Transcript Kuliah_3(metode simpleks)

Metode Simpleks
Program linier bentuk standar
Pengantar metode simpleks
Program Linier Bentuk Standar (1)
 Program linier dapat memiliki
 Fungsi tujuan:
 Maksimal atau minimum
 Fungsi kendala dengan bentuk pertidak samaan:
 =, ≤, atau ≥
 Dan variable dapat memiliki batas atas maupun batas bawah
 Program linier bentuk standar:




Fungsi tujuan: maksimum
Fungsi kendala: ≤
Semua konstanta RHS positif
Semua variable dibatasi pada nilai non-negative
Program Linier Bentuk Standar (2)
 Bentuk aljabar untuk sebuah program linier yang memiliki m
buah fungsi kendala dan n buah variable, dapat dituliskan
seperti berikut ini:
 Fungsi tujuan:
Z maks  c1 x1  c2 x2  ... cn xn
 m fungsi kendala:
a11x1  a12 x 2    a1n x1n  b1
a12 x1  a 22 x 2    a 2n x 2n  b 2

a m1x1  a m2 x 2    a mn x n  b m
 n buah non-negatif, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0.
Metode-metode
 Grafis;
 Jumlah variable yang sedikit
 Simpleks;
 Jumlah variable: small - large
 Interior-point
 Jumlah variable: extra large
 Pembahasan difokuskan pada mekanisme metode simpleks:
 Terminologi-terminologi
 Mekanisme dasar metode simpleks
Definisi
 Solution: semua titik yang berada di bidang variable, dapat
merupakan titik yang feasible atau infeasible (paling tidak
memenuhi satu fungsi kendala).
 Corner point solution: terjadi jika dua atau lebih fungsi
kendala saling berpotongan. Titik yang dihasilkan disebut
sebagai corner point, bisa di dalam atau di luar feasible region.
 Feasible corner point: corner point yang berada di dalam
feasible region.
 Adjacent corner point: dua buah corner point yang
dihubungkan oleh bagian garis dari sebuah fungsi kendala.
Sifat-sifat penting Program linier
 Titik optimum selalu ada di feasible corner point
 hal ini merupakan hasil dari semua fungsi kendala dan fungsi
tujuan bersifat linier
 Jika sebuah feasible corner point memiliki nilai fungsi tujuan
yang lebih besar dari semua adjacent corner point, maka tiitk
tersebut dikatakan sebagai titik optimum.
 Feasible corner point ada dalam jumlah yang terbatas.
Tahap-tahap metode simpleks (1)
 Fase pertama (start-up): tentukan sembarang feasible corner
point.
 Untuk program linier bentuk standar, titik origin (0,0) selalu
berada dalam feasible region. Jadi, titik (0,0) adalah titik dimana
iterasi metode simpleks akan dimulai.
 Untuk program linier bentuk umum, penentuan titik dimana
metode simpleks akan mulai sedikit lebih rumit.
 Fase kedua (iterasi): secara berulang berpindah ke feasible
corner point yang berdekatan sampai tidak ada nilai fungsi
tujuan yang lebih baik pada feasibel corner point.
 Catatan: dimungkinkan terjadi keadaan same optimum value
Tahap-tahap metode simpleks (2)
 Titik (0,0) merupakan titik
awal, dengan nilai Z = 0
 Iteasi I, berpindah ke titik
(2,0) dengan nilai Z = 30
 Iterasi II, berpindah ke titik
(2,2), dengan nilai Z = 50
 Stop, dua buah feasible
corner point yang tidak
dikunjungi adalah (1,3) dan
(0,3)
Penentuan Corner Point Secara Aljabar
 Dalam penerapannya, program linier dapat memiliki variable
ratusan, ribuan bahkan lebih.
 Program linier dengan skala besar, corner point ditentukan
secara aljabar.
 Untuk program linier bentuk standar, dilakukan dengan cara
mengkonversi bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk
persamaan
 Kemudian, dengan metode eliminasi gauss dapat ditentukan
titik-titik perpotongan antara dua atau lebih fungsi kendala.
Konversi pertidaksamaan ke bentuk
persamaan (1)
 Konversi dilakukan dengan cara menambahkan sebuah
variable, disebut sebagai slack variable.
 Nilai slack variable akan selalu berubah untuk menghasilkan
persamaan yang benar.
 Contoh:
x1  2  x1  s1  2
