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Soutenance de thèse
Lundi 12 décembre 2005
Modélisation analytique des
transferts bi- et tridirectionnels
eau-soluté
Application à l’irrigation à la raie et à la
micro irrigation
David Crevoisier
UMR G-Eau
Objectifs
• Objectifs du travail
– Mise en œuvre d’une modélisation intégrée à
l’échelle de la saison
– Impact des pratiques d’irrigation et de fertilisation
sur les risques agro-environnementaux.
• Application à deux techniques d’irrigation
– L’irrigation à la raie.
– La micro-irrigation.
Techniques à caractère bi- ou tridirectionnel :
 Géométrie des transferts.
 Technique de fertilisation.
Plan
• Problématique
• Sélection des outils
• Création du modèle
–
–
–
–
Principes généraux
Résolution des équations de transferts
Recomposition de la solution
Accroissement du domaine de validité
• Résultats
• Perspectives
Problématique
Campagnes expérimentales
• Nemeth, 1999
– Devenir de l’azote sous irrigation gravitaire.
– Forte hétérogénéité de la distribution du fertilisant
sur la parcelle.
• Triki, 2002
– Etude locale.
– Impact du tirant d’eau sur l’homogénéisation de la
répartition du fertilisant.
• Popova, 1997
– Champ expérimental en Bulgarie équipé d’un
lysimètre.
– Etude des lixiviats afin de mesurer les risques
environnementaux de deux pratiques culturales.
 Importance des transferts bidirectionnels à l’échelle de la saison.
Problématique
Limites des outils existants
• Modèle capacitif (Stics) mal adapté
Description
des
phénomènes
– Représentation 1D des phénomènes à l’échelle de
la saison.
– Dynamique des transferts inappropriée au contexte
de l’étude.
• Limites de l’utilisation de la modélisation
numérique (Hydrus-2D)
Caractère
opérationnel
– Représentation 2D des phénomènes à l’échelle
événementielle.
– Influence de la plante et du climat sur l’état du sol
non prise en compte directement.
– Conditions de convergence numérique.
– Calage de nombreux paramètres.
Sélection des outils
Modélisation retenue
• Construction d’une modélisation intégrée
Exigence
opérationnelle
– Hydrus-2D + modules manquants.
– Modèle à base mécaniste + domaine de
validité étendu + réduction des contraintes
d’Hydrus-2D.
• Rôle de chaque modélisation
– Modèle de culture existant : en appui au
nouveau modèle (fonction puits racinaire,
puits et source nitrate).
– Hydrus-2D : modèle de référence à l’échelle
événementielle (à valider).
Sélection des outils
Validation d’Hydrus-2D
Profil d'azote sous le billon
faible tirant d'eau
• Nemeth, 1999
– Transferts hydriques : simulation
satisfaisante.
– Transferts de nitrate : bonne
restitution qualitative.
• Popova, 1997
– Même remarque que pour
l’expérience précédente.
+ Littérature (Abassi et al., 2004;
Gärdenäs et al. 2004,…)
– Validation d’Hydrus-2D
– Compréhension des
conclusions expérimentales.
Concentration (m gN/kg sol)
0
50
100
150
200
50
100
150
200
0
Profondeur (cm)
• Triki, 2002
Concentration (m gN/kg sol)
0
0
Profondeur (cm)
– validation effectuée par Mailhol
et al. (2001)
Profil d'azote sous le billon
fort tirant d'eau
50
100
150
200
50
100
150
200
Simulation Hydrus
Simulation Hydrus
Prélévements sur site
Prélévements sur site
Création du modèle
Principes généraux
• Idée
– Résolution analytique à bases mécanistes.
– Domaine de validité plus étendu.
• Principe
– Décomposition du problème initial en problèmes plus simples.
– Résolution des problèmes simples.
– Recomposition d’une approximation de la solution du problème
initial.
• Outils mathématiques mis en jeu
– Utilisation de la fonction de Green.
– Principe de superposition.
– Représentation algorithmique des expressions symboliques par
des arbres binaires.
Création du modèle
Principes généraux
Décomposition
Décomposition
Rotation dudu
domaine
gaussienne
problème
desinitial
des
problèmes
complexe
conditions
Problème
et
élémentaires
initiales
initial
problèmes
et
discrétisation
permettant
élémentaires
leur
derésolution
la surface
Apport d’eau
dans la raie
Condition
initiale
Conditions
atmosphériques
Simplification de l’équation de Richards
Création du modèle
• Equation de Richards :




t  . K (h)h  z 
• Résolution analytique de l’équation
– Dans le cas des problèmes élémentaires.
– Linéarisation de l’équation.
• En utilisant :
-- La
Le
transformation
de
variables
Leschangement
Le
changement
variables dede
Kirchhoff
relatif
à la rotation du
adimensionnées
fonction
- domaine
L’hypothèse du sol linéaire
- Le modèle de Gardner
• L’équation à résoudre devient :
h
X
Z
2)T

x~(h)

