elettrostatica 5
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Fisica 2
Elettrostatica
5a lezione
Programma della lezione
• Angolo solido
• Flusso del campo elettrico
• Legge di Gauss
Angolo solido
• Consideriamo una
superficie sferica di raggio r
• Una curva chiusa definisce
una superficie
• L’area è proporzionale al
quadrato del raggio
A
2
• L’angolo solido è definito
r
come il rapporto tra area e
raggio al quadrato
Asfera 4r 2
• L’angolo corrispondente a
spazio 2 2 4
tutto lo spazio è
r
r
Flusso del campo elettrico
• Procediamo per generalizzazioni successive
• Campo uniforme perpendicolare ad una
superficie
( E | S ) EA
• Campo uniforme inclinato rispetto alla
superficie
( E | S ) E A ES cos EA
• Campo non uniforme
( E | S ) E dA
S
Flusso di E: carica al centro di una
sfera
• Flusso del campo di una carica puntiforme
positiva attraverso una superficie sferica
centrata sulla carica
Q 2
( E | S ) E dA EdA k 2 r d kQ d 4kQ
r
S
S
S
S
• Idem per una carica negativa
• Il flusso elementare attraverso l’angolo solido
d non dipende dal raggio della sfera
Q 2
d E dA EdA k 2 r d kQd
r
Flusso di E: carica interna ad una
superficie chiusa
• Flusso del campo di
una carica puntiforme
attraverso una
superficie chiusa
qualunque che la
contiene
( E | S ) E dA
S
EdA cos EdA
S
S
Q 2
k 2 r d
r
S
kQ d 4kQ
S
Flusso di E: carica esterna ad una
superficie chiusa
• La superficie chiusa si
può considerare come
l’unione di due superfici
aperte che sono viste
dalla carica secondo uno
stesso angolo solido
• I due flussi sono uguali e
contrari, perché i prodotti
scalari elementari hanno
segno opposto sulle due
superfici
( E | S ) E dA
S
E dA E dA
S1
S2
EdA EdA
S1
S2
kQ kQ 0
E dA
S 1 S 2
Legge di Gauss
• Flusso del campo
di più cariche
puntiformi
attraverso una
superficie
qualunque
• Legge di Gauss
• 1a equazione
dell’e.m.
( E | S ) E dA
S
n n
E j dA E j dA
j 1 S
S j 1
n
n
j 1
j 1
( E j | S ) 4kQint
j
int
4kQtot
int
Qtot
0
Forma differenziale della legge di
Gauss
• Consideriamo l’equazione
• Applicando il teorema della
divergenza, l’integrale di
superficie si può trasformare
in un integrale di volume
• La carica si può pure
esprimere come un integrale
di volume
• La legge di Gauss si può
quindi riscrivere
• L’uguaglianza degli integrali
implica l’uguaglianza degli
integrandi
int
Qtot
E dS
0
S
E dS EdV
S
V (S )
int
Qtot
dV
V (S )
EdV dV
V (S )
V (S )
E
0
0
Esercizi sulla legge di Gauss
• Campo elettrico di
– Piano indefinito con densità superficiale di carica
uniforme
– Filo indefinito con densità lineare di carica uniforme
– Sfera, con densità di carica spaziale uniforme
• Campo all’interno di conduttori pieni e cavi
– Caso particolare di sfere concentriche
• Direzione del campo alla superficie di un
conduttore
Intensita` del campo E sulla
superficie di un conduttore
• Consideriamo una SdG
cilindrica S di base molto
piccola parallela alla
superficie del conduttore
• Superficie laterale: parallela
al campo esterno
• Il flusso del campo E
attraverso S è dato dal solo
termine relativo alla base
esterna (di area A)
• Detta Q(S) la carica
contenuta in S, per la LdG
• Quindi il campo sulla
superficie vale
S
( E ) EA
E=0
( E ) EA
( E )
Q( S )
0
A
0
E
0
Variazione discontinua di En
attraverso uno strato di carica
n
1
• Una superficie cilindrica S
+++++++++++++++++++++
con base piccola e altezza
ancor più piccola
2
• Il flusso di E attraverso S ha
tre pezzi: base 1, base 2,
( E, S ) E1 A1 E2 A2 ( E, Slat )
superficie laterale
• Trascuriamo il flusso sulla
( E , S ) En1 A1 En 2 A2
SL, in quanto l’altezza può
En1 A1 En 2 A1
essere presa piccolissima
• Nota la carica contenuta in
Q( S ) A1
( E )
S, per la LdG
0
0
• E la variazione della
E
E
n1
n2
componente normale di E è
0