 Catatan: slack variable bernilai positif jika sebuah fungsi
kendala dalam keadaan tidak aktif (masih berada di dalam
feasible region)
Konversi pertidaksamaan ke bentuk
persamaan (2)
 Hasil konversi pertidaksamaan ke bentuk persamaan dari
suatu program linier:
Z max  15x1  10x2
x1  s1  2
x2  s 2  3
x1  x2  s3  4
x1 , x2 , s1 , s2 , s3  0
 Pada awalnya, program linier tersebut hanya memiliki dua
buah variable yaitu (x1 dan x2), setelah dikonversi variable
berjumlah 5 bauh, yaitu (x1, x2, s1, s2, s3)
Terminologi aljabar
 Augmented solution: nilai dengan semua variable, baik
variable original dan slack variable
 Basic solution: merupakan sebuah augmented corner point
solution (bisa feasible atau infeasible)
 Basic feasible solution: merupakan sebuah augmented feasible
corner point solution.
 Catatan: metode simpleks fokus pada basic feasible solution.
Setting nilai variable-variable (1)
 Dengan memperhatikan bentuk program linier yang telah
dikonversi menjadi persamaan;
 Terdapat 5 variable dengan 3 buah persamaan fungsi kendala
 Hal ini berarti, dua buah variable ditentukan nilai secara acak,
dan variable yang lain dihitung menggunakan 3 persamaan
fungsi kendala tersebut.
 Jumlah variable yang nilainya dapat ditentukan secara acak
disebut sebagai degree of freedom dari program linier tersebut,
secara umum:
 df = (jumlah variable dalam bentuk persamaan) – (jumlah
persamaan fungsi kendala)
Setting nilai variable-variable (2)
 Metode simpleks secara otomatis memberikan nilai pada
variable-variable df dan menghitung nilai variable-variable
yang lain.
 Metode simpleks akan memberi nilai nol pada variablevariable df tersebut.
Setting nilai variable-variable (3)
Terminologi metode simpleks
 Nonbasic variable: variable yang sedang diberi nilai nol oleh
metode simpleks.
 Basic variable: variable yang tidak sedang diberi nilai nol
oleh metode simpleks.
 Basis: variable yang selalu berada pada nonbasic variable atau
basic variable selama proses metode simpleks.
 Nonbasic, variable bernilai NOL, fungsi kendala yang
bersangkutan dalam keadaan aktif.
Iterasi perpindahan titik (1)
 Cara yang termudah untuk berpindah dari suatu titik basic
feasible solution ke titik basic feasible solution yang lain adalah
dengan mencara titik yang berdekatan.
 Sifat-sifat titik-titik basic feasible solution yang berdekatan:
 Himpunan nonbasic variable sama kecuali satu variable
 Himpunan basic variable sama kecuali satu variable
 Tiga kondisi yang harus dipenuhi dalam perpindahan ke titik
basic feasible solution:
 Corner point harus berdekatan
 Corner point harus berada di dalam feasible region
 Corner point yang baru harus memiliki nilai fungsi tujuan yang
lebih baik
Iterasi perpindahan titik (2)
 Penentuan entering basic variable:
 Menentukan nonbasic variable yang akan menjadi basic variable.
 Dilakukan dengan cara menentukan nonbasic variable manakah
yang memberikan pengaruh yang paling besar terhadap
perubahan fungsi tujuan.
 Penentuan leaving basic variable:
 Entering basic variable yang telah ditentukan akan bertambah
nilainya sampai sebuah basic variable nilainya menjadi NOL.
 Basic variable yang nilainya menjadi NOL tersebut berubah
menjadi nonbasic variable.
Minimum Ratio Test (MRT)
 Untuk menentukan leaving basic variable pada persamaan
fungsi kendala tertentu:
rhs
coeffiecient of enteringbasic variable
 Dua kasus untuk nilai MRT:
 Jika koefisien entering basic variable NOL, berarti fungsi kendala
tersebut tidak berpotongan dengan fungsi kendala yang masih
aktif.
 Jika koefisien entering basic variable NEGATIF, bearti fungsi
kendala tersebut berpotongan dengan fungsi kendala yang aktif,
tetapi arah kenaikan nilai entering basic variable semakin mejauh
dari titik perpotongan tersebut.