Transcript Kuliah_4(mekanisme metode simpleks)

Metode Simpleks Dengan Tabel
Tabel metode simpleks
Tabel metode simpleks bentuk standar
Pendahuluan
 Pada pembahasan ini akan dibahas mekanisme metode
simpleks yang diformulasikan dengan sebuah tabel.
 Tabel tersebut akan merepresentasikan setiap corner point dan
nilai fungsi tujuan yang bersangkutan
 Dengan menggunakan tabel:
 Dapat diselesaikan program linier skala kecil tanpa
menggunakan alat bantu komputer
Algoritma metode simpleks
 Fase pertama (1) : tentukan titik intial yang merupakan sebuah basic
feasible solution.
 Jika ada, iterasi dilanjutkan.
 Jika tidak ada, maka model program linier dikatakan infeasibel. Iterasi
dihentikan.
 Fase kedua (2): iterasi sampai keadaan untuk menghentikan iterasi
ditemui (keadaan optimum tercapai)
 2.1: apakah sudah optimum?
 Jika masih terdapat entering basic variable, maka keadaan belum optimum dan iterasi
dilanjutkan.
 Jika tidak ada entering basic variable, iterasi dihentikan dengan penyelesaian di titik basic
feasible solution tersebut sebagai titik optimum dengan nilai fungsi tujuan di titik
tersebut sebagai nilai optimumnya.
 2.2: Tentukan entering basic variable
 Tentukan nonbasic variable yang memberikan pengaruh terbesar pada perubahan fungis
tujuan
 2.3: Tentukan leaving basic variable menggunakan minimum ratio test (MRT)
 2.4: Update persamaan-persamaan, untuk berpindah ke basic feasibel solution
yang baru.
 2.5: Kembali ke langkah 2.1.
Table Simpleks (1)
4
3
4
2
x1
Basic
Var
Eqn.
no.
Z
X1
X2
s1
s2
s3
RHS
MRT
Z
s1
s2
s3
0
1
2
3
1
0
0
0
-15
1
0
1
-10
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
never
Table Simpleks (2)
 Table di atas merupakan tabel untuk basic feasible solution di
titik origin, yaitu (0,0,2,3,4).
 Kolom basic variable, berisi basic variable yang terjadi
bersesuaian dengan masing-masing persamaan fungsi kendala.
 Kolom kedua, No. Eq., merupakan label untuk masingmasing fungsi kendala
 Label 0 untuk fungsi tujuan, dan 1 sampai 3 untuk fungsi-fungsi
kendala.
 Kolom RHS, berisi nilai-nilai RHS untuk masing-masing
fungsi kendala.
 Kolom MRT, diisi dengan hasil perhitungan MRT dan akan
dilakukan pada saat memulia metode simpleks.
Proper form table
 Sebelum iterasi metode simpleks dijalankan, tabel yang
dihasilkan harus dalam bentuk proper table.
 Proper table memiliki karakteristik:
 Memiliki sebuah basic variable untuk setiap persamaan
 Koefisien basic variable adalah 1, dan koefisien di atas dan di
bawah basic variable dalam kolom yang sama adalah 0.
 Fungsi tujuan, Z, selalu dianggap sebagai basic variable
(persamaan no. 0).
Fungsi Proper form table
 Jika tabel dalam bentuk proper table, nilai untuk semua
variable dan nilai fungsi tujuan dapat langsung dibaca dari
tabel tersebut,
 Hal ini disebabkan karena hanya ada satu basic variable di setiap
baris dan memiliki koefisien 1.
 Variable-variable yang lain dalam satu baris merupakan
nonbasic variable,
 Dengan demikian, nilai-nilai suatu variable dapat dibaca pada
kolom RHS.
2.1. Apakah sudah optimal?
 Keadaan optimum tercapai jika tidak ada lagi entering basic
variable,
 Hal ini dapat diketahui dengan memperhatikan baris fungsi
tujuan.
 Jika pada baris fungsi tujuan tidak terdapat nilai yang negatif,
maka keadaan sudah optimum.
 Jika pada baris fungsi tujuan masih terdapat nilai yang negatif,
maka keadaan belum optimum dan metode simpleks
dilanjutkan.
2.2. Menentukan entering basic
variable (1)
 Entering basic variable merupakan nonbasic variable di baris
fungsi tujuan (pers. No. 0) yang bernilai paling negatif.
 Pilihlah variable di baris fungsi tujuan yang paling negatif sebagai
entering basic variable
 Dalam contoh model linier tersebut, x1 memiliki koefisien -15
sedangkan x2 memiliki koefisen -10. Dengan demikian, x1
merupakan entering basic variable.
 Kolom untuk entering basic variable disebut sebagai pivot column.
2.2. Menentukan entering basic
variable (2)
Basic
Var
Eqn.
no.
