Transcript Metode Numerik

Metode Numerik
Apa yang akan dibahas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pendahuluan dan motivasi
Analisis Kesalahan
Persamaan Tidak Linier
Persamaan Linier Simultan
Interpolasi
Integrasi Numerik
Metode Numerik
Slide 2
Daftar Pustaka
• Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode
Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas
Indonesia, Jakarta.
• Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab
Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi,
Yogyakarta.
• Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGrawHill International Editions, Singapore.
• Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar
Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Metode Numerik
Slide 3
Pendahuluan
• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan
masalah matematika dengan pengoperasian
hitungan.
• Pada umumnya mencakup sejumlah besar
kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan
menjenuhkan
• Karena itu diperlukan bantuan komputer
untuk melaksanakannya
Metode Numerik
Slide 4
Motivasi
Kenapa diperlukan?
• Pada umumnya permasalahan dalam sains
dan teknologi digambarkan dalam
persamaan matematika
• Persamaan ini sulit diselesaikan dengan
“tangan”  analitis sehingga diperlukan
penyelesaian pendekatan  numerik
Metode Numerik
Slide 5
Penyelesaian persoalan numerik
• Identifikasi masalah
• Memodelkan masalah ini secara matematis
• Identifikasi metode numerik yang diperlukan
untuk menyelesaikannya
• Implementasi metode ini dalam komputer
• Analisis hasil akhir: implementasi, metode,
model dan masalah
Metode Numerik
Slide 6
Persoalan analisis numerik
•
•
•
•
•
Eksistensi (ada tidaknya solusi)
Keunikan (uniqueness)
Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)
instabilitas (instability)
Kesalahan (error)
Contoh: Persamaan kuadrat
Persamaan linier simultan
Metode Numerik
Slide 7
Angka Signifikan
•
•
•
•
7,6728  7,67
15,506  15,51
7,3600  7,4
4,27002  4,3
Metode Numerik
3 angka signifikan
4 angka signifikan
2 angka signifikan
2 angka signifikan
Slide 8
Sumber Kesalahan
• Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
• Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
• Ketidaktepatan data
• Kesalahan pemotongan (truncation error)
• Kesalahan pembulatan (round-off error)
Metode Numerik
Slide 9
Kesalahan pemotongan (i)
• Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan
suatu aproksimasi pengganti prosedur
matematika yang eksak
Contoh: approksimasi dengan deret Taylor
n
x
x 2

x
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )
 f ( xi )
   f n ( xi )
 Rn
1!
2!
n!
x  xi 1  xi
Kesalahan:
Metode Numerik
f ( n 1) ( ) ( n 1)
Rn 
x
(n  1)!
Slide 10
Kesalahan pemotongan (ii)
• Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)
f ( xi 1 )  f ( xi )
• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )
x
1!
• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)
x
x 2
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )
 f ( xi )
1!
2!
Metode Numerik
Slide 11
Motivasi Dari Persamaan Non Linear
Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat
rumusan berikut:
R
R2
R T
2
2
M
R = jari-jari kurva jalan
T = jarak tangensial = 273.935 m
M = ordinat tengah = 73.773 m
Metode Numerik
Slide 12
Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii)
Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan
produksi optimal suatu komponen struktur didapat
persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan
produksi dalam satu hari sebagai berikut:
C  13000 N 1  158.11 N 0.5  N  0.0025 N 2
dengan
C = biaya per hari
N = jumlah komponen yang diproduksi
Metode Numerik
Slide 13
Solusi Persamaan Non Linear (i)
1) Metode Akolade (bracketing method)
Contoh: • Metode Biseksi
(Bisection Method)
• Metode Regula Falsi
(False Position Method)
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
Metode Numerik
Slide 14
Solusi Persamaan Non Linear (ii)
2) Metode Terbuka
Contoh: • Iterasi Titik-Tetap
(Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen
(bisa divergen)
Metode Numerik
Slide 15
Metode Bagi Dua (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0 
f (a0 ) f (b0 )  0
do n = 0,1,…
m  (an  bn ) / 2
an1  an , bn1  m
if f (an ) f (m)  0, then
else an 1  m, bn1  bn
if bn1  an1   or
end do
Metode Numerik
f ( m)  0
exit
Slide 16
Metode Biseksi (ii)
Metode Numerik
Slide 17
Regula Falsi (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0 
f (a0 ) f (b0 )  0
do n = 0,1,…
w  [ f (bn )an  f (an )bn ] /[ f (bn )  f (an )]
an1  an , bn 1  w
if f (an ) f ( w)  0, then
else an 1  w, bn1  bn
if
bn1  an1   or
f ( w)  0
exit
end do
Metode Numerik
Slide 18
Regula Falsi (i)
Metode Numerik
Slide 19
Regula Falsi Termodifikasi (i)
Inisialisasi: F  f (a0 )
do n = 0,1,…
G  f (b0 ) w0  a0
wn1  [Gan  Fbn ] /[G  F ]
if f (an ) f (wn1 )  0, then
an1  an , bn1  wn1 ,
if
G  f (wn1 )
f ( wn ) f ( wn1 )  0, then F  F / 2
else an 1  wn 1 , bn1  bn , F  f (wn1 )
if f ( wn ) f ( wn1 )  0, then F  F / 2
exit
if bn1  an1  
end do
Metode Numerik
Slide 20
Regula Falsi Termodifikasi (ii)
Metode Numerik
Slide 21
Iterasi Titik Tetap
Metode Numerik
Slide 22
Metode Newton-Raphson
Metode Numerik
Slide 23
Metode Secant
Metode Numerik
Slide 24
Akar Ganda (i)
y  ( x  1) 2
Metode Numerik
y  ( x  1)3
Slide 25
Akar Ganda (ii)
y  ( x  1) 4
Metode Numerik
Slide 26
Akar Ganda (iii)
• Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak
berubah tanda
• f (x) dan
f (x )
menuju nol disekitar akar
Modifikasi metode Newton-Raphson:
Bentuk alternatif:
Hasil akhir:
Metode Numerik
f ( x)
u ( x) 
f ( x)
f ( xi ) f ( xi )
xi 1  xi 
[ f ( xi )]2  f ( xi ) f ( xi )
Slide 27
Motivasi Persamaan Linier
• Persamaan linier simultan sering muncul dalam
sains dan teknik (sekitar 75 %):
–
–
–
–
–
–
–
–
Analisis struktur
Analisis jaringan
Interpolasi
Riset Operasi
Teknik Transportasi
Manajemen Konstruksi
Penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa
Penyelesaian numeris persamaan diferensial parsial
Metode Numerik
Slide 28
Persamaan Linier Simultan
a11x1  a12 x2    a1n xn  b1
a21x1  a 22 x2    a2 n xn  b2


