Transcript דגימת הלמים - Technion moodle

‫דפי סיכום‬
‫ממצגות‬
‫תרגול ‪2‬‬
‫דגימת הלמים‬
‫האות המתקבל –זמן רציף‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪s ‬‬
‫)‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪( ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪X‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪k  ‬‬
‫‪1‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫‪( ) ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪p‬‬
‫דגימת נקודתית‬
‫האות המתקבל –זמן בדיד‬
‫‪X‬‬
‫‪ .1‬דגימת הלמים‬
‫היא שלב מעבר‬
‫בין האות הרציף‬
‫לדגימה נקודתית‬
‫‪ .2‬תוצאות הדגימה‬
‫יבחנו ע"י שימוש‬
‫בדגימת הלמים‬
‫)‬
‫‪  2 k‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪F‬‬
‫‪X‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪k  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X ( ) ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪T‬‬
‫כדי למנוע קיפולים‬
‫נדרוש‬
‫קשר בין דגימת הלמים לדגימה נקודתית‬
‫‪ x  n    t  nT ‬‬
‫‪xp t  ‬‬
‫‪  T‬‬
‫קצב הדגימה‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫(‬
‫‪F‬‬
‫‪X ( )  X‬‬
‫‪f‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2 m   s‬‬
‫מעבר ‪3‬‬
‫תרגול‬
‫אות בפס‬
‫מקרה כללי‬
‫נחלק לשני מקרים‬
‫‪ s  2 m‬‬
‫מקרה ב‪:‬‬
‫מקרה א‪:‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫כאשר ‪  ‬לא שלם ניתן‬
‫להוריד קצב דגימה באמצעות‬
‫מאפננים‬
‫מסנני אינטרפולציה מעשיים‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪-‬מספר שלם‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2 m‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪s ‬‬
‫‪LI‬‬
‫‪ZOH‬‬
‫מסנן לא סיבתי‬
‫מסנן סיבתי‬
‫)‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫( ‪sin c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-‬מספר לא שלם‬
‫‪ j‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ Te‬‬
‫‪ – ZOH‬טוב בתחום ההעברה‬
‫‪ - LI‬טוב בתחום החסימה‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫( ‪T sin c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫תרגול ‪4‬‬
‫נוסחאות ההתמרה‬
‫עבור אות סופי בזמן‬
‫‪0  n  N 1‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪0  k  N 1‬‬
‫‪DFT‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪N‬‬
‫‪,‬‬
‫ייצוג אות בדיד מחזורי בעזרת ‪DFT‬‬
‫‪x [n],‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ x[n]e‬‬
‫‪X N [k ] ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪.1‬‬
‫נמצא ‪ DFT‬עבור מחזור בודד‪.‬‬
‫‪n0‬‬
‫‪0  n  N  1 IDFT‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪j‬‬
‫‪d‬‬
‫‪X N [ k ]e‬‬
‫‪‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪x [n] ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X N [ k ]e‬‬
‫‪N‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x [n] ‬‬
‫‪N‬‬
‫קשר בין ‪ DFT‬ל ‪DTFT‬‬
‫אות מוגבל בתחום‬
‫)‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪0  n  N 1‬‬
‫‪X N [ k ]  X ( ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪d‬‬
‫אות שלא מוגבל בתחום‬
‫)‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ H }( ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪{X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪0  n  N 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X N [k ] ‬‬
‫‪d‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬ניתן לדגום ‪ DTFT‬של סדרה שלא מוגבלת בתחום ע"י שימוש בקיפול של הסדרה‬
‫‪x n‬‬
‫אות שלא מוגבל בתחום‬
‫‪0  n  N 1‬‬
‫)‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  n  N 1‬‬
‫] ‪x [n  p N‬‬
‫‪‬‬
‫‪p  ‬‬
‫‪y [n] ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Y N [ k ]  X ( ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪d‬‬
‫תרגול ‪5‬‬
‫• קונבולציה ציקלית‬
