
2
~mω
(∆x)2 (∆p)2 =
9
Utilizzando poi la formula di Glauber
1
eA+B = eA eB e− 2 [A,B] ,
(2.37)
valida quando [A, B] è un valore numerico, si ottiene
D(α) = e
√ mω
∗
)
(α−α
√
2
~
x −√
e
i
~mω
∗
)
(α+α
√
2
p
e
α∗2 −α2
4
.
(2.38)
La funzione d’onda ψα (x) è data da
ψα (x) = hx | αi = hx | D(α) | 0i
(2.39)
ovvero, alla luce di quanto ottenuto,
ψα (x) = e
α∗2 −α2
4
e
√ mω
~
∗
)
(α−α
√
2
x
−
hx | e
√ i
~mω
∗
)
(α+α
√
2
p
| 0i .
(2.40)
p
Ora, l’operatore e−iλ ~ è l’operatore di traslazione di λ lungo x, e dunque:
r
√ mω (α−α∗ )
α∗2 −α2
~
√
x
2
hx −
(α + α∗ ) | 0i .
(2.41)
ψα (x) = e 4 e ~
2mω
A questo punto, ricordiamo le relazioni (2.25) e (2.27) e riscriviamo α e α∗
in termini di hxiα e hpiα , avendo
ψα (x) = e
α∗2 −α2
4
ei
hpiα
~
x
hx − hxiα | 0i
(2.42)
Poiché hx | 0i = φ0 (x), allora hx − hxiα | 0i = φ0 (x − hxiα ), cioè è lo stato di
vuoto traslato di hxiα . Inoltre, 14 α∗ 2 − α2 = i|α|2 cos ϕ sin ϕ ≡ iθα , ovvero
è una fase globale. Pertanto, si ha infine,
)
( 2
mω 14
x
−
hxi
x
α
+ i hpiα
,
(2.43)
exp −
ψα (x) = eiθα
π~
2∆xα
~
e la densità di probabilità, dunque il pacchetto d’onda, associata allo stato |αi
è, quindi:
(
r
2 )
mω
1
x
−
hxi
α
|ψα (x)|2 =
exp −
,
(2.44)
π~
2
∆xα
cioè proprio l’attesa gaussiana.
10
Capitolo 3
Applicazione al problema
dell’oscillatore armonico
dipendente dal tempo
Ora che abbiamo visto come sono costruiti e quali proprietà hanno gli stati
coerenti dell’oscillatore armonico, ricaviamo quelli per l’oscillatore dipendente dal tempo, mettendone in luce le peculiarità.
3.1
Introduzione al problema
L’oscillatore armonico dipendente dal tempo è un sistema la cui Hamiltoniana
ha la forma di quella dell’oscillatore armonico semplice, con la differenza che
la frequenza di oscillazione può variare nel tempo.
Questo è fisicamente rilevante sia sul piano teorico che su quello sperimentale dal momento che molti sistemi fisici presentano carattere oscillante
e possono essere trattati come oscillatori armonici ed è interessante studiare
cosa succede in presenza di una dipendenza esplicita dal tempo.
Solitamente, per risolvere il problema agli autovalori per una Hamiltoniana del tipo in analisi si utilizzano tecniche di approssimazione, come la teoria
delle perturbazioni: in questo approccio, la Hamiltoniana di particella libera
viene perturbata da un potenziale armonico dipendente dal tempo. Questa
tecnica, però, richede che la perturbazione sia piccola – nel senso di norma
di un operatore – rispetto all’Hamiltoniana stazionaria.
Nella presente discussione, invece, applicheremo il metodo sviluppato da
Lewis e Riesenfeld [2], che sfrutta gli invarianti quadratici dipendenti dal
tempo per risolvere il sistema. Quindi utilizzeremo gli stati cosı̀ ottenuti per
costruire gli stati coerenti dell’oscillatore armonico dipendente dal tempo.
11
3.2
Invariante hermitiano per hamiltoniano
con dipendenza temporale esplicita
Il metodo di Lewis e Riesenfeld consiste nell’applicare la teoria degli invarianti
di Noether per le Hamiltoniane classiche alle Hamiltoniane quantistiche.
Si abbia l’Hamiltoniana H(t) generica. Assumiamo che esista I(t) tale
che
dI
1
∂I
=
[I, H] +
= 0,
(3.1)
dt
i~
∂t
con I(t) hermitiano.
Dalla relazione (3.1) si prova facilmente che, se |ψi è soluzione dell’equazione di Schrödinger
∂
|ψi = H(t) |ψi ,
(3.2)
i~
∂t
allora anche I(t) |ψi è soluzione della stessa.
