Transcript numerik_gndrm - WordPress.com

Metode Numerik
Apa yang akan dibahas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pendahuluan dan motivasi
Analisis Kesalahan
Interpolasi
Integrasi dan Diferensiasi Numerik
Akar-akar Persamaan
Persamaan Diferensial
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 2
Daftar Pustaka
• Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode
Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas
Indonesia, Jakarta.
• Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab
Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi,
Yogyakarta.
• Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGrawHill International Editions, Singapore.
• Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar
Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta.
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 3
Pendahuluan
• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan
masalah matematika dengan pengoperasian
hitungan.
• Pada umumnya mencakup sejumlah besar
kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan
menjenuhkan
• Karena itu diperlukan bantuan komputer
untuk melaksanakannya
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 4
Motivasi
Kenapa diperlukan?
• Pada umumnya permasalahan dalam sains
dan teknologi digambarkan dalam
persamaan matematika
• Persamaan ini sulit diselesaikan dengan
“tangan”  analitis sehingga diperlukan
penyelesaian pendekatan  numerik
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 5
Penyelesaian persoalan numerik
• Identifikasi masalah
• Memodelkan masalah ini secara matematis
• Identifikasi metode numerik yang diperlukan
untuk menyelesaikannya
• Implementasi metode ini dalam komputer
• Analisis hasil akhir: implementasi, metode,
model dan masalah
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 6
Persoalan analisis numerik
•
•
•
•
•
Eksistensi (ada tidaknya solusi)
Keunikan (uniqueness)
Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)
instabilitas (instability)
Kesalahan (error)
Contoh: Persamaan kuadrat
Persamaan linier simultan
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 7
Angka Signifikan
•
•
•
•
7,6728  7,67
15,506  15,51
7,3600  7,4
4,27002  4,3
©JW 2004
3 angka signifikan
4 angka signifikan
2 angka signifikan
2 angka signifikan
Metode Numerik
Slide 8
Sumber Kesalahan
• Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
• Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
• Ketidaktepatan data
• Kesalahan pemotongan (truncation error)
• Kesalahan pembulatan (round-off error)
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 9
Kesalahan pemotongan (i)
• Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan
suatu aproksimasi pengganti prosedur
matematika yang eksak
Contoh: approksimasi dengan deret Taylor
f ( x i  1 )  f ( x i )  f ( x i )
x
1!
 f ( x i )
x
2
2!
   f ( xi )
n
x
n
n!
 Rn
 x  x i 1  x i
Kesalahan:
©JW 2004
Rn 
f
( n  1)
( )
( n  1)!
x
( n  1)
Metode Numerik
Slide 10
Kesalahan pemotongan (ii)
• Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)
f ( xi 1 )  f ( xi )
• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)
f ( x i  1 )  f ( x i )  f ( x i )
x
1!
• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)
f ( x i  1 )  f ( x i )  f ( x i )
©JW 2004
Metode Numerik
x
1!
 f  ( x i )
x
2
2!
Slide 11
Motivasi Dari Persamaan Non Linear
Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat
rumusan berikut:
R 
R
2
R T
2
M
2
R = jari-jari kurva jalan
T = jarak tangensial = 273.935 m
M = ordinat tengah = 73.773 m
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 12
Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii)
Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan
produksi optimal suatu komponen struktur didapat
persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan
produksi dalam satu hari sebagai berikut:
C  13000 N
1
 158 . 11 N
 0 .5
 N  0 . 0025 N
2
dengan
C = biaya per hari
N = jumlah komponen yang diproduksi
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 13
Solusi Persamaan Non Linear (i)
1) Metode Akolade (bracketing method)
Contoh: • Metode Biseksi
(Bisection Method)
• Metode Regula Falsi
(False Position Method)
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 14
Solusi Persamaan Non Linear (ii)
2) Metode Terbuka
Contoh: • Iterasi Titik-Tetap
(Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen
(bisa divergen)
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 15
Metode Bagi Dua (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a 0 , b0 
f ( a 0 ) f ( b0 )  0
do n = 0,1,…
m  ( a n  bn ) / 2
if
f ( a n ) f ( m )  0,
else
a n 1  m ,
if
end do
b n 1  a n 1  
©JW 2004
a n 1  a n , b n 1  m
then
b n 1  b n
or
f (m )  0
Metode Numerik
exit
Slide 16
Metode Biseksi (ii)
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 17
Regula Falsi (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a 0 , b0 
f ( a 0 ) f ( b0 )  0
do n = 0,1,…
w  [ f ( bn ) a n  f ( a n ) b n ] /[ f ( b n )  f ( a n )]
if
f ( a n ) f ( w )  0,
else
if
a n 1  w ,
b n 1  a n 1  
a n 1  a n , b n 1  w
then
b n 1  b n
or
f (w)  0
exit
end do
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 18
Regula Falsi (i)
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 19
Regula Falsi Termodifikasi (i)
Inisialisasi: F  f ( a 0 )
do n = 0,1,…
G  f ( b0 )
w0  a 0
w n 1  [ Ga n  Fb n ] /[ G  F ]
if
f ( a n ) f ( w n 1 )  0 ,
then
a n 1  a n , b n 1  w n 1 ,
if
f ( w n ) f ( w n 1 )  0 ,
G  f ( w n 1 )
then
else a n 1  w n 1 , bn 1  bn , F 
if f ( w n ) f ( w n 1 )  0 , then
exit
if b n  1  a n 1  
end do
©JW 2004
Metode Numerik
F  F /2
f ( w n 1 )
F  F /2
Slide 20
Regula Falsi Termodifikasi (ii)
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 21
Iterasi Titik Tetap
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 22
Metode Newton-Raphson
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 23
Metode Secant
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 24
Akar Ganda (i)
y  ( x  1)
©JW 2004
y  ( x  1)
2
Metode Numerik
3
Slide 25
Akar Ganda (ii)
y  ( x  1)
©JW 2004
4
Metode Numerik
Slide 26
Akar Ganda (iii)
• Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak
berubah tanda
•
f ( x)
dan
f ( x )
menuju nol disekitar akar
Modifikasi metode Newton-Raphson:
Bentuk alternatif:
Hasil akhir:
©JW 2004
u ( x) 
x i 1  x i 
f ( x)
f ( x )
f ( x i ) f ( x i )
2
[ f ( x i )]  f ( x i ) f ( x i )
Metode Numerik
Slide 27
Interpolasi
• Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik
data yang telah diketahui nilainya
• Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi
Polinom
• Polinom berbentuk:
Pn ( x )  a n x  a n  1 x
n
©JW 2004
n 1
Metode Numerik
   a1 x  a 0
Slide 28
Metode Lagrange (i)
Jika (x0,y0), (x1,y1),…, (xn,yn) merupakan sepasang
nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x)
diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan
diperoleh:
Pn ( x )  a 0 ( x  x 1 )( x  x 2 )...( x  x n ) 
 a 1 ( x  x 0 )( x  x 2 )...( x  x n )  ... 
 a n ( x  x 0 )( x  x 1 )( x  x 2 )...( x  x n 1 )
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 29
Metode Lagrange (ii)
Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi
Pn ( x 0 )  y 0
Pn ( x 1 )  y 1
.......... .........
Pn ( x n )  y n
Dengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka
ai 
©JW 2004
yi
( x i  x 0 )( x i  x 1 )...( x i  x i 1 )...( x i  x i  1 )...( x 0  x n )
Metode Numerik
Slide 30
Metode Lagrange (iii)
Dengan memakai fungsi Lagrange
(x  x j )
n
Li 

