Transcript Lesson10.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪10‬‬
‫מערכות מסתובבות וסוגרי‬
‫פואסון (ב)‬
‫תכונות של סוגרי פואסון‬
F ,Gq , p
  F G  F G 

  

 pk  qk 
k 1   qk  pk
N
q , q   p , p   0 , q , p   
i
j
i
j
i
j
ij
:‫ הגדרה‬
‫ (א) קשרים בסיסיים‬:‫ התכונות‬
‫ (ב) אנטיסימטריה‬
F ,G G , F 
 F   G , J    F , J   G , J  ‫ (ג) לינאריות‬
F G , J   F , J G  F G , J 
F ,G , J  G ,J , F  J ,F ,G 0 ‫ (ד) זהות יעקובי‬
 F    G 

‫ (ה) גזירה‬
F ,G   ,G   F , 
t
 t
  t 
dF
F
‫ (ו) ביטוי לתלות בזמן‬
 F , H 
dt
t
2
‫ – מערכות מסתובבות וסוגרי‬10 ‫תרגול‬
)‫פואסון (ב‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫סוגרי פואסון וקבועי תנועה‬
p2
 const :‫ ההמילטוניאן נשמר‬.‫ חלקיק חופשי במימד אחד‬:‫ הבעיה‬
H
2m
pt
.‫ זהו גודל שמור‬F  x , p , t   x 
‫ נוכיח שגם‬
m
F H F H
p
F
p
F , H  

  const ;
   F , H 
x p p x m
t
m
dF
F

 F , H 
0
dt
t
 d F dG



 0  .‫ נוכיח שסוגרי פואסון של קבועי תנועה בכלל הם גודל שמור‬
dt
 dt

F ,G, H   G , H , F  H , F ,G    G , F     F ,G   
 t

3
  t


F ,G
t
d
F ,G  F ,G, H   F ,G  0
dt
t
‫ – מערכות מסתובבות וסוגרי‬10 ‫תרגול‬
)‫פואסון (ב‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫סוגרי פואסון וקבועי תנועה ‪ -‬סיום‬
‫‪F‬‬
‫‪ ‬נראה כעת כי אם ‪ H‬קבוע וקיים קבוע תנועה נוסף ‪ ,F‬גם‬
‫‪t‬‬
‫תנועה‪.‬‬
‫‪F dF‬‬
‫‪‬‬
‫‪ F , H   F , H ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d F ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫(ע"פ הסעיף הקודם) ‪   F , H   0‬‬
‫‪d t  t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 10‬מערכות מסתובבות וסוגרי‬
‫פואסון (ב)‬
‫הוא קבוע‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫סימטריה וסוגרי פואסון‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬לפונקציה ‪ r , p‬סימטריה כדורית (אינווריאנטית לסיבובים)‪ .‬יש‬
‫להוכיח כי ‪. , l z   0‬‬
‫‪ ‬פונקציה בעלת סימטריה כדורית תהיה תלויה רק ברכיבים הרדיאליים של‬
‫הקואורדינטות הקנוניות ובזווית שביניהן‪ ,‬דהיינו ‪  r , p , ‬‬
‫‪2  2  ‬‬
‫בקואורדינטות קרטזיות‪   r , p , r  p :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נשים לב כי ‪ r    2 2 r    p ;  p    2 2 p    r‬‬
‫‪ r ‬‬
‫‪ r  p‬‬
‫‪ p ‬‬
‫‪ r  p‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬כמו כן‪l z  r  pz  x p y  y p x ;  r l z   p y ,  p x , 0 ;  p l z   y , x , 0 ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪r  p  r p cos ‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 10‬מערכות מסתובבות וסוגרי‬
‫פואסון (ב)‬
‫‪5‬‬
‫ סיום‬- ‫סימטריה וסוגרי פואסון‬
:‫ כעת נחשב את סוגרי פואסון‬
    lz    lz 
 
 , l z    

 pi  ri 
i 1   ri  pi
3
 

 



 2  2 x    p x   y    2  2 p x    x  p y 
 r  p  
 r  p  
  r
  p
 
 
 

 



 2  2 y    p y  x   2  2 p y    y   p x   0
 r  p  
 r  p  
  r
  p
 
6
 
‫ – מערכות מסתובבות וסוגרי‬10 ‫תרגול‬
)‫פואסון (ב‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫מערכות מסתובבות‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫אזי במערכת המסתובבת‪ ,‬המהירות‬
‫‪ ‬מערכת מסתובבת במהירות‬
‫‪dt‬‬
‫‪  ‬‬
‫הקווית של כל נקודה אשר נייחת במערכת המעבדה‪ ,‬הינה ‪v    r‬‬
‫‪‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 10‬מערכות מסתובבות וסוגרי‬
‫פואסון (ב)‬
‫‪7‬‬