Poiché per ipotesi I(t) = I † (t), possiamo risolverne il problema agli
autovalori. Supponiamo di aver trovato
I(t) |λn i = λn (t) |λn i ,
(3.3)
con
hλm | λn i = δmn ,
λn ∈ R ∀n ,
(3.4)
vogliamo sapere come sono fatti gli autostati e gli autovalori, ovvero se
dipendono dal tempo.
Innanzitutto, differenziamo l’equazione (3.3), ottenendo:
∂
∂λn
∂
∂I
|λn i + I
|λn i =
|λn i + λn
|λn i .
∂t
∂t
∂t
∂t
(3.5)
Applichiamo poi l’equazione (3.1) al ket |λn i
i~
∂I
|λn i + IH |λn i − H λn |λn i = 0
∂t
(3.6)
e proiettiamo quest’ultima relazione sul bra hλm |, ottenendo:
i~ hλm |
∂I
|λn i + (λm − λn ) hλm | H |λn i = 0 ,
∂t
ovvero, per λm = λn ,
hλn |
∂I
|λn i = 0 .
∂t
12
(3.7)
(3.8)
A questo punto, proiettiamo l’equazione (3.5) sul bra hλn | e sfruttiamo quanto
ricavato, ottenendo:
∂λn
∂λn
|λn i =
=0
(3.9)
hλn |
∂t
∂t
ovvero, λn = cost. Questo ci dice che gli autovalori sono costanti e dunque
la dipendenza temporale è tutta negli autostati; allora ridefiniamo:
|λn i ≡ |λn , ti .
(3.10)
A questo punto vogliamo capire se questi stati risolvono l’equazione di
Schrödinger, ovvero se siano in qualche modo legati agli autostati di H(t).
Per fare questo, riscriviamo l’equazione (3.5) alla luce del risultato (3.9) e
proiettata sul bra hλm , t |,
∂
∂I
|λn , ti = hλm , t|
|λn , ti ,
(3.11)
∂t
∂t
quindi applichiamo al secondo membro quanto ottenuto nell’equazione (3.7),
ottenendo:
∂
(λn − λm ) hλm , t| i~
− H(t) |λn , ti = 0 .
(3.12)
∂t
(λn − λm ) hλm , t|
Questo significa che
∂
− H(t) |λn , ti = 0 ,
hλm , t| i~
∂t
per λm 6= λn .
(3.13)
Se l’uguaglianza (3.13) valesse anche per λm = λn , avremmo che |λn , ti risolve l’equazione di Schrödinger. D’altra parte, possiamo sempre operare su
|λn , ti la seguente trasformazione unitaria, che lo ruota di una fase reale non
stazionaria,
|λn , tis = e i γn (t) |λn , ti .
(3.14)
Imponendo la condizione, valida solo se I(t) non contiene differenziazioni in t,
∂
d
γn (t) = hλn , t| i~
− H(t) |λn , ti ,
(3.15)
~
dt
∂t
otteniamo che il nuovo set di autostati di I(t), |λn , tis , è anche un set di autostati di H(t). Dunque, una generica soluzione dell’equazione di Schrödinger
può essere scritta come
|ψ, tis =
∞
X
cn e i γn (t) |λn , ti ,
n=0
dove i cn sono coefficienti indipendenti dal tempo.
13
(3.16)
3.3
Stati coerenti dell’oscillatore armonico dipendente dal tempo
A questo punto, possiamo applicare quanto visto nel paragrafo precedente,
valido in generale, al caso specifico dell’oscillatore dipendente dal tempo. Sia
dunque l’Hamiltoniana del sistema in analisi
H(t) =
p2 1 2
+ ω (t) x2 ,
2
2
(3.17)
in cui è stato imposto m ≡ 1, per semplicità di calcolo.
L’invariante I(t) più opportuno per trattare questo problema è quello di
Ermakov-Lewis,
2 x2 1 ˙
ξp − ξx + 2 ,
(3.18)
I(t) =
2
ξ
in cui ξ(t) è una funzione numerica reale (cosicché I(t) è hermitiano) che
risolve l’equazione ausiliaria di Ermakov,
1
ξ¨ + ω 2 (t) ξ = 3 .
ξ
(3.19)
Sappiamo, dal paragrafo precedente, come gli autostati di H(t) possono
essere ricavati da quelli di I(t), dunque ci basta risolvere solo lo spettro
di quest’ultimo. Possiamo definire gli operatori gradino, che permettono di
muoversi nel suddetto spettro, nel seguente modo:
x
1
˙
+ i ξp − ξx ,
(3.20a)
a= √
2~ ξ
1
x
†
˙
a = √
− i ξp − ξx .
(3.20b)
2~ ξ
Nota la relazione di commutazione tra posizione
e momento, [ x, p ] = i~, è
†
immediato verificare che vale ancora a, a = 1, il che comporta che I(t)
può essere espresso in termini di a e a† nella seguente forma:
1
†
I(t) = ~ a a +
.
