Transcript 1. Determina per quale valore ∈ la funzione 1 ln 1 3 è un

CLASSE 5^ A LICEO SCIENTIFICO
10 Dicembre 2016
∈
1. Determina per quale valore
Teoremi della continuità
1 ln 1
la funzione
3
è un infinitesimo di ordine 5 per
→ 0.
Perché sia un infinitesimo di ordine 5 deve essere finito e non nullo il limite:
1 ln 1
lim
→
3
lim →
3 ∙3
lim →
9
Perché il limite sia finito e non nullo, numeratore e denominatore devono avere lo stesso grado, perciò:
!
2. Calcola i seguenti limiti, tenendo presente il principio di sostituzione degli infinitesimi, la gerarchia degli infiniti e il principio di
sostituzione degli infiniti:
A.
1
5
lim → ln 1
1
( 1
lim C.
. /
lim 01
D.
. /( 3
lim (
→ ln 1
2
→
(
2
1
→(
E.
lim 5
F.
lim
G.
lim
H.
lim
1
ln 6
→ 4
→ 4
→ 4
→ 4
(
8
√
8
(
#
$
lim 1
2
→
cos
B.
3
5
lim ln
lim →(
lim →
→ 4
2
4
(
3
2
ln 5
2
(
*
(
2
1
2
3
!
(
∞
(
9
→ 4
=
→
→(
lim
;< 0>
lim (
lim (
→ 4
→ 4
lim
1
lim lim
(
(
→
(
;?@
(
CD
>→AB (
lim
→ 4
,
1
9
1
+
2
(
lim →(
lim → 1
1
2
1
2
(
,
!
,
-
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( 0
1E
.
E 0 F 1
3. È data la funzione
specie per
.
Teoremi della continuità
Determina i parametri G e H in modo ch
Perché sia un punto di discontinuità di terza specie,
denominatore:
2
I
G
1e sia un punto di discontinuità di terza
1 deve essere uno zero di entrambi i polinomi, quello a numeratore e quello a
3
H
G
4
0
J
I
0
K
$
,
4. Determina i punti di discontinuità e la relativa specie delle seguenti funzioni:
2
A.
A.
Dominio: O
P
0
1(
1
B.
∞; 2R∪P2; ∞R
limT 2
→(
0
1
2
8
0 limA 2
1(
L
1
C.
→(
0
1
√
3
M0
N0
∞
1(
Si tratta di un punto di discontinuità di seconda specie, visto che il secondo limite è infinito.
B.
Dominio: O
P
∞; 0R∪P0; ∞R
limT
→
1
1
2
8
1 limA
→
1
1
2
0
8
Si tratta di un punto di discontinuità di prima specie, visto che entrambi i limiti esistono e sono finiti, ma diversi tra loro.
C. Dominio: O
P
∞; 0R∪P0; ∞R
limT 1
→
√
U
1 limA
→
1
limA
→
1
Si tratta di un punto di discontinuità di terza specie, visto che limite destro e sinistri sono finiti e uguali, ma la funzione nel punto in
questione non è definita.
5. Enuncia il teorema dei valori intermedi. Mostra, con un grafico, che una funzione può soddisfare la tesi del teorema, ma non
le sue ipotesi.
TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI: Se è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato RG; HP, allora essa assume, almeno
una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.
L’intervallo chiuso e limitato è R1; 5P.
La funzione assume tutti i valori compresi tra il minimo 2 e il
massimo 5, perciò è verificata la tesi del teorema, ma non è continua, come richiesto dalle ipotesi del teorema.
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6. Stabilisci per quali valori del parametro
tervallo R1; 2P.
Teoremi della continuità
2
la funzione
2 ha sicuramente almeno uno zero nell’in-
La funzione è continua, in quanto razionale intera, nell’intervallo chiuso e limitato dato, perciò deve solo verificarsi che:
1 2 N 0 ⇒ 1
34 3
2
(
limT
2
→(
lim
→14
m
lim
→k4
(
2
2
(
2
2
1
2
1
∞ limA
→(
1
∞ lim
→ 4
lim
→k4 2
(
1
2
(
2
2
2
2
(
8. Determina, se possibile, per quali valori del parametro
B.
∞W
1
-JXYZ[\[\]^_[Y`Ja^
∞bcò .e.f g G.e/fhfhhHiejch
lim m
→k4
,
W
-
(
2
2
1
1
n
2
lim
→k4
(
∆
4
1
lim
lim
→k4
(
(
(
0;
(
2 1
3 N 01
(
2 1
(
2 1
1
1
3
3
1
2
,
-
1
3
Perché non abbia asintoti verticali, il denominatore deve essere un polinomio irriducibile, ovvero ∆N 0:
→k4
C.
N9
il grafico della funzione:
(
A.
1
1
q
2
3
2 N 0
∞; 2R∪P2; ∞R
o
A. non ha asintoti verticali;
B. ha come asintoto orizzontale la retta p
C. ha come asintoto orizzontale l’asse x.
2
0 1 18
.
( 1
P
L’asintoto obliquo ha equazione:
2
,
N
#
1 N 0
7. Determina le equazioni degli asintoti della funzione
O
2 32
2
(
→k4
→k4
1
(
lim
lim
(
(
(
1
3 N 0 N
(
1
1
3
0∄ ∈
,
,
#
2
(
2
1
2