Transcript de samenvatting

Stochastic Models for Road Traffic Control
P. Kovács
Samenvatting van het proefschrift getiteld
“Stochastische modellen voor wegverkeer regulering”
In dit proefschrift hebben we gebruik gemaakt van stochastische processen en mathematische besliskunde om
modellen en methodes te ontwikkelen voor de beschrijving en regulering van wegverkeersnetwerken. We hebben
drie centrale thema’s behandeld: individuele routering van voertuigen, verkeersstromen in stedelijke netwerken
met verkeerslichten en verkeersstromen op snelwegen.
In Hoofdstuk 2 behandelen we individuele routering, een onderwerp dat in de literatuur veel aandacht krijgt
door de toenemende mogelijkheden om bij de routering informatie te gebruiken over de locatie van voertuigen. Voor
de modellering van stedelijke netwerken met verkeerslichten beschrijven we een algemeen raamwerk in Hoofdstuk 3,
dat de basis is voor de reguleringsmethodieken die in Hoofdstukken 4 en 5 beschreven worden. Het laatste deel
van het proefschrift gaat over interstedelijk verkeer op snelwegen. Hoofdstuk 6 introduceert een model dat de
dynamiek van snelwegverkeer beschrijft. Tenslotte behandelt Hoofdstuk 7 regelstrategie¨ën voor de verbinding van
stedelijke netwerken en snelwegen. We beschrijven deze thema’s nu in iets meer detail.
Routeren van voertuigen
Hoofdstuk 2 beschrijft een “navigatie systeem” gericht op het minimaliseren van de gemiddelde reistijd van zijn
gebruikers, gebruik makend van locatie informatie die van de voertuigen zelf wordt ontvangen. Het wiskundige
model is een wachtrijsysteem met twee wachtrijen en een routeerder die aankomende voertuigen naar een van de
twee wachtrijen stuurt. We nemen aan dat slechts een deel van de voertuigen (we duiden deze voertuigen met
type X aan) de apparatuur hebben om enerzijds locatie informatie te verschaffen en anderzijds gebruik te kunnen
maken van de routeringsadviezen. De overige voertuigen (type Y ) kunnen niet individueel worden waargenomen
en kiezen zelf onafhankelijk een van de twee wachtrijen (volgens vaste kansen). Aankomsten van nieuwe voertuigen
geschieden volgens een Poisson proces en daarvan behoort een vaste fractie α (de penetratiegraad) tot type X. De
routeerder weet alleen van de type X voertuigen hoeveel er in elk van de twee wachtrijen staan en welke posities
ze bezetten. De type Y voertuigen zijn niet zichtbaar en dus moet de routeerder werken op basis van onvolledige
informatie.
Ons onderzoek werd gedreven door een aantal praktisch relevante vragen: 1) hoe hoog moet de penetratiegraad
α zijn opdat de routeerder in staat is om de reistijden (van type X voertuigen) effectief te verbeteren, 2) wat
is de optimale routeringsstrategie en 3) welke voordelen zijn er nog te behalen met aanvullende informatie over
het verkeer. Om deze vragen te beantwoorden, hebben we uitgebreide simulaties uitgevoerd en een analytische
studie onder de aanname dat het systeem zwaar belast is. Onze bevindingen waren dat als de drukte in het
system hoog is, dan behaalt een eenvoudige strategie met beperkte informatie vrijwel even goede resultaten (in
termen van lage reistijden) als de zogenoemde weighted join-the-shortest-queue strategie die optimaal is wanneer
de routeerder ook over volledige informatie beschikt over de type Y voertuigen. De eenvoudige strategie schat
de totale wachtrijlengtes op basis van de de positie van het laatste type X voertuig in elk van de rijen. Dit
optimaliteitsresultaat voor de eenvoudige strategie werd behaald met behulp van een deterministisch vloeistof
model waarvan we hebben aangetoond dat het de stochastische modellen van beide strategieën goed benadert
onder een zogenaamde fluid limiet. De fluid schaling is een veelgebruikte techniek om complexe stochastische
processen te bestuderen. In onze analyse laten we zien dat de fluid limieten van beide strategieën - de eenvoudige
op basis van partiële informatie en de optimale die gebruik maakt van volledige informatie - dezelfde zijn. Deze
resultaten worden ook ondersteund door onze simulatie-experimenten waaruit blijkt dat in heel drukke systemen,
een lage penetratiegraad voldoende is om goede resultaten te boeken.
