Transcript Document 9653556

Matakuliah
Tahun
: K0594 – Kalkulus II
: 2008/2009
Jenis dan Operasi Matriks
Pertemuan 1
Pengertian
Matriks : merupakan suatu alat atau sarana yang sangat ampuh
untuk menyelesaikan model-model linear.
Definisi : Matriks adalah susunan empat persegi panjang atau
bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan
kolom ditulis antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ]
Bentuk Umum :
 a11
a
 21
 ..

aml
Bina Nusantara
a12
a22
a13
a23
..
am 2
..
am 3
.. a1n 
.. a2 n 
.. .. 

.. amn 
Elemen matriks : disebut juga unsur aij
Susunan bilangan atau fungsi aij
Ukuran matriks :
• Jumlah baris : m
• Jumlah kolom : n
• Ordo atau ukuran matriks : m x n
• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,…., ann
Bina Nusantara
Contoh :
Matriks
 2 3 5  6
A3x4 =0  1 4 7 


3 1 2 6 
Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)
Bina Nusantara
Kesamaan Matriks
Matriks A= (aij)
B= (bij)
A = B jika aij = bij untuk semua
I = 1, 2 . . M dan j = 1, 2, ….n
Contoh :
1 2
1 2
1 2 0 
A
B
C



3
4
3
4
3
4

1






A=B
A ‡ C (ukurannya tidak sama)
Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila
• Ordo-ordonya sama
• Semua elemen-elemen yang seletak sama
Bina Nusantara
Macam – macam Matriks
Matriks bujur sangkar
Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom
 a11 a12
a
a22
A   21
 ..
..

an1 an 2
.. a1n 
.. a2 n 
.. .. 

.. ann 
A : matriks bujur sangkar berukuran n x n
Diagonal utama A : a11, a22,…, ann
4 3
Contoh : A2x2 = 
2 1
Bina Nusantara
, A3x3 =
5 3 2
1 4 6 


7 2 5
Matriks Diagonal
Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada
diagonal utamanya tidak semua elemennya nol,
sedangkan unsur-unsur yang lain adalah nol
Contoh :
5 0 0 2 0 0
0 2 0, 0 0 0

 

0 0 3 0 0 0
Bina Nusantara
Matriks Satuan ( Matriks Identitas) :
Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada
diagonal utamanya masing-masing adalah satu,
sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol.
1 0 0
1 0

0 1 0 
Contoh : I 2  
,
I

3



0 1
0 0 1
Matriks Singular
Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers
(berarti : determinannya = 0)
Bina Nusantara
Matriks Non Singular
Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti :
determinannya ‡ 0)
Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar di mana diagonal utamanya
berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At=A)
Contoh : A3x3 :
Bina Nusantara
5 1 6 
1 7 4


6 4 3
Matriks Idempotent
Matriks bujur sangkar di mana berlaku A2 = A atau An = A ,
bila n=2,3,4,…
Contoh : A =
 2  2  4
 1 3

4


 1  2  3
 2  2  4  2  2  4  2  2  4
A2  A. A   1 3
4   1 3
4    1 3
4   A
 1  2  3  1  2  3  1  2  3
Program MAPLEnya :
# A= Matriks Idempotent, sehingga A2 = A
> Restart :
Bina Nusantara
> A:=matrix ([[2,-2,-4],[-1,3,4],[1,-2,-3]]);
2

A:=
 2  4
1

1

3 4
2

 3
> C:=evalm(A&*A);
2

 2  4

1

 3

C:= 1 3 4
Bina Nusantara
2
Matriks Nilpotent
Matriks bujur sangkar di mana berlaku A3 = 0 atau An = 0 ,
bila n = 2,3,4,…
Contoh :
Matriks nilpotent dari ordo 3x3
1
3
1
A   5
2
6 
 2  1  3
 1
 5
A3=A·A·A=

 2
Bina Nusantara
3  1
2
6   5
 1  3  2
1
3  1
2
6   5
 1  3  2
1
3  0
2
6   0
 1  3 0
1
0
0
0
0
0  0
0
Program MAPLEnya :
# Matriks Nilpotent, sehingga
> Restart:
> A:=matrix ([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]])
1
1 3
A:= 5
2 6


 2


1  3
> evalm(A&*A*A);
0

0

0
0 0
0
0

0

0
Matriks Nol : adalah matriks di mana semua unsur nol = 0
Bina Nusantara
Matriks Identitas :
1
I2x2  
0
1
I 3 x 3  0
0
0
1 
0
1
0
0
0 1 
Sifat matriks identitas dan Matrik nol
Jika A = matriks berukuran n x n
I·A=A·I=A
A+0=0+A=A
A·0=0·A=0
Bina Nusantara
Matriks Segitiga (Triangular matrix)
Matriks segitiga atas :
Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak
di bawah diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh A
: 3 x3
a11 a12
  0 a22
 0
0
a13 
a23 
a33 
Matriks bujur sangkar bila setiap unsurnya yang terletak di
atas diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh B
: 3 x3
Bina Nusantara
0
b11 0
 b21 b22 0 
b31 b32 b33 
Operasi Aljabar Matriks
Penjumlahan dua matriks
A + B = (aij + aij)
Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua
matriks adalah mempunyai ordo yang sama
Contoh :
DiketahuiA2 x 3
5 6 7