an1 x1  a n 2 x2    ann xn  bn
dalam notasi matriks
 a11 a12  a1n 
a

a

a
2n 
 21 22
 
  


an1 an 2  ann 


A
Metode Numerik
 x1   b1 
 x  b 
 2   2
 
   
xn  bn 


x
b
Slide 29
Pandangan Secara Geometri
• Secara geometri, solusi persamaan linier
simultan merupakan potongan dari hyperplane
• 2 persamaan dan 2 variabel tidak diketahui
– Hyperplane: garis
– Potongan hyperplane: titik potong
• 3 persamaan dan 3 variabel tidak diketahui
– Hyperplane: bidang
– Potongan hyperplane: garis potong
Metode Numerik
Slide 30
Matriks Bujursangkar (i)
a) Matriks Simetris aij  a ji
b) Matriks Diagonal aii  0,
aij  0
untuk i  j
c) Matriks Identitas aii  1,
aij  0
untuk i  j
 0 untuk i  j
d) Matriks segitiga atas aij 
 0 untuk i  j
 0 untuk i  j
e) Matriks segitiga bawah aij 
 0 untuk i  j
Metode Numerik
Slide 31
Matriks Bujursangkar (ii)
f) Matriks pita
Lebar pita 3  tridiagonal matriks
 0 untuk i  j  1
aij 
selainnya
 0
Lebar pita 5  tridiagonal matriks
 0 untuk i  j  2
aij 
selainnya
 0
Metode Numerik
Slide 32
Matriks Segitiga
Ide dasar: Transformasi persamaan linier asal
menjadi persamaan linier berbentuk segitiga
sehingga mudah diselesaikan
u11x1 u12 x2    u1nxn  c1
u 22 x2    u2nxn  c2

unn xn  cn
Dalam notasi matriks
Ux  c
Metode Numerik
Slide 33
Syarat Regularitas
• Sebuah matriks bujursangkar A yang
mempunyai dimensi n x n dikatakan tidak
singular jika salah satu syarat di bawah ini
terpenuhi:
– A dapat diinversikan
– Semua nilai eigen dari matriks A tidak sama dengan
nol
• det (A)  0
Metode Numerik
Slide 34
Eliminasi Gauß
Metode Numerik
Slide 35
Substitusi Balik
Metode Numerik
Slide 36
Contoh Persamaan Linier
Metode Numerik
Slide 37
Interpolasi
• Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik
data yang telah diketahui nilainya
• Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi
Polinom
• Polinom berbentuk:
Pn ( x)  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0
Metode Numerik
Slide 38
Metode Lagrange (i)
Jika (x0,y0), (x1,y1),…, (xn,yn) merupakan sepasang
nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x)
diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan
diperoleh:
Pn ( x)  a0 ( x  x1 )( x  x 2 )...( x  x n ) 
 a1 ( x  x0 )( x  x 2 )...( x  x n )  ... 
 a n ( x  x0 )( x  x1 )( x  x 2 )...( x  x n 1 )
Metode Numerik
Slide 39
Metode Lagrange (ii)
Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi
Pn ( x 0 )  y 0
Pn ( x1 )  y1
...................
Pn ( x n )  y n
Dengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka
yi
ai 
( xi  x0 )( xi  x1 )...( xi  xi 1 )...( xi  xi 1 )...( x0  x n )
Metode Numerik
Slide 40
Metode Lagrange (iii)
Dengan memakai fungsi Lagrange
(x  x j )
( x  x0 )( x  x1 )...( x  xi 1 )...( x  xi 1 )...( x  x n )
Li  

