Transcript Kiegészítõ diák

Példa
1
2
Észrevételek
1. Gi következő tulajdonságai invariánsak a direkt szorzat képzésre:
asszociativitás, kommutativitás, egységelem létezése, invertálhatóság
2. Tehát, ha Gi csoport minden i – re, akkor G is csoport,
továbbá ha J  I, akkor a φ:
projekció homomorfizmus, φ(G) =
kerφ 
Def. Tetszőleges A halmaz összes permutációjának halmaza a
kompozícióval vett csoportját A szimmetrikus csoportjának nevezzük.
Jelölése: Sym(A).
Speciálisan, ha A = {1, 2, …, n}, akkor Sym(A) = Sn, az
n –ed fokú szimmetrikus csoport
3
Biz.
Legyen a  G és x  G – re legyen
„baleltolás”
Mit mondhatunk a a pa leképezésekről?
A pa függvények injektívek, mert
4
regularitás
pa(x1) = pa(x2)  ax1 = ax2  x1 = x2
5
A pa függvények szürjektívek is, mert
xG – nek van őse G – ben: a–1x
Most vizsgáljuk az következő leképezést:
τ: G  Sym(G), ahol τ(a) = pa
Miért elemei a pa leképezések Sym(G) – nek?
Láttuk, hogy minden pa bijektív
 mindegyik G egy permutációját adja
6
τ injektív, mert
τ(a) = τ(b)  pa = pb  ax = by
ekkor x = y = e esetén ae = be  a = b
τ művelettartó, mert
τ szürjektív is τ(G) – re, mivel minden pa őse pontosan a
Összegezve: τ monomorfizmus
csoport homomorf képe csoport 
τ(G) részcsoport Sym(G) – ben és
izomorf G – vel