K
(
h
dh


xM
 z sin
  cos ~
~ x z
~
x
(  X sin  
Zt
cos  T )2
~
z( h

xesin
h


)
R (z S zM
 Rcos
)e
~
t  t
K(h ) K
K sS eh


sin
T~  X,Zx~t
2
sin
X
x~zcos
cosXz~

x
T
,z
,
z~
t


Transformation des conditions initiales et aux limites.
Création du modèle
Utilisation de la fonction de Green
• Méthode de résolution
– Utilisation de la fonction de Green (permet la résolution analytique d’EDP
dans des cas de conditions aux limites complexes).
• Principes de la méthode
– Multiplication de l’EDP initiale par la fonction de Green.
– Intégration en espace et en temps.
– Application du théorème de Green.
• Propriétés de la fonction de Green
– Solution de l’EDP initiale.
– Réponse à une condition initiale sous forme d’une impulsion infinie au point
(XS,ZS,TS).
Solution analytique de
l’EDP


0

T
0
 G 


 
TS  0


ZS
dX S dZS
G  G Z S 

ZS  0
dX S dTS
Création du modèle
Représentation des expressions
• Choix d’une représentation des expressions adaptée à l’étude
– Complexité des expressions analytiques
– Apparition de fonctions de la forme de Gaussiennes dans les expressions.
– Besoin d’une représentation adaptative pour intégrer ultérieurement d’autres
modules.
Arbre binaire.
Famille de fonctions adaptées au problème .
G  X s ,X   P( X s , X )e
Q2 ( X s , X )
Arbre binaire 
Programmation récursive.
Intégration temporelle
numérique
Création du modèle
Résolution des problèmes élémentaires
• 4 types de problèmes élémentaires :
Condition
initiale
Condition aux
limites
- Condition initiale sous forme de Gaussienne et
conditions de charge aux limites nulles (problème GDN).
- Condition initiale sous forme de Gaussienne et
conditions de flux aux limites nulles (problème GCN).
- Condition initiale nulle et condition de charge aux limites
constantes (problème NDV).
- Condition initiale nulle et condition de flux aux limites
constantes (problème NCV).
Reconstruction de la
solution du problème
général.
Création du modèle
Recomposition de la solution
Superposition des solutions
Solutions élémentaires
élémentaires
Création du modèle
Recomposition de la solution
• Recomposition des conditions aux limites par superposition des problèmes
élémentaires de type NDV et NCV.
– Cas de deux segments du même type de condition à la limite.
– Cas d’un segment portant une condition de flux nul.
– Cas des conditions de flux nul latéral.
+
Flux nul  Charge imposée
Création du modèle
Recomposition de la solution
• Recomposition des conditions initiales par superposition pondérée des
problèmes élémentaires de type GDN et GCN.
– Influence de deux segments sur une Gaussienne.
– Solution continue.
+
=11+22
– Cas M : 1 > 2
– Cas M’ : 1 = 2
– Cas M’’ : 1 =1 et 2 = 0
Création du modèle
Critiques de la modélisation
• Situations traitées
–
–
–
–
Géométrie du domaine irrégulière.
Conditions initiales et aux limites relativement complexes.
Durée de l’événement quelconque.
Applicable aux transferts hydriques et aux transferts de
solutés.
• Limite de cette approche
– Hypothèses du sol linéaire.
– Tenseur de dispersion trop simplifié et flux considéré comme
monodirectionnel.
Domaine de validité trop limité.
Création du modèle

Accroissement du domaine de validité



t  . D( )   zK  
Définition des paramètres moyens du modèle du
sol linéaire
1000
t  Dmoy    K moy  z
100
10
1
0,1
Atténuation des contraintes de
l’hypothèse du sol linéaire
– N jeux de paramètres moyens.
– N résolutions.
– Recomposition de la solution à partir
des N solutions.
0,01
0,001
0,0001
0,05
0,15
0,25
0,35
humidité [cm3.cm-3]
D(theta) van Genuchten [cm2.h-1]
dK/dth(theta) van Genuchten [cm]
Conservation de
la masse
D(theta) moyen [cm2.h-1]
dK/dth(theta) moyen [cm]
Création du modèle

Accroissement du domaine de validité



 