‫‪y [1]   x [0] ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫]‪y [2‬‬
‫]‪x [1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y [3]   x [2] ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y [0]   x[ N  1] ‬‬
‫]‪y [ N  2‬‬
‫]‪y [ N  1‬‬
‫]‪y [ N  1‬‬
‫]‪y [0‬‬
‫]‪y [0‬‬
‫]‪y [1‬‬
‫]‪y [ N  3‬‬
‫]‪y [ N  2‬‬
‫]‪ c [0]   y [0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫]‪c [1‬‬
‫]‪y[1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫]‪ c [2]    y [2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫]‪ c [N  1]   y [ N  1‬‬
‫‪c[ n ]  x  y‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ x[ k ] y   n  k  m od N ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫• קונבולציה לינארית בעזרת שימוש בקונבוציה ציקלית‬
‫סדרה ‪ x‬באורך ‪ , L x‬סדרה ‪ y‬באורך ‪L y‬‬
‫‪.1‬‬
‫נרפד את שתי הסדרות באפסים לאורך ‪L x  L y  1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫קשר בין מקדמי פורייה ל‪DFT‬‬
‫] ‪ x * y [ n ]   x  y [ n‬‬
‫ה‪ DFT‬הינו קיפול של מקדמי טור פורייה (רציף)‬
‫‪‬‬
‫] ‪a[ k  m N‬‬
‫‪‬‬
‫‪X [k ]  N‬‬
‫‪d‬‬
‫‪m  ‬‬
‫הקיפול לפי ‪– N‬מספר הדגימות במחזור‪.‬‬
‫• אם התמך של מקדמי פורייה סופי ניתן לגלות את מקדמי פורייה ע"י ‪.DFT‬‬
‫‪c[ n ] ‬‬
‫תרגול ‪8‬‬
‫פרמטרים בבחירת מסנן‬
‫גליות בתחום ההעברה‪-‬‬
‫גליות בתחום הניחות‪ s -‬‬
‫‪ ‬‬
‫תחום המעבר ‪-‬‬
‫‪s‬‬
‫‪p‬‬
‫] ‪A p  20 log 10  1   p  [ dB‬‬
‫‪p‬‬
‫שרשור מערכות‬
‫בתחום ההעברה –ירידה בביצועים‬
‫בתחום הניחות –שיפור בביצועים‬
‫‪N‬‬
‫‪ s  s‬‬
‫] ‪As   20 log 10  s [ dB‬‬
‫‪  p  N p‬‬
‫מסנן ‪GLP‬‬
‫פאזה מהצורה ‪      0   g‬‬
‫עבור ‪  g‬שלם נקבל השהיה‬
‫ייצוג פאזה רציפה‬
‫‪i   ‬‬
‫‪   A   e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ - A   ‬יכול לקבל ערך שלילי‬
‫‪ -    ‬הפאזה מוגדרת בצורה רציפה‬
‫מסנן ‪MP‬‬
‫כל האפסים בתוך מעגל היחידה‪.‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫• עבור תגובת אמפליטודה כלשהי בעל פאזה מינימלית‬
‫• מערכת הופכית יציבה‬
‫מסנן ‪AP‬‬
‫מספר האפסים זהה למספר הקטבים וגם לכל קוטב קיים אפס הופכי צמוד‬
‫תכונות‪:‬‬
‫מסנן מעביר את כל התדרים באמפליטודה זהה‬
‫תרגול ‪9‬‬
‫מסנן ‪RCSR‬‬
‫ייצוג פאזה רציפה‬
‫‪i   ‬‬
‫‪   A   e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪Rational Casual‬‬
‫‪Stable Real‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ - A   ‬יכול לקבל ערך שלילי‬
‫‪ -    ‬הפאזה מוגדרת בצורה רציפה‬
‫מסנן ‪GLP‬‬
‫מסנן ‪RCSR+GLP‬‬
‫פאזה מהצורה ‪      0   g‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫יכול להיות אחד מארבעה סוגים‪.‬‬
‫מקיים בנוסף את התכונות הבאות‬
‫תכונות‪:‬‬
‫מסנן ‪- FIR‬סדר המסנן ‪2 g‬‬
‫סימטריה או אנטי סימטריה סביב מרכזו‬
‫מסנן ‪ FIR‬ממשי‬
‫קיימת שקילות עבור התנאים הבאים‬
‫‪ .1‬בעל פאזה לינארית‬
‫‪ .2‬סימטריה או אנטי סימטריה סביב מרכזו‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ Z‬הוא אפס אז גם ‪ Z , Z , Z‬הינם אפסים‪.‬‬
‫תרגול ‪10‬‬
‫סיכום תכן מסנני ‪GLP FIR‬‬
‫‪ .1‬נגדיר תגובת תדר אידאלית‬
‫‪ .2‬נחשב תגובה להלם אידאלית‬
‫‪N ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪j   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪Ad‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪H d ( )e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬קטימת התגובה להלם ע"י חלון מתאים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪hd  n  ‬‬
‫‪h  n   hd  n  w  n ‬‬
‫סוג‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫סדר‬
‫זוגי‬
‫אי זוגי‬
‫זוגי‬
‫אי זוגי‬
‫סימטריה‬
‫סימטריה‬
‫אנטי סימטריה‬
‫אנטי סימטריה‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪LP,HP,BP,BS‬‬
‫‪Multiband‬‬
‫‪LP,BP‬‬
‫סימטריה‬
‫‪‬‬
‫‪h n‬‬
‫‪ ‬‬
‫שימושים‬
‫‪ /2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪Hd‬‬
‫‪ /2‬‬
‫‪Differentiators, Hilbert‬‬
11 ‫תרגול‬
‫תכונות‬
‫מונוטונית יורדת‬
1
F
H ( 0 ) 
2
BW
H
F
( )
2