Z
X1
X2
s1
s2
s3
RHS
MRT
Z
s1
s2
s3
0
1
2
3
1
0
0
0
-15
1
0
1
-10
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
never
2.3. Menentukan leaving basic
variable (1)
 Minimum ratio test digunakan untuk menentukan leaving
basic variable.
 Nilai MRT ditentukan dengan cara:
 (RHS)/(koefisien entering basic variable)
 Terdapat dua keadaan khusus untuk nilai MRT:
 Jika koefisien entering basic variable NOL, MRT diberi nilai
dengan no limit,
 Jika koefisien entering basic variable NEGATIF, MRT diberi nilai
dengan no limit.
 Catatan: MRT tidak diterapkan pada fungsi tujuan.
2.3. Menentukan leaving basic
variable (2)
 Leaving basic variable adalah pada baris yang memiliki MRT
paling kecil
 Baris leaving basic variable disebut dengan pivot row.
Basic
Var
Eqn.
no.
Z
X1
X2
s1
s2
s3
RHS
MRT
Z
0
1
-15
-10
0
0
0
0
Never
s1
1
0
1
0
1
0
0
2
2
s2
2
0
0
1
0
1
0
3
No limit
s3
3
0
1
1
0
0
1
4
4
2.4. Meng-udpate table (1)
 Setelah entering dan leaving basic variable ditentukan, langkah
selanjutnya adalah meng-update nilai-nilai yang ada di dalam
tabel, dengan cara:
 2.4.1: pada kolom basic variable, ganti leaving basic variable
dengan sebagai pivot row dengan entering basic variable.
 2.4.2: element table di mana pivot column dan pivot row
berpotongan disebut dengan pivot element,
 Nilai pivot element harus sama dengan 1.
 2.4.3: semua elemen pivot column dieleminasi kecuali pivot
element. Hal ini dilakukan dengan operasi eleminiasi gauss,
 (new row k)=(row k)-(pivot column coefficient in row k) x
(pivot row)
2.4. Meng-udpate table (2)
 Hasil proses meng-update table adalah sebagai berikut:
Basic
Var
Eqn.
no.
Z
X1
X2
s1
s2
s3
RHS
MRT
Z
x1
s2
s3
0
1
2
3
1
0
0
0
0
1
0
0
-10
0
1
1
15
1
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
1
30
2
3
2
never
 Table di atas menghasilkan basic feasible solution kedua (atau
sebagai corner point jika dari sudut pandang secara grafik),
yaitu:
 Basic feasible solution yang baru: (2,0,0,3,2)
 Dengan nilai Z sebesar: 30
Penyelesaian program linier (1)
 Dari tabel terakhir di atas, masih terdapat koefisien yang
negatif di baris fungsi tujuan (pers. No. 0), dengan demikian
keadaan belum optimum.
 Jadi, proses penyelesaian masih terus dilakukan untuk iterasi
selanjutnya, sebagai berikut:
 Langkah 2.2: x2 sebagai entering basic variable
 Langkah 2.3: hasil dari MRT diperoleh s3 sebagai leaving basic
variable
 Langkah 2.4: meng-update table dalam bentuk proper form
Penyelesaian program linier (2)
 Entering basic variable: x2
 Leaving basic variable: s3
Basic
Var
Eqn.
no.
Z
X1
X2
s1
s2
s3
RHS
MRT
Z
0
1
0
-10
15
0
0
30
never
x1
1
0
1
0
1
0
0
2
No limit
s2
2
0
0
1
0
1
0
3
3
s3
3
0
0
1
-1
0
1
2
2
Tabel dalam keadaan optimum
Basic
Var
Eqn.
no.
Z
X1
X2
s1
s2
s3
RHS
MRT
Z
0
1
0
0
5
0
10
50
never
x1
1
0
1
0
1
0
0
2
s2
2
0
0
0
1
1
-1
1
x2
3
0
0
1
-1
0
1
2
 Tidak terdapat koefisien negatif di baris fungsi tujuan
 Penyelesaiaanya adalah:
 Di titik (2,2,0,1,0)
 Dengan nilai Z = 50
Keadaan khusus dalam manipulasi
table (1)
 Entering basic variable
memiliki nilai yang sama,
 Contoh: Zmaks =
15x1+15x2
 Untuk menyelesaikan
masalah ini, entering basic
variable dipilih secara acak.
Keadaan khusus dalam manipulasi
table (2)
 Leaving basic variable memiliki nilai MRT yang sama,
 Pilihlah leaving basic variable secara acak
 Untuk MRT semua bernilai no limit, berarti bahwa
pergerakana entering basic variable tidak terbatas,
 Dengan demikian, model program linier tersebut merupakan
model unbounded
 Pada keadaan optimum, jika terdapat nonbasic variabel bernilai
NOL di baris fungsi tujuan, maka:
 Pemilihan nonbasic variable sebagai entering basic variable akan
menghasilkan kenaikan nilai Z dengan rate NOL.
 Tidak ada efek ke pada perubahan nilai Z, dan menghasilkan
nilai Z yang sama pada basic feasible solution yang berbeda.