Transcript ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΧΥΦΑΣ Να βρεθούν οι σσναρτήσεις για τις οποίες

Να βρεθούν οι σσναρτήσεις f , g :    για τις οποίες ιστύοσν οι στέσεις:
f  g( x )  g( y )  f  g( x )  y
(1)
g f ( x )  f ( y )  g f ( x )  y
(2)
για κάθε x , y   .
Λύση
Ππώηα θα αποδείξοςμε όηι οι δύο ζςναπηήζειρ είναι "1  1" .
Έζηω x1 , x2   με g( x1 )  g( x2 ) . Τόηε θα ιζσύει:
f g( x1 )  f g( x2 )
(3)
Θέηονηαρ ζηη ζσέζη ( 1 ) , όπος x  x1 και y  x2 έσοςμε:
f g( x1 )  g( x2 )  f g( x1 )  x2 
 f 0   f g( x1 )  x2
(4).
Θέηονηαρ ζηη ζσέζη ( 1 ) , όπος x  x2 και y  x1 έσοςμε:
f g( x2 )  g( x1 )  f g( x2 )  x1 
 f 0   f g( x2 )  x1
( 5 ).
Από ηιρ ζσέζειρ ( 3 ),( 4 ),( 5 ) ζςμπεπαίνοςμε όηι x1  x2 . Άπα η ζςνάπηηζη g είναι "1  1" .
Όμοια αποδεικνύοςμε όηι και η ζςνάπηηζη f είναι "1  1" .
Θέηονηαρ ζηιρ ζσέζειρ ( 1 ) και ( 2 ) x  y  0 , έσοςμε:
 f g( 0 )  g( 0 )  f g( 0 )  0
 f 0   f g( 0 )


 g  f ( 0 )  f ( 0 )  g  f ( 0 )  0
 g 0   g  f ( 0 )
και επειδή οι ζςναπηήζειρ f , g είναι "1  1" , καηαλήγοςμε ζηην ιζόηηηα f ( 0 )  g 0   0 .
Θέηονηαρ ζηιρ ζσέζειρ ( 1 ) και ( 2 ) όπος y ηο x και σπηζιμοποιώνηαρ ηην ιζόηηηα
f ( 0 )  g 0   0 έσοςμε:
 f g( x )  g( x )  f g( x )  x
 f 0   f g( x )  x

 f g( x )  g  f ( x )  x .

 g  f ( x )  f ( x )  g  f ( x )  x
 g 0   g  f ( x )  x
Ανηικαθιζηώνηαρ ηο ηελεςηαίο αποηέλεζμα ζηιρ ζσέζειρ ( 1 ) και ( 2 ) , έσοςμε:
( A)
 f g( x )  g( y )  x  y

(B)
 g  f ( x )  f ( y )  x  y
Σηη ζσέζη ( A ) θέηοςμε x  0 , y  f ( x ) και ζηη ζσέζη ( B ) θέηοςμε x  0 , y  g( x ) , οπόηε
έσοςμε:
 f g( 0 )  g( f ( x ))  0  f ( x )  f  x    f ( x )

.

 g  f ( 0 )  f ( g( x ))  0  g( x )  g  x    g( x )
Θέηονηαρ ηέλορ ζηη ζσέζη ( A ) όπος x ηο f ( x ) και όπος y ηο  f ( y ) και ζηη ζσέζη ( B )
όπος x ηο g( x ) και όπος y ηο  g( y ) έσοςμε:
ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΧΥΦΑΣ
 f x  y   f ( x )  f ( y )
.

 g x  y   g( x )  g( y )
Από ηιρ ηελεςηαίερ ιζόηηηερ ζςμπεπαίνοςμε όηι οι ζςναπηήζειρ f , g είναι ηηρ μοπθήρ:
f ( x )  c1 x και g( x )  c2 x , όπος c1 , c2 ζηαθεποί πηηοί απιθμοί (*).
Από ηιρ δοζμένερ ζσέζειρ ( 1 ) και ( 2 ) αποκλείοςμε ηη πεπίπηωζη c1  0 ή c2  0 (διόηι για
c1  0 ή c2  0 καηαλήγοςμε y  0 , πος είναι άηοπο δεδομένος όηι οι ζσέζειρ ( 1 ) και ( 2 )
ιζσύοςν για κάθε x , y   ).
Από ηιρ ζσέζειρ f g( x )  g  f ( x )  x , έσοςμε ( c1  c2 )x  x για κάθε x   .
1
Τελικά οι ζηηούμενερ ζςναπηήζειρ είναι f ( x )  cx και g( x )  x για κάθε x   .
c
Όπος c ζηαθεπόρ μη μηδενικόρ πηηόρ απιθμόρ.
1
Με απλή ανηικαηάζηαζη ηέλορ ηων ζςναπηήζεων f ( x )  cx και g( x )  x ζηιρ ζσέζειρ ( 1 )
c
και ( 2 ) είναι πποθανήρ η επαλήθεςζη ηων λύζεων.
(*) Οι ζςναπηήζειρ Cauchy ………..
ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΧΥΦΑΣ