Transcript elettricita` -3

Elettrostatica 3
23 maggio 2011
Campo elettrico E
Dimensioni e unità di misura di E
Principio di sovrapposizione per E
Linee di campo
Distribuzione continua di carica. Densità di carica
Campo elettrico generato da una distribuzione continua di carica
Moto di cariche in un campo elettrico uniforme
Dipolo elettrico
Campo elettrico di una carica
• Esploriamo l’azione di una carica Q mediante
una seconda carica “di prova” q
• Questa carica subirà la forza di Coulomb
• Questa forza è proporzionale alla grandezza
della carica esploratrice q
• Se dividiamo la forza per il valore di questa
carica otteniamo una nuova grandezza, il
campo elettrico, che dipende soltanto dal
valore della prima carica e dalla distanza da
questa carica  
F
Q
E k 2 r
q
r
2
Campo elettrico di una
distribuzione di cariche
• Supponiamo di avere una distribuzione di cariche
assegnata
• Vogliamo di nuovo esplorare l’azione di questa
distribuzione mediante una carica di prova q
• Per il principio di sovrapposizione la forza totale è la
somma delle singole forze
• Queste forze sono proporzionali a q e quindi anche la
forza totale lo è
• Se dividiamo questa forza per q otteniamo il campo
elettrico generato dalla distribuzione di cariche
assegnata
• Di nuovo il campo dipende solo dalla distribuzione di
cariche e dalla posizione spaziale in cui si trova la carica
esploratrice, ma non dal valore di questa carica
3
Principio di sovrapposizione per E
• La validità del principio per E segue dalla
sua validità per le forze e dalla definizione
di E in termini di forza elettrica
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Campo elettrico e azione a
distanza
• Concetto alternativo all’azione a distanza
• Invece di avere una carica che subisce
“magicamente” l’azione di un’altra carica
attraverso il vuoto, si suppone che ad ogni
carica sia associato un campo elettrico
definito in tutto lo spazio e che questo sia
il tramite delle azioni elettriche tra cariche
• In questa visione non esiste lo spazio
vuoto
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Un momento di cautela
• La carica esploratrice dev’essere abbastanza
piccola da non perturbare la distribuzione di
cariche che si vuole studiare
• In linea di principio comunque piccola sia questa
carica esistono i fenomeni dell’induzione e della
polarizzazione per cui una perturbazione è
inevitabile (limite del principio di sovrapposizione)
• Si suppone che sia sempre possibile scegliere
una carica abbastanza piccola affinché questa
perturbazione sia trascurabile
• Questo però contrasta con la quantizzazione della
carica: non esiste carica minore di e
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Principio di sovrapposizione
• Il fatto che una perturbazione tra cariche
diverse sia comunque inevitabile costituisce
una difficolta` per l’applicabilita` pratica del
principio di sovrapposizione
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Dimensioni e unità di misura di E
• Dalla definizione segue che E ha le dimensioni
di una forza diviso una carica:
E   F Q
1
• L’unità di misura è quindi il newton diviso
coulomb: u(E)=N/C
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Campo di una carica puntiforme
• Si ricava dall’espressione
della legge di Coulomb
• Questa espressione
presume che la carica sia
nell’origine delle
coordinate
• Per generalità vediamo
come si riscrive in caso la
carica non sia nell’origine
• Questa forma ci è utile
quando abbiamo più
cariche
 
Q ˆ
Q 
E ( R)  k 2 R  k 3 R
R
R

r
 
Rr

R

 
 
Q
E ( R)  k   3 R  r
Rr

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Campo di più cariche puntiformi
• Si ricava dal principio di sovrapposizione
 
rj r
i
 
R  ri
 
R  rj

R
n
 
Qj
E ( R)   k  
j 1
R  rj
3

 
R  rj

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Linee di campo
• Sono definite in ogni punto dello spazio esclusi
quelli in cui sono presenti cariche puntiformi
• Sono linee nello spazio con la caratteristica di avere
in ogni punto la tangente diretta come il campo
Incrocio di linee
• Il verso è quello del campo (da carica positiva a
carica negativa, oppure da carica positiva all’infinito,
oppure dall’infinito a carica negativa)
• Si tracciano in numero proporzionale alla grandezza
della carica: danno informazione anche sull’intensità
del campo, poiche’ sono più fitte dove il campo è più
intenso (lo dimostreremo quando studieremo la
legge di Gauss)
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Esercizi sul campo elettrico
• Linee di campo tra due conduttori dello
stesso segno
• Limiti del principio di sovrapposizione:
– Campo totale di due sfere conduttrici cariche
– Campo totale di una carica puntiforme e di un
piano conduttore neutro
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Distribuzione continua di carica
• Come abbiamo visto la carica è quantizzata
• Ma molto spesso si ha a che fare con quantità
di carica estremamente grandi rispetto all’unità
elementare
• In tali casi si può ritenere con buona
approssimazione che la carica vari con
continuità
• Questa assunzione permette di applicare i
metodi del calcolo differenziale e integrale
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Distribuzione continua di carica
• Carica distribuita nello
spazio
– Densità spaziale
• Carica distribuita su di
una superficie
– Densità superficiale
• Carica distribuita
lungo una linea
– Densità lineare
• Dimensioni della
densità
uniforme
generale
Q

V
Q

A
dQ

dV
dQ

dA
Q

l
dQ

dl
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Distribuzione continua di carica
• Viceversa si può trovare
la carica:
– in uno spazio S
Q   dV
S
– su di una superficie S
Q   dA
S
– lungo una linea L
Q   dl
L
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Campo elettrico di una
distribuzione continua di carica
• Un volume infinitesimo
dV intorno ad un
punto A contiene una
carica infinitesima dQ
• In un punto qualunque
B dello spazio, tale
carica dQ produce un
campo elettrico
infinitesimo dE a
norma della legge di
Coulomb
dQ  dV
R-r
dV
B
A
R
r

dQ  
dE  k   3 R  r
Rr


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Campo elettrico di una
distribuzione continua di carica
• Il campo totale è la
somma (integrale) di
tutti questi campi
infinitesimi
• La somma (integrale)
va intesa in senso
vettoriale
• Cioè abbiamo tre
integrali (tripli), uno
per ogni dimensione
spaziale

dQ  
E   k   3 R  r
V
Rr
 
 (r )

  k   3 R  r dV
V
Rr





 (r )
E x   k   3  X  x dV
V
Rr
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Campo elettrico di una
distribuzione continua di carica
• Idem per distribuzioni superficiali: abbiamo tre
integrali (doppi)
• Idem per distribuzioni lineari: abbiamo tre
integrali (semplici)
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Esempi di calcolo di E
• Campo generato da un segmento
uniformemente carico nel piano di
simmetria. Limite per estensione infinita
• Campo generato da un disco
uniformemente carico lungo l’asse di
simmetria. Limite per estensione infinita
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Moto di una carica in un campo
elettrico uniforme e statico
• Equazione del moto
• L’accelerazione è una costante


qE  ma
 q 
a E
m
• Siamo cioè in presenza di un moto
uniformemente accelerato, e valgono
tutte le leggi di Galileo relative al moto di
un grave
• Se E non è parallelo ad uno degli assi del
sistema di riferimento, esprimiamo
l’equazione vettoriale in componenti
cartesiane
q
ax  Ex
m
q
ay  Ey
m
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Dipolo elettrico
• E’ l’insieme di due cariche di ugual modulo q e
segno opposto, poste a distanza l tra loro
• Momento elettrico di dipolo: è un vettore dato
dal prodotto (normale) della carica per il
+q
vettore distanza:


p  ql
-q
• Ove il vettor l si considera orientato dalla
carica negativa a quella positiva
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Due tipi di dipolo
• Il dipolo può essere indotto da un campo
elettrico esterno che sposta le cariche
positive e negative in un sistema altrimenti
simmetrico
– Il dipolo ha necessariamente lo stesso verso
del campo esterno
• Il dipolo può essere permanente: c’è una
distribuzione asimmetrica stabile di carica
– Il dipolo può avere un’orientazione arbitraria
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Forza di un campo E su un dipolo
• Forza totale

 
 
 
 
 
Ftot  F  F   q Er   qEr   q Er   Er 


• Se il campo e` uniforme
Ftot=0 sia per dipoli indotti che permanenti
+q
p
E-q
r-
E+
E+
+q
r+
p
E-
r+
r-
-q
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Momento di un campo E su un dipolo
• Momento totale
(rispetto
al CM)


 
 


 
  r  F  r  F  r   q E r   r  qE r  
     
 q r  E r   r  E r 
  

 
• Se il campo e` uniforme   qr  r  E  p  E


– E` nullo per momenti indotti, perche’ le forze sono
parallele ai vettori posizione delle cariche
+q
p
E-q
r-
E+
E+
+q
r+
p
E-q
r-
r+
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Campo E non uniforme
• Se il campo non e` uniforme e il dipolo e` poco
esteso nello spazio, E si puo` sviluppare in serie

 
Ftot  q E r   E r  



 

 E 
 E 
 q  E rCM      xk  xCMk   E rCM      xk  xCMk 
k
k
 xk CM
 xk CM




 E 
 E 
  
 q   xk  xk      pk   p   E
k
k
 xk CM
 xk CM


• E similmente per il momento
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Energia potenziale di un dipolo in
un campo elettrico uniforme
• Per definizione è
l’opposto del lavoro
speso per passare dalla
posizione iniziale A a
quella finale B
• Introduciamo l’angolo q
tra dipolo e campo e
scegliamo come punto a
potenziale zero qp/2
• Quindi
U ( B)  U ( A)   L( A  B)
B
B
 
  
     d    p  E  d
A
A
U ()  U (p 2) 

  
   p  E  d 
p 2

p pE sin d
2
  pE cos   cos p 2
 
U ()   pE cos    p  E
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