(3.21)
2
Abbiamo, dunque, formalizzato il problema in modo tale che lo spettro di
I(t) possa essere risolto esattamente. Si ha:
1
I |n, ti = ~ n +
|n, ti ,
(3.22)
2
14
e le azioni di a e a† su |n, ti sono quelle già note,
√
a |n, ti = n |n − 1, ti ,
√
a† |n, ti = n + 1 |n + 1, ti .
(3.23a)
(3.23b)
Dalle relazioni (3.20), è possibile ricavare x e p in termini di a e a† .
Questo ci consente di ottenere una nuova forma per H(t), che sfruttiamo,
insieme allla condizione (3.15) in cui sostituiamo |n, ti a |λn , ti, per trovare
l’epressione della funzione di fase γn (t),
Z t
1
1
dt0 .
(3.24)
γn (t) = − n +
2
0
2
0 ξ (t )
La soluzione generale dell’equazione di Schrödinger relativa all’Hamiltoniana
H(t) è dunque
∞
X
cn e i γn (t) |n, ti .
(3.25)
|ψ, tis =
n=0
L’evoluzione temporale delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger può
essere ottenuta tramite l’operatore U (t) che soddisfa
i~
∂U
= H(t) U .
∂t
(3.26)
H
Quando H non dipende esplicitamente dal tempo, U (t) = e−i ~ t . Ovviamente
nel nostro caso, in cui si ha dipendenza temporale esplicita, questo non è vero,
però è vero, comunque sia fatto U (t), che
|ψ, tis = U (t) |ψ, 0is ;
(3.27)
dunque, per gli autostati di I(t), questo si traduce in
|n, ti = e−i γn (t) U (t) |n, 0i ,
(3.28)
avendo assunto che a t = 0, U (0) = 1, γn (0) = 0 e lo stato |n, 0is sia
identico a |n, 0i.
A questo punto, abbiamo tutto ciò che ci serve per costruire gli stati coerenti per il nostro sistema e la loro evoluzione temporale. Scriviamo dunque
lo stato coerente |α, 0is al tempo t = 0, dove
a(0) |α, 0is = α |α, 0is ,
(3.29)
come sovrapposizione degli autostati di I(t) a t = 0, ovvero
|α, 0is =
∞
X
n=0
15
cn |n, 0i .
(3.30)
Sfruttando queste ultime due relazioni, note l’azione di a su |n, 0i e l’ortonormalità degli stati e imponendo la normalizzazione di |α, 0is , ricaviamo
− 12 |α|2
|α, 0is = e
∞
X
αn
√ |n, 0i .
n!
n=0
(3.31)
Facciamo evolvere lo stato cosı̀ ottenuto tramite l’operatore U (t), sfruttando
la relazione (3.28):
|α, tis = e
− 21 |α|2
∞
X
αn
√ e i γn (t) |n, ti .
n!
n=0
(3.32)
Gli stati coerenti |α, tis cosı̀ ottenuti sono autostati dell’operatore di annichilazione a(t) relativi all’autovalore α e 2 i γ0 (t) , dove
Z
1 t 1
dt0 ,
(3.33)
γ0 (t) = −
2 0 ξ 2 (t0 )
ovvero 2 γ0 (t) = γn+1 (t) − γn (t).
Dalle definizioni (3.20) si ricavano le seguenti espressioni per x e p in
termini di a e a† :
r
~
x=
ξ a + a† ,
(3.34a)
2
r i
i
~
a + ξ˙ +
a† .
(3.34b)
ξ˙ −
p=
2
ξ
ξ
Tramite queste è semplice calcolare hxi2 , hx2 i, hpi2 , hp2 i sugli stati |α, tis e
quindi ottenere, sfruttando ancora la relazione (2.32),
~ ˙2
1
~ 2
2
2
(∆x) = ξ ,
ξ + 2 ,
(∆p) =
(3.35)
2
2
ξ
da cui si evince facilmente che
21
~ ˙2 2
∆x ∆p =
ξ ξ +1 .
2
(3.36)
Ma, allora, gli stati coerenti che abbiamo costruito non minimizzano la relazione di indeterminazione di Heisenberg. Inoltre, dato che ξ è una funzione
del tempo, le larghezze dei pacchetti d’onda variano nel tempo, ovvero i
pacchetti si espandono.
16
Capitolo 4
Moto di una particella carica in
un campo elettromagnetico
uniforme e non costante
La maggior parte dei sistemi fisici, come abbiamo detto, presentano carattere
oscillante, quindi il loro studio può essere ricondotto a quello degli oscillatori. Vediamo dunque un caso che dimostra l’importanza di saper risolvere il
problema dell’oscillatore armonico dipendente dal tempo.
