Transcript Pertemuan 19 Polar plot dan Nyquist plot Matakuliah

Matakuliah
Tahun
Versi
: H0134 / Sistem Pengaturan Dasar
: 2005
: <<versi/revisi>>
Pertemuan 19
Polar plot dan Nyquist plot
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• menggunakan proses analisis dalam
domain frekuensi dan dapat menunjukkan
aplikasi Nyquist plot untuk analisa sistem
dinamik
2
Outline Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Polar Plot
Magnitude dan sudut fasa
Tanggapan frekuensi dari nol s.d tak berhingga
Contoh analisis magnitude dan fasa terhadap perubahan frekuensi
analisis Nyquist plot:
Nyquist path
Membangun kurva Nyquist
Kriteria kestabilan Nyquist
Gain margin, Phase margin
Gain crossover frequency
Phase crossover frequency
Ilustrasi penerapan Nyquist Plot untuk sistem orde 2 dan orde 3
3
ANALISIS NYQUIST
• Metoda Respons Frekuensi
– Analisis Nyquist adalah metoda respons frekuensi
untuk menentukan stabilitas absolut dan relatif
dari sistem pengaturan lup tertutup dari fungsi alih
lup terbuka GH(s).
– Respons frekuensi mempunyai arti respons
steady state dari suatu sistem terhadap input
sinusoidal.
– Kestabilan sistem lup tertutup diperoleh dari fungsi
alih lup terbuka.
4
• Kestabilan absolut
– Sistem stabil
– Sistem tidak stabil
• Kestabilan relatif
– Seberapa stabil
– Seberapa tidak stabil
• POLAR PLOT
Didalam wawasan frekuensi ( frequency domain ), s
dapat digantikan dengan j , sehingga GH(s) dapat
dinyatakan sbb :
– Bentuk Polar
GH(j) = |GH(j)|  ()
5
• Bentuk Euler
GH(j) = |GH(j)| e+j
GH(j) = |GH(j)| [cos ()+ j sin ()]
• Bentuk Rectangular ( kompleks )
GH(j) = Re GH(j) + j Im GH(j)
Im GH( j)

Im GH( j)
)|
j o
(
GH
|
Re GH( j)
Re GH( j)




Koordinat Rectangular
Koordinat Polar
Kedua polar plot diatas adalah identik hanya sistem
koordinatnya yang berbeda.
6
• Contoh 1 : Buatlah polar plot dari fungsi alih lup terbuka
Gantikan s dengan j.
GH ( jω) 
1
1

  tan 1 ω
jω  1
ω2  1
GH ( j0)  10o
1
GH ( j1) 
  450
2
GH ( jω) untuk ω   :
lim GH ( jω)  0  900
ω
• Dengan nilai  positip yang lain akan diperoleh T.K berbentuk
setengah lingkaran dan untuk - <  < 0 diperoleh bayangan
cermin dari setengah lingkaran yang bawah.
7



±
/Ö


45 

• Nyquist Path
Nyquist path adalah garis tertutup ( contour ) pada bidang s
yang mengelilingi / melingkungi seluruh bidang di sebelah
kanan sumbu khayal ( imaginair ).
Nyquist Path tidak melalui kutub ( pole )
8
j
d
c
X
b
jari-jarir
a
X
i
j
e
s
R

h
X
g
Nyquist Path ,
melingkupi bidang
sebelah kanan
sumbu imajiner
menghindari kutub
( pole ) di sumbu
imajiner
f
Nyquist Path pada bidang s
• Persamaan-persamaan pada lintasan
ab
:
s = j
0<<o
bc
:
cd
:
def :
-900900
s = j
o 
900-900
9
fg
gh
hi
ija
: s = j
s  lim ( jω0  ρ.e jθ )
ρ 0
:
: s = j jθ
s  lim ρ.e
ρ 0
:
- -o
-900900
-o  0
-900900
• Nyquist Stability Plot
– Pemetaan ( mapping ) dari Nyquist path ke bidang GH(s).
– Merupakan polar plot dengan sumbunya diganti menjadi riil dan
imajiner dari GH(s).
10
•
Contoh 2 : Buatlah Nyquist stability plot dari
GH(s) tidak mempunyai pole di origin dan di sumbu j, maka lintasan
Nyquistnya seperti di bawah ini.
j
d
a
Lintasan ad : s = j
e
s
0<<
f
Nyquist Path
GH( jω) 
1
1

  tan 1 ω
jω  1
ω2  1
11
GH ( j0)  10 o
GH ( j1) 
1
  450
2
GH ( jω) untuk ω   :
lim GH ( jω)  0  90 0
ω 
Jika GH(j) digambarkan akan menghasilkan plot seperti dibawah ini.
Im GH
GH(j0) = 1
1
Re GH
Garis tebal menunjukkan lintasan ad dengan 0<< dan garis putusputus untuk lintasan fa dengan -<< 0.
12
Lintasan def di tak terhingga pada Nyquist path dipetakan ke bidang
GH(s) sbb :
s  lim R.e jθ
R 
GH (s) |def  GH () 
dengan +900    -900
1
1

s  1 lim R.e jθ  1
Im GH
fa
R 
 1 
GH ()  lim 
R   R.e jθ  1

 1 

lim

0
R  R.e jθ  1
R   R  1 
GH ()  lim
GH( )
GH(j0) = 1
1
Re GH
def
1
ad
Sama dengan polar plot contoh 1 dengan sumbu diganti
13
• Contoh 3 : Buatlah Nyquist Plot dari fungsi alih lup terbuka di
bawah ini.
Jawab :
ada 1 pole di origin maka Nyquist Pathnya sbb :
j
d
a
X
i
e
j
s
f
Nyquist Path
Lintasan ad : s = j
0 
14
1
1
1  90 o  tan 1 ω
GH (s) 


s(s  1) jω( jω  1)
ω ω2  1
lim GH ( jω)    90 o
ω0
lim GH ( jω)  0  180 o
ω
Dari hasil diatas dapat dilihat :
Jika  naik dari 0   , maka :
– |GH| turun dari   0
– Fasa turun dari –90o  -180o
Karena itu Nyquist Plot tidak memotong sumbu riil positip.
Gambar ( a ) merupakan Nyquist Plot dari Nyquist path ad (
lintasan ad ).
15
Im GH
i'
Im GH
d'
d',e',f'
Re GH
j'
Re GH

 naik
a'
a'
(a)
•
(b)
Lintasan fi merupakan bayangan cermin dari lintasan ad. Titik d’ dan f’
bertemu di origin dan merupakan titik di tak terhingga pada Nyquist
path sehingga e’ terletak di origin. Jadi origin merupakan bayangan dari
lintasan def pada Nyquist path.
16
• Di titik a dan i lintasan berbelok 900, maka gambar di titik a’
dan i’ juga demikian akan berbelok 90o kekanan. Titik a’ dan i’
adalah titik di tak terhingga dan Nyquist plot adalah contour
yang tertutup, maka a’ dan i’ di hubungkan dengan setengah
lingkaran.
17