8
3
4


B2 x 3
6 7 4 
  dan 
1 9 2
Maka C2x3 = A2x3 + B2x3
Bina Nusantara
5 6 7 6 7 4 11 13 11


C2x3 = 



8
3
4
1
9
2
9
12
6

 
 

Program MAPLEnya :
# Penjualan Dua Matriks
> restart
> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]])
5 6 7

A:=
8 3 4
> A:=matrix(2,3,[5,6,7,8,3,4])
5
A:= 
8
Bina Nusantara
6 7

3 4
>
B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2
]); 
6 7 4

B:= 1
9

2
> C:=evalm(A+B);
11
C:=

9
Bina Nusantara
13 11

12 6
Soal Latihan :
Tentukan Penjumlahan Dua Matriks di bawah ini!
 1
1. A  
2
3
2. A  
4
3 5
6  9 1 
Dan B  
, maka A + B =


7  4
 2 3 4
1
0 2 
Dan
, maka A + B =
B




2
1 3
3. A  2 1 3
Dan B  2 2 1
4 3 1
4. A  

2
1
0


1 2 3
Dan B  

1
1
0


Bina Nusantara
, maka A + B =
, maka 2A + 2B =
3 1  2 4 
5. 

 ........


2  2 3  1
1 0 0 3  1  1  2 0

 ......
6. 


5 3
6 7 2 5  3 4
7. 1 2  1 1  .......
3 4 1 1

 

Bina Nusantara
Perkalian Bilangan Skalar dengan Suatu Matriks
Masing-masing elemen matriks tersebut dikalikan dengan
bilangan scalar.
Misalkan bilangan scalar k = 3, dan
2 3 1
Matriks A2x3 =

4
5
6


Maka B2x3 = k * A2x3
2 3 1  6 9 3 
B2x3 =3 * 



4
5
6
12
15
18

 

Bina Nusantara
Program MAPLEnya :
# Perkalian Bilangan Skalar dengan suatu Matriks
> restart
> A:=matrix([[2,3,1],[4,5,6]])
2
A:= 
4
3 1
5

6
> C:=evalm(3*A);
6 9 3
C:= 
12
Bina Nusantara

15 18
Soal Latihan :
Tentukan perkalian bilangan skalar dengan suatu matriks di
bawah ini !
4 3 7 
1. A  

3
0
1


, maka i) 3A =
ii) -1/2A =
 1 2 3
2. A   2 1 4
 1 1 2
2 1 3
Dan B  1 1 5
0 0 1
, maka 2A + 5B =
Bina Nusantara
Perkalian Dua Matriks
Perkalian 2 matriks
A : matriks berukuran m x k
B : matriks berukuran k x n
A.B = Am x k * Bk x n = A Bm x n
Syarat perkalian matriks
Jika matriks A berukuran m x n dan B berukuran p x q maka :
Parkalian matriks AB berordo m x q bisa dibentuk hanya jika
n=p
Perkalian matriks BA berordo p x n bisa dibentuk hanya jika
q=m
Bina Nusantara
AB tidak selalu sama dengan BA (walaupun m = n = p = q)
Syarat :
Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom
pada matriks kedua
Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama
dengan banyaknya baris pada matriks kedua
Contoh :
7 2 
1 3 2 
1 4 
A2x3 = 
dan
B
=
3x2 


4
0
5


6 3
Bina Nusantara
Maka C2x2 = A2x3 * B3x2
C2 x 2
C2 x 2
C2 x 2
C2 x 2
Bina Nusantara
7 2 
1 3 2  


*
1
4
 

4
0
5

 6 3


1x7  3x1  2 x6 1x 2  3x 4  2 x3


4
x
7
0
x
1
5
x
6
4
x
2
0
x
4
5
x
3


 7  3  12 2  12  6


28
0
30
8
0
15


22 20


58
23


Program MAPLEnya :
# Perkalian Dua Mtriks
> restart
> A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5])
1
A:= 
4
3 2
0

5
> B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]);
7 2

B:= 1

6
Bina Nusantara

4

3
> C:=evalm(A&*B)
22
C:= 
58
Bina Nusantara
20

23
Soal Latihan :
Tentukan Perkalian suatu Matriks dengan Suatu Matriks di
bawah ini !
1  1
 1 2
1 3 


1. A  2 3 , B  
dan C  





1
4
4
2




4 0 
maka :
i) A · B =
ii) (A · B) · C =
iii) B · C =
iV) A · (B · C) =
Bina Nusantara
 3 2
1 4 
2
1
1




2. A  
, B  1 3 dan C  2 1



1 0 1
0 1
3 2
maka :
i)
B+C=
ii) A · (B + C) =
iii) A · B =
iV) A · C =
V) A · B + A · C =
2 1 
1 1
0 1 
A

,
B

3.
,
dan
C

 4 2
1 0
3 0






maka :
i)
A·B=
ii) A · C =
Bina Nusantara
Sifat – sifat Operasi Matriks
A + B = B + A (sifat komulatif)
A + (B + C) = (A + B) + C (sifat asosiatif)
k (A + B) = kA + kB, k= sembarang bilangan
A (B + C) = AB + AC (sifat distributif)
(A + B)C = AC + BC (sifat distributif)
A (B C) = (A B) C (sifat asosiatif)
Pada umumnya
AB ‡ BA
AB = 0 tidak berakibat A = 0 atau B = 0
AB = AC tidak berakibat B = C
Bina Nusantara