Consideriamo una particella di massa m e carica e che si muova in un
campo elettromagnetico classico, a simmetria assiale, definito dal potenziale
vettore
~ = 1 B(t) κ̂ × ~r
(4.1)
A
2
e dal potenziale scalare
φ=
1 e
1 e
η(t) r2 =
η(t) x2 + y 2 ,
2
2
2 mc
2 mc
(4.2)
dove ~r è il vettore posizione, κ̂ è il versore dell’asse di simmetria, r è la
distanza euclidea dall’asse, x e y sono le coordinate cartesiane ortogonali
all’asse, B(t) e η(t) sono arbitrarie funzioni del tempo continue a tratti e c è la
velocità della luce nel vuoto. Il potenziale φ è generato dalla distribuzione di
−e
carica uniforme, dipendente dal tempo e a simmetria assiale pari a 2πmc
2 η(t).
Il campo elettrico e il campo magnetico sono
~ = −∇φ
~ − 1A
~˙ = − e η(t) (x ı̂ + y ̂) − 1 Ḃ(t) κ̂ × ~r
E
c
mc2
2c
(4.3)
~ =∇
~ ×A
~ = B(t)κ̂ ,
B
(4.4)
e
17
dove ı̂ e ̂ sono rispettivamente i versori nelle direzioni x e y, e κ̂ = ı̂ × ̂.
Dal momento che il moto della particella parallelo all’asse κ̂ in questi
campi è banale, tratteremo solo il caso del moto ortogonale. L’Hamiltoniana
per questo sistema è
e ~ 2
1 p~ − A
HEM =
+ eφ =
2m
c
2
e2
B
1
2
2
px + py +
+ η x2 + y 2 +
(4.5)
=
2
2m
2mc
4
eB
+
(ypx − xpy ) ,
2mc
dove p~ = ı̂ px + ̂ py è il momento canonico della particella. Come al solito,
gli unici commutatori non nulli tra coordinate e momenti sono
[x, px ] = [y, py ] = i~ .
(4.6)
A questo punto, introduciamo le coordinate polari r e θ ed i loro momenti
coniugati pr e pθ , tramite le definizioni
1
r = x2 + y 2 2 ,
y
θ = arctg
,
x
1 x
x y
y
pr =
px + px + py + py
=
2 r
r r
r
1
i~
= (xpx + ypy ) −
,
r
2r
pθ = xpy − ypx .
(4.7)
Questi sono operatori hermitiani e gli unici commutatori non nulli tra loro
sono
[r, pr ] = [θ, pθ ] = i~ .
(4.8)
Possiamo esprimere la Hamiltoniana HEM in termini di r, pr , θ, pθ , ottenendo
"
#
2
~
~
p
−
p
+
e2
B
1
eB
θ
θ
2
2
2
pr +
+
+ η r2 −
pθ . (4.9)
HEM =
2
2
2m
r
2mc
4
2mc
Notiamo che, a causa della simmetria assiale, HEM non dipende esplicitamente da θ, e pθ , cioè la componente z del momento angolare, è una costante
del moto. Abbiamo definito il sistema in analisi sfruttando due sistemi di
coordinate. Procediamo col vedere come possiamo ricondurci a quanto già
noto dal capitolo precedente.
18
4.1
Legame con l’oscillatore armonico dipendente dal tempo
Gli operatori delle variabili cartesiane della particella sono collegati a variabili che soddisfano le stesse equazioni del moto dell’oscillatore armonico
dipendente dal tempo [2], tramite la trasformazione non-canonica
Z t
e
0
0
(4.10a)
B(t ) dt ,
Q = (x + iy) exp i
2mc
Z t
c
e
0
0
P = (px + ipy ) exp i
(4.10b)
B(t ) dt .
e
2mc
Infatti, si verifica facilmente che Q e P soddisfano le relazioni
e
Q̇ =
P,
mc
e 2
Ṗ = −
Ω (t) Q ,
mc
quando Ω 2 (t) sia definito come
(4.11a)
(4.11b)
1 2
B (t) + η(t) .
(4.12)
4
Nonostante la trasformazione non sia canonica poiché vale la relazione di
commutazione [Q, P ] = 0 e nonostante Q e P non siano hermitiani, basta
che sussistano le relazioni (4.11) perché sia possibile costruire un invariante
I nella forma espressa dall’equazione (3.18) [2]. Si ha
2 1 (x + iy)2 c2 ˙ + iy)
+ 2 ξ(px + ipy ) − m ξ(x
I(t) =
2
ξ2
e
Z t
e
0
0
· exp i
B(t ) dt , (4.13)
mc
Ω 2 (t) =
dove ξ è una qualsiasi soluzione particolare di
mc 2
1
ξ¨ + Ω 2 (t)ξ − 3 = 0 .
e
ξ
(4.14)
Si verifica facilmente che I(t) definito dall’equazione (4.13) soddisfa
dI
1
∂I
=
[I, HEM ] +
= 0,
(4.15)
dt
i~
∂t
dove HEM è quello dell’equazione (4.5). L’invariante I non è né hermitiano né
anti-hermitiano, ma da questo può essere ricavato un invariante hermitiano
al quale può essere applicata la teoria discussa al Capitolo 3 [2].
