Transcript Volumeberekening van omwentelingslichamen

Volumeberekening van
omwentelingslichamen
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
H
R
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
H
R
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
H
R
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
H
R
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
H
R
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
H
R
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
H
R
Volume: …
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
V   .R .H
2
H
R
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
V   .R .H
2
H
R
Opmerking:
De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van
de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan ...
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
V   .R .H
2
H
R
Opmerking:
De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van
de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan V   .H 2 .R
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf
KEGEL
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf
KEGEL → rechthoekige driehoek
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ontstaan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
z
y
y  f (x)
a
b
x
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ontstaan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
z
y
y  f (x)
a
b
x
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ontstaan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
z
y
y  f (x)
a
b
x
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ontstaan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
z
y
y  f (x)
a
b
x
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ontstaan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
z
y
y  f (x)
a
b
x
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval xi , xi 1 
kiezen we een willekeurig punt zi en we laten de rechthoek met lengte
f ( zi ) en breedte hi  xi 1  xi wentelen om de x-as.
z
y
y  f (x)
a
b
x
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval xi , xi 1 
kiezen we een willekeurig punt zi en we laten de rechthoek met lengte
f ( zi ) en breedte hi  xi 1  xi wentelen om de x-as.
z
y
y  f (x)
a
b
x
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval xi , xi 1 
kiezen we een willekeurig punt zi en we laten de rechthoek met lengte
f ( zi ) en breedte hi  xi 1  xi wentelen om de x-as.
We krijgen een omwentelingscilinder met volume
z
y
y  f (x)
a
b
x
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval xi , xi 1 
kiezen we een willekeurig punt zi en we laten de rechthoek met lengte
f ( zi ) en breedte hi  xi 1  xi wentelen om de x-as.
We krijgen een omwentelingscilinder met volume
Vi   . f ( zi ) .hi   . f ( zi ) 2 .hi
2
z
y
y  f (x)
a
b
x
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijkaardige omwentelingscilinders
z
y
y  f (x)
a
b
x
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijkaardige omwentelingscilinders
y
z
y  f (x)
a
b
x
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijkaardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van
dit lichaam benaderd door:
y
z
y  f (x)
a
b
x
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijkaardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van
dit lichaam benaderd door:
n
  . f ( z ) .h
2
i
i 1
i
y
z
y  f (x)
a
b
x
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:
y
z
y  f (x)
a
b
x
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

V    . f ( zi ) 2 .hi
i 1
y
z
y  f (x)
a
b
x
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

V    . f ( zi ) 2 .hi
i 1
y
z
y  f (x)
a
b
x
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].
De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelingslichaam zijn dus gelijk aan:
y
z
y  f (x)
a
b
x
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].
De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelingslichaam zijn dus gelijk aan:
b
V    . f ( x) 2 dx
a
y
z
y  f (x)
a
b
x
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
y
x
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
y
2
V    . f ( x) 2 dx
0
x
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
V    . f ( x) 2 dx
z
y
0
x
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
V    . f ( x) 2 dx
z
y
0
2
   sin 2 ( x)dx
0
x
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
V    . f ( x) 2 dx
z
y
0
2
   sin 2 ( x)dx  
0
2
1  cos( 2 x)
0 2 dx
  2  sin( 2 x) 
x 0  


2
2 


2
0
 
  2  0  0  0   2
 2

x