j0
( xi  x j )

( x  x 0 )( x  x 1 )...( x  x i 1 )...( x  x i  1 )...( x  x n )
( x i  x 0 )( x i  x 1 )...( x i  x i 1 )...( x i  x i  1 )...( x 0  x n )
ji
maka
n
Pn ( x ) 
L
i
y i  L 0 y 0  L1 y 1    L n y n
i0
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 31
Motivasi untuk interpolasi (i)
Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga
tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang
deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai
uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan
nilai sekarang.
Tingkat suku bunga
©JW 2004
F/P (n = 20 tahun)
15
20
25
16,366
38,337
86,736
30
190,050
Metode Numerik
Slide 32
Motivasi Interpolasi (ii)
Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang
dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut
pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi
linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian,
kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga
metode tersebut.
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 33
Motivasi untuk Interpolasi (iii)
Viskositas air dapat ditentukan dengan
menggunakan tabel berikut ini:
T(ºC)
0
10
30
50
70
90
100
©JW 2004
(10-3 Ns/m2)
1,792
1,308
0,801
0,549
0,406
0,317
0,284
Metode Numerik
Slide 34
Motivasi untuk Interpolasi (iv)
Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25ºC.
Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga
kisaran kesalahan dari hasil yang didapat.
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 35
Pengintegralan Numerik
b
Integral:

I 
f ( x) dx
a
Jika f ( x )  0
tafsiran geometrik: luas daerah
y
f(x)
I
0
a
Jika fungsi primitif
b
F ( x)
yaitu
x
f ( x) 
dF ( x)
dx
diketahui
b
I 

a
tidak diketahui
©JW 2004
f ( x ) d x  F (b )  F ( a )

Pengintegralan Numerik
Metode Numerik
Slide 36
Formula Integrasi Newton-Cotes
Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang
ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah
diintegrasikan
Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n,
maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes
b
I( f ) 

a
b
f ( x) dx 

fn ( x) dx  I n ( f )
a
Dibagi atas
i) bentuk tertutup, batas integrasi a dan b dimasukkan ke
dalam perhitungan
ii) Bentuk terbuka, a dan b tidak termasuk
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 37
Kaidah Segiempat
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi
konstan sepotong-potong)
I ( f )  I 0 ( f )  h[ f ( x 0 )  f ( x1 )   f ( x n  1 )]
I ( f )  I 0 ( f )  h[ f ( x1 )  f ( x 2 )   f ( x n )]
©JW 2004
Metode Numerik
Slide 38
Kaidah Trapesium (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier
sepotong-potong
a) Satu pias
I ( f )  I 1 ( f )  ( x1  x 0 )
f ( x 0 )  f ( x1 )
2
y=f(x)
Kesalahan:
©JW 2004
Et  
1
12
3
f  ( ) ( x1  x 0 )
Metode Numerik
Slide 39
Kaidah Trapesium (ii)
b) Banyak
pias
n 1

( xn  x0 ) 
I ( f )  I1m ( f ) 
 f ( x0 )  f ( x n )  2  f ( xi ) 
2n
i 1


y=f(x)
…
b
Kesalahan:
©JW 2004
Et  
n
1
12 n
f  ( x n  x 0 ) ,
3
2
Metode Numerik
dimana

i 1
f  ( )
Slide 40
Kaidah Simpson 1/3 (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik
sepotong-potong
a) Satu pias
I ( f )  I 2 ( f )  ( xn  x0 )
f ( x0 )  4 f ( xi )  f ( x 2 )
6
Kesalahan:
Et  
©JW 2004
Metode Numerik
( xn  x0 )
5
f
(4)
2880
Slide 41
( )
Kaidah Simpson 1/3 (ii)
b) Banyak Pias:
n 1
n2

( xn  x0 ) 
 f ( x0 )  f ( x n )  4  f ( xi )  2  f ( xi ) 
I ( f )  I m ( p2 ) 


3n
i  1, 3 , 5
i  2,4 ,6


Kesalahan:
A1
©JW 2004
A3
A5
Et  
An-1
Metode Numerik
( xn  x0 )
180 n
4
5
f
(4)
Slide 42