19
4.2
Invariante hermitiano del sistema
Per ricavare un invariante hermitiano, introduciamo una nuova trasformazione di coordinate, dipendente dal tempo, cosicché la dipendenza temporale
esplicita di I(t) sia contenuta solo in un termine di fase; la trasformazione è
1
y,
ξ
PY = ξ py − m ξ˙ y .
1
x,
ξ
PX = ξ px − m ξ˙ x ,
Y =
X=
(4.16)
Perché queste nuove variabili siano hermitiane, è necessario che ξ sia reale.
La trasformazione (4.16) è canonica, dal momento che i soli commutatori
non nulli sono [X, PX ] = [Y, PY ] = i~ . L’espressione di I(t) in termini delle
nuove variabili è:
Z t
1
c2
e
2
2
0
0
B(t ) dt . (4.17)
I(t) =
(X + iY ) + 2 (PX + iPY ) exp i
2
e
mc
Vogliamo, però, sfruttare ancora la simmetria assiale del sistema. Introduciamo, dunque, anche gli operatori delle variabili polari associate a
X, Y, PX e PY :
1
1
R = X2 + Y 2 2 = r ,
ξ
y
Y
θ = arctg
= arctg
,
X
x
1
i~
PR = (XPX + Y PY ) −
= ξ pr − m ξ˙ r ,
R
2R
(4.18)
pθ = XPY − Y PX = xpy − ypx .
Anche questa trasformazione è canonica, infatti gli unici commutatori non
nulli sono [R, PR ] = [θ, pθ ] = i~ . L’invariante I(t) allora si scrive
Z t
1
e
0
0
I(t) =
exp 2i θ +
B(t ) dt
(C + iD) ,
(4.19)
2
2mc
dove C e D sono operatori hermitiani dati da
C = R2 +
D=
c 2
e
c 2
e
(pθ + ~)2 − 43 ~2
2
PR −
R2
1
1
(pθ + ~) PR + PR
R R
20
!
,
(4.20a)
.
(4.20b)
L’equazione (4.19) può essere anche riscritta come
Z t
1
e
0
0
0
0
I(t) = (C + iD ) exp 2i θ +
,
B(t ) dt
2
2mc
(4.21)
dove C 0 e D0 si ottengono rispettivamente da C e D sostituendo (pθ − ~) a
(pθ + ~).
Dalle equazioni (4.19) e (4.21) segue che gli operatori hermitiani I † I e
†
II sono invarianti indipendenti da θ e che differiscono l’uno dall’altro per
un operatore costante dipendente da pθ . Cerchiamo allora di costruire un
invariante indipendente da θ che sia una forma biquadratica in R, PR e R−1
e possa essere scritto come una funzione lineare di I † I:
2
c 2
ζ
2
2
(4.22)
R +
PR + 2 = 4I † I + σ ,
e
R
in cui ζ e σ sono operatori hermitiani costanti dipendenti al più dal solo
pθ . Il coefficiente di I † I è dato dalla normalizzazione di I. La soluzione
dell’equazione (4.22) è
c 2 1
1
ζ=
pθ + ~ ,
(4.23a)
pθ − ~
e
2
2
c 2
σ=4
(pθ + ~)2 ;
(4.23b)
e
dunque, l’operatore
"
(
#)2
1
1
c 2
p
−
~
p
+
~
θ
θ
2
2
PR2 +
(4.24)
I12 = R2 +
e
R2
è l’invariante
p biquadratico che stavamo cercando. Si può mostrare che lo
stesso I1 = I12 è a sua volta un invariante hermitiano e soddisfa l’equazione (4.15) per l’Hamiltoniana scritta della forma (4.9).
Infine, invece di lavorare direttamente con I1 , definiamo un altro invariante hermitiano K come
1 |e|
1
I1 − s pθ
4 c "
2
#
pθ − 12 ~ pθ + 12 ~
c
|e| 2 1
2
=
PR +
+
R − s pθ ,
2
4 |e|
R
4c
2
K=
dove
s=
e
= ±1 .
|e|
21
(4.25)
(4.26)
La forma dell’operatore K è la stessa dell’Hamiltoniana (4.9) quando il campo elettromagnetico è costante; ci troviamo dunque in una situazione analoga
a quella del paragrafo 3.3, in cui l’invariante scelto ha la forma dell’Hamiltoniana del sistema nel caso stazionario. A K può essere applicata la teoria
elaborata nel Capitolo 3 e il suo problema agli autovalori può essere risolto
elegantemente col metodo operatoriale.