Stedelijk wegverkeer
Het tweede thema in het proefschrift is de optimale regulering van verkeerslichten in stedelijk verkeer en wordt
behandeld in Hoofdstukken 3-5. We gebruiken weer wachtrijsystemen om deze netwerken te modelleren. In
Hoofdstuk 3 worden de belangrijkste kenmerken beschreven. We nemen aan dat alle voertuigen waarneembaar zijn,
dus we kennen de wachtrijlengtes bij alle verkeerslichten. Voertuigen verlaten de wachtrijen wanneer ze groen licht
krijgen; dit gebeurt op een cyclische manier. Hun route keuzes worden zelfstandig gemaakt en zijn niet van tevoren
bekend bij de beheerder van de verkeerslichten. Deze bepaalt wanneer welk verkeerslicht groen wordt en dus welke
verkeersstromen kunnen rijden. De toewijzing van groentijden moet voldoen aan verschillende voorwaarden, die
onder andere ingegeven worden door veiligheidsoverwegingen. Per cyclus wordt bepaalt welk deel elk verkeerslicht
toegewezen krijgt als groentijd. Hiertoe wordt de cyclus opgedeeld in fases, zodanig dat conflicterende stromen niet
binnen eenzelfde fase groentijd krijgen. In dit proefschrift bestuderen we twee decentrale reguleringsmechanismen:
het “backpressure” mechanisme in Hoofdstuk 4 en de “proportional fair” regel in Hoofdstuk 5. In beide wordt de
toewijzing van groentijden gevonden met behulp van de oplossing van een wiskundig optimaliseringsprobleem.
In ons onderzoek hebben we ons gericht op de effectiviteit van deze strategieën in termen van wachtrijlengtes
en reistijden. Voor beide strategieën hebben we bewezen dat ze maximale stabiliteit garanderen, dat wil zeggen
dat als er voor een bepaalde belasting van het netwerk een strategie bestaat die het netwerk stabiel houdt, dan
doen de backpressure en proportional fair strategieën dat ook. In onze wiskundige bewijzen hebben we twee
verschillende technieken gebruikt. Voor het backpressure model hebben we gebruik gemaakt van een argument
met behulp van een geschikt gekozen Lyapunov functie en voor het proportional fair model gebruikten we (de
reeds eerder genoemde) fluid limiet schaling. We hebben ook uitbreidingen beschouwd op onze basismodellen
om de robuustheid van onze resultaten te onderzoeken. In het backpressure model hebben we de resultaten
uitgebreid voor het geval waarin er meetfouten kunnen worden gemaakt bij het bepalen van de wachtrijlengten.
In het proportional fair model hebben we onderzocht wat het effect zou zijn van een dynamisch aan te passen
cycluslengte en hebben we een optimale schaling van de cyclus ten opzichte van de (gemiddelde) rijlengte bepaald.
Tenslotte hebben we voor deze algoritmen met behulp van simulaties laten zien dat hun effectiviteit vergelijkbaar,
of beter is dan dat van alternatieve bestaande algoritmen (bijvoorbeeld de P0 strategie). In het algemeen doet
backpressure het iets beter dan proportional fair, maar deze laatste heeft het voordeel dat deze gedistribueerd kan
worden geı̈mplementeerd (dus zonder dat een globaal overzicht van alle wachtrijen in het netwerk nodig is om de
groentijden van een knooppunt te bepalen).
Verkeersstromen op snelwegen
In het laatste deel van het proefschrift bestuderen we de verbinding van stedelijke gebieden. Hoofdstuk 6 presenteert een model dat de dynamiek beschrijft van verkeersstromen op een tweebaanssnelweg . Voertuigen worden
hierbij gerepresenteerd als interacterende deeltjes die in dezelfde richting bewegen. Hun verplaatsing wordt gereguleerd door een stochastisch proces, waarvan de transitie intensiteiten zo gekozen zijn om de interacties goed te
beschrijven. Hoofdstuk 7 gaat in op het gelijktijdig reguleren van de snelweg en de stedelijke gebieden die worden
verbonden. Deze regulering vindt plaats bij de op- en afritten die de verbinding vormen tussen de verschillende
typen wegen in het netwerk. Het resulterende model beschrijft het snelwegverkeer als een continue stroom en de
voertuigen in de omliggende gebieden als onderdeel van een wachtrijsysteem. De gezamenlijke regulering van dit
netwerk maakt gebruik van de eerder geı̈ntroduceerde proportional fair en backpressure algoritmes. In Sectie 7.4
wordt ook een backpressure strategie gebruikt voor het snelweggedeelte (in het basismodel gebruiken we daarvoor
een naieve “greedy” strategie).
We hebben verschillende onderzoeksrichtingen beschouwd in de diverse hoofdstukken. In Hoofdstuk 6 hebben
we natuurlijke karakteristieken van het model onderzocht en de bijbehorende voorwaarden op de transitie intensiteiten. Verder hebben we de hydrodynamische vergelijkingen bepaald om het systeem te beschrijven en deze met
statistische methoden vergeleken met een data set van metingen op een Britse snelweg. In Hoofdstuk 7 richtten we
ons juist op de effectiviteit (performance) van de voornoemde reguleringsstrategie¨¨ën. We benoemen de voor- en
nadelen, zowel via wiskundige analyse als simulatie. Een van de belangrijkste verschillen zien we in de eerlijkheid
(fairness) van het systeem, wat momenteel veel aandacht krijgt in de literatuur.
Het onderzoek dat in dit proefschrift wordt beschreven, heeft ons veel geleerd over de mogelijkheden om
verkeersnetwerken effectief te reguleren door middel van wiskundige technieken en - in het bijzonder in de laatste
twee hoofdstukken - biedt legio mogelijkheden voor verder onderzoek van wegverkeernetwerken door middel van
mathematische modellen.
P´´éter Kovcćáćsscs