Transcript Kuliah_5(simpleks bentuk umum)

Metode Simpleks Dengan Tabel
Tabel simpleks bentuk umum
Pendahuluan
 Bentuk program linier yang ada bukan hanya bentuk standar.
 Bentuk program linier yang mungkin dapat berupa:
 Fungsi tujuan diminimalkan
 Fungsi kendala dengan bentuk ≥ atau =
 Variable dapat bernilai negatif
 Konstanta RHS dapat bernilai negatif
 Pada pembahasan ini akan dibahas:
 Bagaimana menyelesaikan program linier bentuk umum dengan
menggunakan metode simpleks
Fungsi tujuan diminimalkan
 Ada dua cara untuk menyelesaikan fungsi tujuan yang
diminimalkan:
 Fungsi tujuan yang diminimalkan tersebut dikalikan dengan -1,
dan akan menghasilkan fungsi tujuan yang dimaksimalkan.
Z min  12 x1  5 x 2  7 x 3
 Dikonversi menjadi: (  Z maks )   12 x1  5 x 2  7 x 3
 Sebagai contoh:
 Cara yang kedua adalah fungsi tujuan tetap dalam bentuk
minimal, tetapi aturan dalam proses manipulasi metode
simpleks diubah, seperti:
 Uji optimalisasi, keadaan optimal dicapai jika semua nilai dibaris fungsi
tujuan tidak ada yang positif.
 Pemilihan entering basic variable, pilihlah koefisien yang paling positif di
baris fungsi tujuan.
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (1)
 Misalkan sebuah program linier dengan bentuk:
Z maks  15 x1  10 x 2
x1  2
x2  3
x1  x 2  4
Fungsi kendala dalam bentuk persamaan
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (2)
 Dengan bentuk program
linier di atas, maka titik
origin (0,0) tidak lagi
berada di dalam feasible
region
 Fungsi kendala ketiga hanya
dipengaruhi oleh x1 dan x2
 Pemberian nilai-nilai x1 dan
x2 tersebut sulit dilakukan
untuk memenuhi bentuk
persamaan
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (3)
 Jika terdapat fungsi kendala dalam bentuk persamaan, maka
perlu ditambahkan variable non-negative yang disebut dengan
artificial variable.
 Jadi, program linier yang telah dikonversi menjadi:
Z maks  15 x1  10 x 2
x1  s1  2
x2  s2  3
x1  x 2  a 1  4
 Dengan a1 merupakan artificial variable
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (4)
 Artificial variable tidak sama dengan slack variable.
 Jika a1 merupakan slack variable, maka kita dapat
menggunakan titik origin (x1,x2,s1,s2,a1)=(0,0,2,3,4) sebagai
feasible cornerpoint awal iterasi.
 Tetapi harus diperhatikan, bahwa nilai a1 tidak boleh nonzero
(harus NOL) supaya fungsi kendala ketiga dalam keadaan
benar.
 Dengan demikian, metode simpleks akan “memaksa” semua
artificial variable untuk bernilai NOL.
Fase pertama metode simpleks (1)
 Penyelesaian program linier bentuk umum akan terdapat dua
fungsi tujuan,
 Fungsi tujuan fase pertama untuk menentukan feasible cornerpoint
solution sebagai awal proses iterasi dan
 Fungsi tujuan program linier itu sendiri
 Fase pertama bertujuan meminimalkan nilai-nilai artificial
variable yang ada pada program linier, dalam hal ini a1.
 Jika semua nilai artificial variable dapat diubah menjadi NOL,
maka feasible cornerpoint solution untuk memulai iterasi
didapatkan.
 Kemudian iterasi metode simpleks dijalankan berawal dari
feasible conerpoint terebut.
Fungsi tujuan fase pertama (1)
 Fungsi tujuan fase pertama adalah untuk meminimalkan
jumlah dari semua artificial variable yang ada.
 Secara umum dapat dituliskan sebagai:
W min  a1  a 2  a 3  ...
 Karena bentuk fungsi tujuan di atas adalah minimalisasi, maka
dilakukan konversi dengan cara mengalikan -1 ke fungsi
tujuan tersebut, maka diperoleh:
 W maks  a1  a 2  a 3  ...  0
Fungsi tujuan fase pertama (2)
 Dalam membuat tabel simpleks, fungsi tujuan fase kedua (fungsi
tujuan program linier) juga diikutsertakan,
 Fungsi tujuan fase pertama digunakan selama fase pertama, tetapi juga
meng-update nilai-nilai fungsi tujuan fase kedua pada saat yang
bersamaan.
 Setelah fase pertama selesai, fungsi tujuan fase pertama tersebut
diabaikan (tidak digunakan lagi),
 Semua artificial variable tidak digunakan lagi.
 Catatan: fungsi tujuan fase pertama belum dalam bentuk proper
table, hal ini disebabkan artificial variable akan muncul dua kali,
yaitu:
 Sekali pada fungsi kendala, dan sekali pada fungis tujuan
 Artificial variable harus muncul sekali, yaitu pada baris fungsi kendala
Teble simpleks bentuk umum (1)
 Table di atas merupakan tabel dari model program linier
sebagai berikut:
Z maks  15 x1  10 x 2
x1  2
x2  3
x1  x 2  4
Teble simpleks bentuk umum (2)
 Tabel di atas memiliki dua buah fungsi tujuan:
 Fungsi tujuanW untuk fase pertama, yang bertujuan untuk
meminimalkan jumlah dari seluruh artificial variable yang ada
(dalam kasus ini hanya ada a1).