4.3
Risoluzione del problema agli autovalori
per l’operatore K
Vogliamo innanzitutto definire gli operatori gradino per il sistema. Per farlo,
sfruttiamo gli operatori
"
#)
21 (
1
p
+
~
e
1 sc
θ
2
PR − i
R+
(4.27a)
b=
2 |e| ~
c
R
"
"
#)
1 #∗ (
pθ + 12 ~
1
sc 2
e
†
b =
PR + i
R+
(4.27b)
2
|e| ~
c
R
e definiamo a e a† come
a = be−iθ ,
(4.28a)
a† = eiθ b† .
(4.28b)
Si ha che questi soddisfano la relazione di commutazione
†
a, a = s .
A questo punto, possiamo scrivere K in termini di a e a† , come
~
†
K = ~aa − s pθ +
2
~
†
= ~a a − s pθ −
.
2
(4.29)
(4.30)
Si ha che K commuta con a e a† , ovvero [K, a] = [K, a† ] = 0, e questo
comporta che applicando a o a† ad un autostato di K si ottiene ancora un
autostato di K relativo allo stesso autovalore. I commutatori di pθ con a e
a† sono
[pθ , a] = −~a ,
[pθ , a† ] = ~a† ,
(4.31)
22
pertanto a e a† sono rispettivamente gli operatori di abbassamento e innalzamento per gli autovalori di pθ .
Dal momento che non dipende esplicitamente da θ, K commuta con pθ e
dunque possiamo definire una base di loro autostati comuni, |j, ni, siffatta:
hj, n | k, mi = δjk δnm ,
1
~ |j, ni ,
K |j, ni = j +
2
(4.32a)
(4.32b)
pθ |j, ni = n ~ |j, ni ,
(4.32c)
a |j, ni ∝ |j, n − 1i ,
(4.32d)
a† |j, ni ∝ |j, n + 1i .
(4.32e)
Imporre la normalizzazione di tutti gli stati equivale dire che gli elementi di matrice hj, n| aa† |j, ni e hj, n| a† a |j, ni devono essere non-negativi,
pertanto:
1
1
†
hj, n| a a |j, ni = hj, n| K + s pθ − ~ |j, ni
~
2
1
1
= j+
+ n−
s≥0
(4.33a)
2
2
e
1
1
hj, n| aa |j, ni = hj, n| K + s pθ + ~ |j, ni
~
2
1
1
= j+
+ n+
s ≥ 0.
2
2
†
(4.33b)
Da queste, si eccepisce che j è intero, altrimenti si potrebbero ottenere stati
non normalizzabili per successive applicazioni di a o a† . Per s = 1 la prima
disuguaglianza fornisce una maggiore restrizione, per s = −1 è la seconda
ad essere più restrittiva. Allora, le possiamo riassumere entrambe nell’unica
disuguaglianza
j + ns ≥ 0 .
(4.34)
D’altro canto, si ha che j deve essere positivo, perché K può essere espresso
in termini di X, Y, PX e PY come
c e 2 e 2
K=
P X + Y + PY − X
,
(4.35)
4 |e|
c
c
23
e dunque j + 12 ~ = hj, n| K |j, ni, in quanto valore di aspettazione della
somma dei quadrati di due operatori hermitiani, non può essere negativo.
Quando s = 1, fissato j, si ha che il valore minimo che n può assumere
è −j e lo stato |j, −ji si determina tramite
)
pθ |j, −ji = −j~ |j, −ji
per s = 1 .
(4.36)
a |j, −ji = 0
Analogamente, per j fissato e s = −1, il valore massimo che n può assumere
è j e lo stato |j, ji si determina tramite
)
pθ |j, ji = j~ |j, ji
per s = −1 .
(4.37)
a† |j, ji = 0
Tutti gli altri stati possibili si ottengono applicando ripetutamente a† su |j, −ji
(per s = 1) o a su |j, ji (per s = −1). Sfruttando le disuguaglianze (4.33) e
scegliendo opportunamente le fasi relative tra gli stati, si ottiene:
p
(4.38a)
a† |j, ni = j + n + 1 |j, n + 1i per s = 1 ,
p
(4.38b)
a |j, ni = j − n + 1 |j, n − 1i per s = −1 .
4.4
Calcolo delle fasi e costruzione degli stati
coerenti
Dunque, sappiamo come sono fatti gli autostati di K; vogliamo costruire,
a partire da questi, gli autostati di HEM (t). Finora non avevamo avuto
necessità di rimarcare che gli autostati |j, ni dipendono dal tempo, mentre
gli autovalori j e n sono costanti. Lo facciamo ora, rindefinendo
|j, ni ≡ |j, n; ti .