t  cN   .  Dh (qh , )cN  qh cN 
 
 t cN  Dh
moy
Vmoy


q
 h
cN    .cN
  moy
Atténuation des approximations dans
l’équation de convection-diffusion
– Transformation Lagrangienne du
maillage.
Itération
• 1ère résolution de l’équation linéarisée.
• Transformation du maillage en fonction
de V-Vmoy.
• Interpolation entre maillage transformé
et maillage initial.
– Approximation du tenseur de dispersion
comme fonction constante par
morceaux.
Transformation
du maillage.
Condition CFL
Vmax ΔT <ΔX
Résultats du modèle
Cas testés
• Sol de type limoneux, Δθ=0,3 cm3.cm-3.
• Profondeur 1 m.
• Nombre cellule Hydrus  Nb points de visualisation modèle.
Résultats du modèle
Cas testés
• Irrigation à la raie de 3h – condition initiale homogène.
• Redistribution de 2 jours – condition initiale fin de l’irrigation.
• Transfert de solutés sous irrigation – condition initiale hétérogène.
Condition
initiale
humidité
Condition
initiale
nitrate
Phase d’irrigation
Résultats du modèle
Ecart quadratique : 3,17%
Temps CPU : 25%
Infiltration cumulée (mm)
50
40
30
20
10
0
0
1
2
Temps (h)
Hydrus-2D
Modèle développé
Hydrus-2D
Evolution de la teneur en eau
Modèle développé
3
Résultats du modèle
Phase de redistribution
Ecart quadratique : 3,61%
Temps CPU : 85%
Drainage cumulée (mm)
3
2,75
2,5
2,25
2
1,75
1,5
1,25
1
0,75
0,5
0,25
0
-10
2
14
26
38
Temps (h)
Hydrus-2D
Modèle développé
Hydrus-2D
Evolution de la teneur en eau
Modèle développé
50
Résultats du modèle
Transfert de solutés
Ecart quadratique : 4,12%
Temps CPU : 63%
Cumuls des erreurs du
calcul de flux et calcul
des transferts de
solutés.
Modèle développé
Hydrus-2D
Evolution de la concentration en nitrate
Résultats du modèle
Paramètres à définir
Modèle développé
Hydrus-2D
Paramètres hydriques
Modèle linéaire :
cD,cC
Modèle van Genuchten :
, n, m, Ks
Paramètres transferts
de solutés
Equation linéarisée :
Dmoy
Equation de transferts :
D0, DT, DL
Conditions initiales
N Gaussiennes (μ,σ,A)
Valeur en chaque cellule
Conditions aux limites
Variables en espace et
en temps
Variables en espace
Conclusions
• Apport du modèle développé sur les modélisations
existantes
– Traitement de situations plus complexes que les
modélisations analytiques existantes.
– Réduction des contraintes par rapport à une modélisation
numérique.
– Modèle adaptatif.
• Retour sur les objectifs initiaux
– Principes généraux du modèle établis.
– Simulation à l’échelle événementielle.
– Passage de l’échelle événementielle à l’échelle de la
saison facilité.
Perspectives
Amélioration du caractère opérationnel
• Capacité du modèle à traiter des conditions aux limites variables en
espace et en temps
– Variation du débit d’un goutteur, avancement de l’eau dans une raie
d’irrigation.
– Traitement de l’évaporation du sol.
– Traitement des précipitations.
• Impact de la plante sur l’état du sol
– Traitement de l’extraction racinaire possible avec le modèle dans
certaines conditions.
– Effort de modélisation à faire dans le cas de stress hydrique ou stress
azoté.
• Description d’une saison culturale complète
– Calage des paramètres du modèle.
– Passage d’une phase d’irrigation à une phase de redistribution.
– Amélioration de l’efficacité des méthodes numériques.
Je vous remercie de votre
attention
Sélection des outils
Modélisation par analogie
• Juxtaposition de plusieurs
empilements de réservoirs.
• Définition de transferts
latéraux entre les piles de
réservoirs.
• Frein à l’application de cette méthode  Difficulté à représenter
la dynamique du sol dans le contexte.
– Dépendance des transferts latéraux selon la nature du sol et
l’humidité initiale du sol.
– Même apport d’eau + Durée d’apport différente  Même
stockage d’eau + Même profil de flux.
Campagnes expérimentales
Micro-irrigation
•
Tests de 5 stratégies de fertigation en micro-irrigation sur 3
types de sol.
•
Objectifs : optimiser la disponibilité du fertilisant pour la
plante tout en limitant les risques de lessivage.
Cycle répété à intervalle
régulier sur une durée de
28 jours.
Même dose totale
apportée.
Campagnes expérimentales
•
•
Micro-irrigation
Système racinaire concentré à 50 cm  fertilisant perdu au
delà.
Utilité de la modélisation  comparaison qualitative de
l’impact des stratégies.
Résultats obtenus par simulation numérique après un
cycle de fertigation.
Création du modèle
Représentation des expressions
• Avantage de ce type de représentation et de la programmation récursive
– Représentation d’un grand nombre de fonctions (polynôme, fonction d’erreur).
– Stockage informatique dynamique.
– Simplification des définitions d’opérations sur une expression générale.
• Exemple de programmation récursive sur l’évaluation d’une expression
– Opération à effectuer sur un arbre en fonction de ses deux fils.
– Opération à effectuer sur une feuille.
Calcul en cours
GA
GB
(Xss,X)
,X)
+G
GGAA(X
G
G
(Xss,X)
,X)
BB(X
1(X
2
3
4
5
s,X)
Calcul général
GA
GA
GB
GB GA
GB
G(Xs,X) =
=GG11(X
(Xss,X)+
,X) +
((G2(Xs,X)+G
,X)+ 3(Xs,X)) 
((G4(Xs,X)+G
,X)+ 5(Xs,X)))