 Fungsi tujuan Z untuk fase kedua, merupakan fungsi tujuan dari
program linier yang dibahas.
 Dengan memperhatikan kolom a1, dapat disimpulan bahwa
tabel belum dalam bentuk proper table.
 Koefisien a1 pada fungsi tujuan fase pertama, W, perlu
dieliminasi .
 Eliminasi dilakukan dengan mengurangi baris fungsi tujuanW
dengan baris yang terdapa artificial variable a1.
Teble simpleks bentuk umum (3)
 Tabel simpleks setalah dilakukan eliminasi terhadap fungsi
tujuanW adalah sebagai berikut:
 Selama fase pertama ini, fungsi tujuan yang digunakan adalah
fungsi tujuan W.
 Dalam meng-update table, fungsi tujuan fase kedua, Z, juga di-
update
Iterasi fase pertama (1)
 Dengan memperhatikan kolom x1 dan x2 pada fungsi tujuan
W, diperoleh x1 dan x2 yang memiliki koefisien yang sama (1) untuk menjadi entering basic variable.
 Entering basic variable dipilih secara acak, misal yang dipiliha
adalah x2. Perhitungan table ditunjukkan pada table berikut
ini, dengan s2 sebagai leaving basic variable.
Iterasi fase pertama (2)
 Setelah entering basic variable dan leaving basic variable ditentukan,
maka table di-update dan menghasilkan table berikut ini:
 Dari table diatas, jumlah dari fungsi tujuan fase pertama, W, telah
berkurang menjadi -1.
 Fase pertama belum selesai, karena masih terdapa koefisien yang
negatif pada baris fungsi tujuanW.
 Catatan: fungsi tujuan fase kedua, Z, juga telah di-update
bersamaan dengan prosess update fungsi tujuanW.
Iterasi fase pertama (3)
 Dari table di atas diperoleh:
 Entering basic variable x1
 Leaving basic variable a1
 Table di-update dan diperoleh hasil sebagai berikut:
 Dari table di atas dapat dilihat bahwa fungsi tujuanW telah bernilai
NOL dan tidak ada koefisien variable yang negaif.
 Fase pertama telah selesai, dan sekarang berada di feasible
cornerpoint solution untuk memulai fase kedua
Iterasi fase kedua (1)
 Sekarang, fungsi tujuan fase pertama, W, dikeluarkan dari table
simpleks demikian juga dengan semua artificial variable.
 Fungsi tujuan fase kedua, Z, yang telah diikutsertakan dalam
perhitungan, di-update dan telah berada dalam bentuk proper table,
dan siap untuk diiterasi.
 Dan karena masih terdapat koefisien yang negatif pada baris fungsi
tujuan, maka keadaan belum optimal dan iterasi harus dilanjutkan.
Iterasi fase kedua (2)
 Table di atas adalah hasil update dari tabel sebelumnya
 Pada baris fungsi tujuan sudah tidak terdapat koefisien
variable yang negatif dengan demikian iterasi telah selesai dan
keadaan optimal tercapai:
 Di titik (x1,x2,s1,s2) = (2,2,0,1)
 Dengan nilai Z sebesar 50
Ilustrasi
Program linier yang infeasible
 Program linier yang infeasible dapat dengan mudah dikenali
dengan cara:
 Jika fase pertama metode simpleks telah selesai, dengan hasil
tidak ada nilai koefiesien variable yang negatif, tetapi nilaiW
masih positif, maka:
 Tidak semua fungsi kendala (dengan artificial variable) telah dieliminasi.
 Hal ini berarti bahwa program linier bersifat infeasibel (tidak memiliki
himpunan penyelesaian)
Fungsi kendala dengan bentuk lebih
dari atau sama dengan (≥)
 Fungsi kendala dengan bentuk lebih dari atau sama dengan (≥)
merupakan bentuk yang tidak boleh pada program linier bentuk
standar.
 Untuk konversi bentuk pertidaksamaan ini perlu ditambahan
dengan sebuah surplus variable yang berisfat sama seperti slack
variable,
 Tetapi surplus variable diletakkan di bagian RHS persamaan.
 Contoh: 3x1 + 5x2 ≥ 20 ⇒ 3x1 + 5x2 − s1 = 20
 Surplus variable tidak dapat digunakan sebagai basic variable karena
bernilai -1, sedangkan yang dibutuhkan adalah variable dengan
koefisien +1.
 Dari contoh di atas, sekarang pertidaksamaan telah diubah menjadi
bentuk persamaan, dengan demikian perlakuan yang sama untuk
bentuk persamaan berlaku:
 Tambahkan artificial variable dan jalankan prosedur iterasi fase
pertama
RHS bernilai negatif
 Penyelesaian untuk masalah ini adalah kalikan dengan -1 dan
hasilnya dikenakan aturan untuk bentuk-bentuk ≤, ≥, atau =
Berapa banyak variable?
 Reformulasi penyelesaian program linier dengan menggunakan
metode simpleks akan menambah jumlah variable.
 Misalkan sebuah program linier memiliki:




n buah variable asal
l buah fungsi kendala dengan bentuk ≤
g buah fungsi kendala dengan bentuk ≥
Dan e fungsi kendala dengan bentuk persamaan (=)
 Maka jumlah variable setelah proses reformulasi program linier
adalah:
n buah variable asal
l buah slack variable
g buah surplus variable
g + e buah artificial variable
 Catatan: seluruh g + e buah artificial variable akan dieliminasi selama
proses fase pertama metode simpleks.