Dal Capitolo 3, sappiamo che uno stato |j, n; tis = e i γjn (t) |j, n; ti è
soluzione dell’equazione di Schrödinger se la fase γjn (t) soddisfa
∂
dγjn
= hj, n; t| i~
− HEM |j, n; ti .
(4.39)
~
dt
∂t
Utilizziamo le relazioni (4.38) e la definizione (4.30) per elaborare il secondo
membro, ottenendo per s = 1
∂
∂
hj, n| i~
− HEM |j, ni = hj, n − 1| i~
− HEM |j, n − 1i (4.40a)
∂t
∂t
1
∂
+
hj, n − 1| a, i~
− HEM a† |j, n − 1i ,
j+n
∂t
24
e per s = −1
∂
∂
− HEM |j, ni = hj, n + 1| i~
− HEM |j, n + 1i
hj, n| i~
∂t
∂t
(4.40b)
1
∂
+
hj, n + 1| a† , i~
− HEM a |j, n + 1i .
j−n
∂t
Tra i due commutatori che compaiono nelle equazioni (4.40) sussiste la relazione [2]
†
∂
∂
†
− HEM = − a, i~
− HEM ,
(4.41)
a , i~
∂t
∂t
quindi valutiamo solo il secondo. Per calcolarlo utilizziamo la scrittura di a
e di HEM in termini di r, pr , θ e pθ : HEM è dato dall’uguaglianza (4.9), a è
dato da
"
#)
1 (
1
p
+
~
e
1 sc 2
r
θ
2
ξ pr − m ξ˙ r − i
+ξ
a=
e−iθ .
(4.42)
2 |e| ~
cξ
r
Si ha che il commutatore vale
∂
− HEM = −i~ ȧ ,
a, i~
∂t
(4.43)
e possiamo sfruttare l’equazione di Heisenberg per calcolare ȧ, cosı̀ da ottenere, ricordando anche la relazione (4.41),
∂
1
e~ B
a, i~
− HEM =
− 2 a
(4.44a)
∂t
mc 2
ξ
e
e~ B
1
∂
− HEM = −
− 2 a† .
a , i~
∂t
mc 2
ξ
†
(4.44b)
Da ultimo, ricordiamo che siamo ancora liberi di scegliere le fasi di |j, −ji
(per s = 1) e |j, ji (per s = −1): le prendiamo tali che
1
e~ B
1
∂
s
hj, n| i~
− HEM |j, ni = n + j +
− 2 , (4.45)
∂t
2
mc 2
ξ
cosicché la fase γjn (t) è data da
Z t
1
e
1
1
0
s
B(t ) − 2 0
dt0 .
γjn (t) = n + j +
2
mc
2
ξ (t )
25
(4.46)
Dunque, una generica soluzione dell’equazione di Schrödinger relativa all’Hamiltoniana della particella carica in moto in un campo elettromagnetico
uniforme non costante è:
X
|ψ; tis =
cj,n e i γjn (t) |j, n; ti .
(4.47)
j,n
Come abbiamo visto per l’oscillatore armonico dipendente dal tempo, vale
che se U (t) è l’operatore che soddisfa
i~
∂U
= HEM (t)U ,
∂t
(4.48)
allora
|ψ, tis = U (t) |ψ, 0is .
(4.49)
Questo, per gli autostati di K, significa che
|j, n; ti = e−i γjn (t) U (t) |j, n; 0i ,
(4.50)
avendo assunto U (0) = 1, γjn (0) = 0 e |j, n; 0is ≡ |j, n; 0i.
A questo punto, possiamo costruire gli stati coerenti per il sistema. Dobbiamo distinguere i due casi s = ±1. Per s = 1 gli autovalori di pθ sono
limitati inferiormente ma non superiormente e il limite inferiore è espresso
da a |j, −j; ti = 0: è analogo a quanto accade per l’oscillatore armonico.
Per s = −1, invece, gli autovalori di pθ sono limitati superiormente ma non
inferiormente e il limite superiore è espresso da a† |j, j; ti = 0: in questa
situazione, a† si comporta da operatore di annichilazione e infatti, come si
vede dall’equazione (4.38b), gli stati vengono costruiti con a; allora, gli stati
coerenti in questo caso sono gli autostati di a† .
Sia s = 1 e si abbia lo stato |α, 0is tale che
a(0) |α, 0is = α |α, 0is ;
(4.51)
possiamo riscriverlo come sovrapposizione di autostati di K, che al tempo
t = 0 coincidono con gli autostati di HEM , ottenendo
|α, 0is =
+∞
X
cj,n |j, n; 0i .
(4.52)
n=−j
Sostituendo quest’ultima relazione nell’equazione (4.51) troviamo
α
+∞
X
cj,n |j, n; 0i =
n=−j
+∞
X
n=−j
26
cj,n a |j, n; 0i .