1
  
1 

 0 
2N
‫פרמטרים בבחירת מסנן‬
p
A p   20 log(1   p ) [ dB ]
As   20 log 10  s [ dB ]
‫פונקציית תמסורת וקטבים‬
‫פונקציית תמסורת‬
N 1
H
L
s  
k 0
sk
‫קטבים‬
sk   0e
   2 k  1 
j 
 2
2N

0  k  N 1
‫שלבי התכנון‬
k 
sk  s



-‫גליות בתחום ההעברה‬
 s -‫גליות בתחום הניחות‬
 p   s - ‫תחום המעבר‬
2
 1
1

p 

d  
2

s 1 


p
s
1   p 
2
2
 s  10
 10
0.1 A p
0.1 As
 p  1   p 

N 
2
 1


1/ 2
. .1
log  d  . .2
log  k 
1
2N
  0   s  
2
s
 1 

1
2N
. .3
‫תרגול ‪12‬‬
‫דרישות‬
‫מסנן ספרתי‬
‫מסנן ספרתי‬
‫דרישות‬
‫מסנן אנלוגי מתאים‬
‫התמרה בילינארית‬
‫‪ ‬‬
‫‪  tan  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מסנן אנלוגי מתאים‬
‫התמרה בילינארית‬
‫‪ ‬‬
‫‪  tan  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫התמרה בין מסננים‬
‫דרישות‬
‫מסנן אנלוגי ‪LP‬‬
‫תכנון המסנן‬
‫התמרה בין מסננים‬
‫שלבי התכנון‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪. .1‬‬
‫‪ 1   2  1 ‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪s 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪log  d  . .2‬‬
‫‪log  k ‬‬
‫‪. .3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪p‬‬
‫‪s‬‬
‫‪N ‬‬
‫‪0.1 A p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  0   s   s  1 ‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.1 As‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ p  1   p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ s  10‬‬
13-1 ‫תרגול‬
‫הורדת קצב‬
y[n]
y n  x Mn
12
x[n]
12
10
‫זמן‬
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Compressor
0
0
1
2
3
4
5
Y
6
Down-Sampling
f
Y
M 1
1
z 
Z

M
k 0
  
  j 2M k 1/ M 
z
e



M 1
1
M

k 0
X
f
   2 k 


M


Z ‫מישור‬
DTFT
‫קשר לעולם הרציף‬
Aliasing
‫כדי להפחית עיוות כתוצאה משכפולים נשתמש‬
Anti-Aliasing ‫במסנן‬
X
Z
1
0.8
‫אם האות בכניסה‬
T s ‫למערכת דגום בקצב‬
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
LPF
Compressor
-1
10
1
2
3
4
5
6
7
0.8
‫האות במוצא דגום‬
M T s ‫בקצב‬
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
13-2 ‫תרגול‬
x[n]
‫העלאת קצב‬
y[n]
4
3
 x n / L

0

w n
4
3
2
n  0,  L ,  2 L
‫זמן‬
o .w
2
1
W
Z
z 
X
W
f
  
X
1
0
0
1
2
3
4
Expander
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Up-Sampling
z 
Z
L
f
 L 
Z ‫מישור‬
DTFT
‫אינטרפולציה וקשר לעולם הרציף‬
1
Interpolation
0.8
‫אם האות בכניסה‬
T s ‫למערכת דגום בקצב‬
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
Expander
‫דוגם‬
7
1
‫האות במוצא דגום‬
T s ‫בקצב‬
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
L
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Up-Sampling
LPF