Transcript Document 9653858

Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar
Tahun
: 2010
Polar plot dan Nyquist plot
Pertemuan ke 9
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan :
Mahasiswa dapat membuat diagram / skema untuk proses analisis dalam domain
frekuensi yang dapat menunjukkan aplikasi Nyquist plot untuk analisa kestabilan
sistem dinamik.
ANALISIS NYQUIST
• Metode Response (Tanggapan) Frekuensi
– Analisis Nyquist adalah metoda respons frekuensi untuk
menentukan stabilitas absolut dan relatif dari sistem kontrol lup
tertutup.
– Respons frekuensi mempunyai arti respons steady state dari
suatu sistem terhadap input sinusoidal.
– Kestabilan sistem lup tertutup diperoleh dari fungsi alih lup
terbuka.
• Kestabilan absolut berupa pernyataan keadaan :
– Sistem stabil
– Sistem tidak stabil
• Kestabilan relatif berupa pernyataan keadaan :
– Seberapa stabil
– Seberapa tidak stabil
• POLAR PLOT
Didalam wawasan frekuensi ( frequency domain ), s dapat
digantikan dengan j , sehingga GH(s) dapat dinyatakan sbb :
– Bentuk Polar
GH(j) = |GH(j)|  ()
•
Bentuk Euler
GH(j) = |GH(j)| e+j
GH(j) = |GH(j)| [cos ()+ j sin ()]
•
Bentuk Rectangular ( kompleks )
GH(j) = Re GH(j) + j Im GH(j)
Im GH( j )
 = 90o
Im GH( j o)
)|
j o
H(
|G
Re GH( j o)
Re GH( j )
 = 180 o
( o)
 = 0o
 = 270 o
Koordinat Rectangular
Koordinat Polar
Kedua polar plot diatas adalah identik hanya sistem koordinatnya yang
berbeda.
• Contoh 1 : Buatlah polar plot dari fungsi alih lup terbuka
Gantikan s dengan j.
GH ( jω) =
1
=
jω  1
1
ω2  1
  tan 1 ω
GH ( j0) = 10o
GH ( j1) =
1
  450
2
GH ( jω) untuk ω   :
lim GH ( jω) = 0  900
ω
• Dengan nilai  positip yang lain akan diperoleh T.K berbentuk
setengah lingkaran dan untuk - <  < 0 diperoleh bayangan
cermin dari setengah lingkaran yang bawah.
 = 90o
=1
=0
=±
1/Ö2
 =  90o
•
 = 0o
 =  45 o
=1
Nyquist Path
Nyquist path adalah garis tertutup ( contour ) pada bidang s yang mengelilingi /
melingkungi seluruh bidang di sebelah kanan sumbu khayal ( imaginair ).
Nyquist Path tidak melalui kutub ( pole )
j
d
c
X
b
jari-jari r
a
X
j
i
e
R
s

h
X
g
f
Nyquist Path pada bidang s
•
Persamaan-persamaan pada lintasan
ab
:
s = j
0<<o
bc
:
cd
:
def :
s = lim ( jω0  ρ.e jθ ) -900900
ρ 0
s = j
s = lim R.e jθ
R 
o 
900-900
Nyquist Path
tidak melalui
kutub ( pole ) di
sumbu tegak
fg
s = lim ( j0  r .e j )
-900900
-o  0
s = lim ρ.e jθ
-900900
gh :
hi : s = j
ija :
•
- -o
: s = j
r 0
ρ 0
Nyquist Stability Plot
–
–
Pemetaan ( mapping ) dari Nyquist path ke bidang GH(s).
Merupakan polar plot dengan sumbunya diganti menjadi riil dan imajiner dari GH(s).
•
Contoh 2 : Buatlah Nyquist stability plot dari
GH(s) tidak mempunyai pole di titik asal (origin) dan di sumbu j, maka lintasan Nyquistnya
seperti di bawah ini.
j
d
a
Lintasan ad : s = j
0<<
f
Nyquist Path
GH ( j ) =
1
1
=
  tan 1 
2
j  1
 1
e
s
GH ( j0) = 10 o
GH ( j1) =
1
  450
2
GH ( jω) untuk ω   :
lim GH ( jω) = 0  90 0
ω 
Im GH
Jika GH(j) digambarkan akan menghasilkan plot seperti dibawah ini.
GH(j0) = 1
1
Re GH
Garis tebal menunjukkan lintasan ad dengan 0<< dan garis putus-putus untuk lintasan fa
dengan -<< 0.
Lintasan def di tak terhingga pada Nyquist path dipetakan ke bidang GH(s) sbb :
dengan +900    -900
Im GH
s = lim R.e jθ
R 
GH( )
fa
GH(j0) = 1
1
Re GH
def
ad
Sama dengan polar plot contoh 1 dengan sumbu diganti
GH (s) |def = GH () =
1
1
=
s  1 lim R.e jθ  1
R 
1


GH () = lim 
j
θ
R   R .e
 1
GH () = lim
R 
1
R.e jθ
 1 
= lim 
=0
 1 R   R  1 
•
Contoh 3 : Buatlah Nyquist Plot dari fungsi alih lup terbuka di bawah ini.
GH (s) =
Jawab :
1
s(s  1)
ada 1 pole di origin maka Nyquist Pathnya sbb :
GH (s) =
1
s(s  1)
j
d
a
X
i
Lintasan ad : s = j
e
j
0 
f
Nyquist Path
s
1
1
1  90o  tan 1 
GH ( s ) =
=
=
s( s  1) j ( j  1)
  2 1
lim GH ( j ) =   90o
 0
lim GH ( j ) = 0  180o
 
Dari hasil contoh perhitungan tersebut dapat dilihat bahwa :
Jika frekuensi  bergerak naik dari frekuensi 0   , maka :
– Magnitude |GH| turun dari   0
– Sudut Fasa GH akan turun dari –90o  -180o
Karena itu Nyquist Plot tidak memotong sumbu riil positip. Gambar ( a )
merupakan Nyquist Plot dari Nyquist path ad ( lintasan ad ).
Im GH
i'
Im GH
d'
d',e',f'
Re GH
j'
Re GH
 
 naik
a'
a'
(a)
•
•
(b)
Lintasan fi merupakan bayangan cermin dari lintasan ad. Titik d’ dan f’
bertemu di origin dan merupakan titik di tak terhingga pada Nyquist path
sehingga e’ terletak di titik asal (origin).
Jadi di titik asal (0,0) terdapat bayangan dari lintasan def pada Nyquist path
dengan magnitude mendekati nol.
• Di titik a dan i lintasan berbelok 900, maka gambar di titik a’ dan i’
juga demikian akan berbelok 90o kekanan. Titik a’ dan i’ adalah titik
di tak terhingga dan Nyquist plot adalah lintasan yang tertutup, dan
titik a’ dan i’ di hubungkan dengan setengah lingkaran.