( xi  x0 )( xi  x1 )...( xi  xi 1 )...( xi  xi 1 )...( x0  x n )
j  0 ( xi  x j )
n
j i
maka
n
Pn ( x)   Li y i  L0 y 0  L1 y1    Ln y n
i 0
Metode Numerik
Slide 41
Motivasi untuk interpolasi (i)
Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga
tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang
deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai
uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan
nilai sekarang.
Tingkat suku bunga
Metode Numerik
F/P (n = 20 tahun)
15
20
25
16,366
38,337
86,736
30
190,050
Slide 42
Motivasi Interpolasi (ii)
Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang
dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut
pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi
linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian,
kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga
metode tersebut.
Metode Numerik
Slide 43
Motivasi untuk Interpolasi (iii)
Viskositas air dapat ditentukan dengan
menggunakan tabel berikut ini:
T(ºC)
0
10
30
50
70
90
100
Metode Numerik
(10-3 Ns/m2)
1,792
1,308
0,801
0,549
0,406
0,317
0,284
Slide 44
Motivasi untuk Interpolasi (iv)
Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25ºC.
Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga
kisaran kesalahan dari hasil yang didapat.
Metode Numerik
Slide 45
Pengintegralan Numerik
b
Integral:
I   f ( x) dx
a
Jika f ( x)  0
tafsiran geometrik: luas daerah
y
f(x)
I
0
a
b
x
Jika fungsi primitif F (x) yaitu f ( x) 
dF ( x)
dx
diketahui
b
I   f ( x) dx  F (b)  F (a)
a
tidak diketahui
Metode Numerik

Pengintegralan Numerik
Slide 46
Formula Integrasi Newton-Cotes
Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang
ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah
diintegrasikan
Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n,
maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes
b
b
a
a
I ( f )   f ( x) dx   f n ( x) dx  I n ( f )
Dibagi atas
i) bentuk tertutup, batas integrasi a dan b dimasukkan ke
dalam perhitungan
ii) Bentuk terbuka, a dan b tidak termasuk
Metode Numerik
Slide 47
Kaidah Segiempat
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi
konstan sepotong-potong)
I ( f )  I 0 ( f )  h[ f ( x0 )  f ( x1 )   f ( xn 1 )]
I ( f )  I 0 ( f )  h[ f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )]
Metode Numerik
Slide 48
Kaidah Trapesium (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier
sepotong-potong
a) Satu pias
f ( x0 )  f ( x1 )
I ( f )  I1 ( f )  ( x1  x0 )
2
y=f(x)
Kesalahan:
Metode Numerik
1
Et   f ( ) ( x1  x0 )3
12
Slide 49
Kaidah Trapesium (ii)
b) Banyak
pias
n 1

( xn  x0 ) 
I ( f )  I1m ( f ) 
 f ( x0 )  f ( xn )  2 f ( xi ) 
2n 
i 1

y=f(x)
…
b
Kesalahan:
Metode Numerik
1
3


Et  
f
(
x

x
)
n
0 ,
2
12n
n
dimana
 f ( )
i 1
Slide 50
Kaidah Simpson 1/3 (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik
sepotong-potong
a) Satu pias
f ( x0 )  4 f ( xi )  f ( x2 )
I ( f )  I 2 ( f )  ( xn  x0 )
6
Kesalahan:
( xn  x0 )5 ( 4)
Et  
f ( )
2880
Metode Numerik
Slide 51
Kaidah Simpson 1/3 (ii)
b) Banyak Pias:
n 1
n2

( xn  x0 ) 
 f ( x0 )  f ( xn )  4  f ( xi )  2  f ( xi ) 
I ( f )  I m ( p2 ) 
3n 
i 1, 3, 5
i  2, 4, 6

Kesalahan:
A1
Metode Numerik
A3
A5
An-1
( xn  x0 )5 ( 4)
Et  
f
4
180n
Slide 52