(4.53)
Per scoprire l’azione di a su |j, n; 0i sfruttiamo l’equazione (4.38a) e la
definizione (4.30) di K; otteniamo
p
a |j, ni = j + n |j, n − 1i .
(4.54)
Allora si ha
α
+∞
X
cj,n |j, n; 0i =
n=−j
+∞
X
cj,n+1
p
j + n + 1 |j, n; 0i
(4.55)
n=−j
avendo operato la sostituzione n → n + 1 al secondo membro. Da qui, si
ottiene
α
cj,n+1 = √
cj,n
(4.56)
j+n+1
e iterando a partire da n = −j
αj+n
cj,−j .
cj,n = p
(j + n)!
(4.57)
Il coefficiente cj,−j si calcola, come sappiamo, imponendo la normalizzazione
di |α, 0is . Complessivamente si ha
1
|α, 0is = e− 2 |α|
2
+∞
X
n=−j
αj+n
p
|j, n; 0i .
(j + n)!
(4.58)
Sia ora s = −1 e si abbia lo stato |β, 0is tale che
a† (0) |β, 0is = β |β, 0is ;
(4.59)
ancora, possiamo scriverlo come sovrapposizione di autostati di K, come
|β, 0is =
+j
X
kj,n |j, n; 0i .
(4.60)
n=−∞
Troviamo l’azione di a† in questo caso, in maniera analoga a come abbiamo
trovato quella di a per s = 1,
p
a† |j, ni = j − n |j, n + 1i
(4.61)
e la usiamo per trovare una relazione di ricorrenza tra i coefficienti. Si ha
β
kj,n−1 = √
kj,n
j−n+1
27
(4.62)
e notiamo che n decresce perché partiamo da un massimo stavolta. Iterando
otteniamo
β (j−n)
kj,n = p
kj,j
(4.63)
(j − n)!
e kj,j si ricava ancora una volta imponendo la normalizzazione. Complessivamente, lo stato coerente assume la stessa forma già vista: si ha
1
|β, 0is = e− 2 |β|
2
+j
X
β (j−n)
p
|j, n; 0i .
(j
−
n)!
n=−∞
(4.64)
Dunque abbiamo ricavato gli stati coerenti per entrambi i casi.
A questo punto possiamo evolverli nel tempo utilizzando l’operatore U (t)
e ricordando la relazione (4.50):
− 21 |α|2
|α, tis = e
+∞
X
e i γjn (t) |j, n; 0i ,
(4.65a)
β (j−n)
p
e i γjn (t) |j, n; 0i .
(j
−
n)!
n=−∞
(4.65b)
n=−j
− 21 |β|2
|β, tis = e
αj+n
p
(j + n)!
+j
X
Questi ultimi due stati sono autostati rispettivamente di a(t) e di a† (t) con
relativi autovalori α ei2γ00 (t) e β ei2γ00 (t) , dove
Z t
1
1
1 e
0
γ00 (t) = s
B(t ) − 2 0
dt0 .
(4.66)
2 mc
2
ξ (t )
Abbiamo dunque costruito gli stati coerenti per entrambe le sistuazioni in
cui il sistema può trovarsi e scoperto come evolvono nel tempo.
28
Capitolo 5
Conclusioni
In questo lavoro di tesi abbiamo studiato il problema dell’oscillatore armonico dipendente dal tempo, risolvendolo esattamente grazie al metodo di Lewis
e Riesenfeld, e abbiamo trovato che gli stati coerenti del sistema non rimangono, di fatto, coerenti col passare del tempo né minimizzano la relazione
d’indeterminazione di Heisenberg come sarebbe stato auspicabile. Però, nel
lavorare col metodo di Lewis e Riesenfeld, ne abbiamo scoperto la grande
versatilità e la grande potenza: grazie a questo siamo riusciti a risolvere con
eleganza anche il problema di una particella carica che si muove in un campo
elettromagnetico dipendente dal tempo, mettendone in luce il legame con
l’oscillatore armonico dipendente dal tempo, in particolare dal momento che
gli stati coerenti per i due sistemi si presentano nella stessa forma.
Ci auguriamo che ulteriori studi possano portare alla costruzione di stati
coerenti per l’oscillatore armonico dipendente dal tempo che mantengano la
loro coerenza nel tempo o che siano in grado di minimizzare la relazione di
indeterminazione di Heisenberg.
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Bibliografia
[1] S. K. Bose e U. B. Dubey, Fortschr. Phys. 35, 10 (1987)
[2] H. R. Lewis, Jr., e W. B. Riesenfeld, J. Math. Phys. 10, 1458 (1969)
[3] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, “Quantum Mechanics”,
Vol. I (1977)
30