Transcript Pertemuan 19 LIMIT FUNGSI

Pertemuan 19
LIMIT FUNGSI
Tujuan
Agar mahasiswa dapat
menunjukkan konsep limit dan
penghitungannya
DEFINISI LIMIT
Dalam kalkulus sering menjadi perhatian nilai
“batas” (limiting value) suatu fungsi bila variabel
bebasnya mendekati suatu bilangan nyata
tertentu
Nilai “batas’ tsb (bila ada) disebut limit, dg
notasi:
lim f(x) = L
x
a
baca: limit f(x) bila x mendekati a adalah L.
Dlm menyelidiki keberadan limit, perlu ditanya: Apa f(x)
makin mendekati L bila x makin mendekati a ?
PENGHITUNGAN LIMIT
Ada berbagai prosedur penentuan limit fungsi
Ingat: umumnya bukan dg memasukkan nilai x=a ke
dalam f dan mencari f(a)
Satu cara dg memasukkan nilai var. x ke fungsi, sambil
melihat gerakan nilai f(x) bila nilai x makin dekat ke a,
baik dari kiri/kanan:
– dari kiri (kecil => besar),
– dari kanan (besar => kecil).
Bila lim f(x) = L , limit kiri & lim f(x) = L , limit kanan
x
a_
x
a+
maka lim f(x) = L
x
a
ILUSTRASI LIMIT
Mendekati x = 2 dari kiri
x
1 1.5 1.9
3
f(x) = x
1 3.375 6.859
Mendekati x = 2 dari kanan
x
3 2.5 2.1
3
f(x) = x
27 15.625 9.261
1.95
7.415
1.99
7.881
1.005
1.015
1.999
7.988
2.05
8.615
2.01
8.121
2.005
8.060
2.001
8.012
Ternyata bila nilai x makin mendekati 2, nilai f(x) makin dekat ke 8
SIFAT-SIFAT LIMIT (1)
Proses penentuan limit tidak perlu selalu dg mengevaluasi
f(x) pd suatu seri titik di dua sisi (kiri/kanan) dari x = a
Sifat2 limit, berguna utk menentukan nilai limit suatu fungsi.
1. Jika f(x) = c, c = bil.ril, maka lim (c) = c
x ->a
Contoh: lim 30 = 30
x->9
2.
Jika f(x) = xn, n = bil. bulat positif, maka lim xn = an,
3
3
Contoh: lim x = (-2) = -8
x-> -2
x ->a
SIFAT-SIFAT LIMIT (2)
3.
Jika f(x) mempunyai limit utk x ->a, dan c = bil. ril,
maka lim c.f(x) = c.lim f(x)
x ->a
4.
x ->a
Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka
x ->a
x ->a
lim [f(x)  g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
x ->a
x ->a
x ->a
Contoh: lim (x5-10) = lim (x5) - lim10
x-> -1
x -> -1
x -> -1
=( -1)5 – 10 = -11
SIFAT-SIFAT LIMIT (3)
5.
Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka
x ->a
x ->a
lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x)
x ->a
x ->a
x ->a
Contoh
lim[(x2-5)(x + 1)] = lim(x2-5).lim(x + 1) =(42-5)(4+1)=55
x->4
x->4
x->4
Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka
x ->a
x ->a
lim f(x)
f(x)
x ->a
---- = -------- dg syarat lim g(x) ≠ 0
x ->a g(x)
lim g(x)
lim
x->a
LIMIT FUNGSI TERTENTU
Sifat2 limit tsb., memudahkan proses penentuan limit utk
kelompok fungsi tertentu, yaitu polinomial. Limit fungsi tsb.
diperoleh dg substitusi, yaitu:
lim f(x) = f(a)
x a
Contoh:
1. lim (3x2 -4x + 10) = f(-2) = 3(-2)2 -4(-2) +10 = 30
x -> -2
x2 - 9
(x + 3)( x – 3)
l i m -------- = l I m ------------------ = l i m (x+3) = 6
x->3 x - 3
x ->3 (x – 3)
x -> 3
Walau fungsi ini tidak terdefinisi utk x = 3, nilai f(x) mendekati 6
bila x mendekati 3. Ini juga contoh fungsi yg dapat
disederhanakan dg faktorisasi.