Transcript 行星的轨道和位置

上海交通大学
数学实验
行星的轨道
和位置
他以几乎神一般的思维力,
最先说明了行星的运动和图象,
慧星的轨道和大海的潮汐.
─ Newton 墓志铭
背景介绍
托勒密（古希腊）
地心说
哥白尼(波兰，1473-1543) 日心说
16世纪前，人们认为太阳只有6大行星
地球－我们的家园
46亿岁 ,赤道半径6378.14公里，比极半径长21公里
金星－看起来最亮的行星
半径约为6073公里, 表面温度高达465至485度 ,自转
方向与其它行星相反
木星－行星中的巨无霸
赤道半径约为71400公里，是地球的11.2倍
水星－距太阳最近的行星
半径为2440公里 , 较小，难以观察
火星－离地球最近、人们最关注的行星：
火星上有无生命？
土星－最美丽的行星
卫星数目最多,23颗. 光环由无数块冰状物组成的
行星运行三大规律
开普勒(1571－1630)
(观察分析数据)
在第谷·布拉赫(1546-1601)的基础上提出
1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;
2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内
扫过的面积相同;
3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴
的立方之比值是不随行星而改变的常数.
万有引力定律
“自然哲学的数学原理” (1687 牛顿)
天王星－乐师(Herschel)发现的行星 (1781)
海王星－笔尖上的行星
(Adams 1845,
Leverrier 1846)
冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星
2006年8月24日国际天文学联合大会决定：
冥王星降级为“矮行星” (大行星的定义)
太阳只有八大行星！
实际问题
地球距太阳最远处(远日点)距离为
1.521×1011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速
度为2.929×104 m/s,试求:
1) 地球距太阳的最近距离
2) 地球绕太阳运转的周期
3) 在从远日点开始的第100天结束时,
地球的位置与速度
行星运动轨迹位于一个平面上
把太阳置于坐标系的原点，记行星的位置向量为
 
 
r  r t  ，那么行星的速度为 v  r ，加速度为 a  r.
由牛顿第二运动定律及万有引力定律得
于是，


GMm 
F  ma  
r
3
r
 
  
a // r  r  a  0
          
d  
因为 dt (r  v )  r   v  r  a  v  v  r  a  0  0  0
  
r  v  h (常向量）
所以

 
即 r  h，故行星位于一个过原点且垂直于 h 的平面上.
数学模型
在运动学中常采用复坐标系(点用复数表示)
设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t,
行星位于以下复数代表的点
Z (t )  re i
速度为 dZ  dr ei  ire i d  ei ( dr  ir d )
dt
dt
dt
dt
dt
2
2
2

d
Z
d
r
d

d

dr d 
i

2
加速度
 e ( 2  r (
) )  i(r 2  2
)
2
dt
dt dt 
dt
dt
 dt
根据 Newton 第二定律
mMG i
d2Z
 2 e m 2
r
dt
2
2

mMG i
d
r
d

d

dr d 
i
2
 2 e  me ( 2  r ( ) )  i(r 2  2
)
dt
dt dt 
r
dt
 dt
比较虚实部导出
微分方程组

d 2
dr d
r
2
0
2
dt
dt dt
d 2r
d 2
MG
 r( )   2
2
dt
dt
r
方程初始条件
r t 0  r0
dr
dt
t 0
0

d
dt
t 0
t 0
0
v0

r0
（后两个如
何得到？）
导出行星运行第二定律
d 2 d
(r
)0 
dt
dt

t  t
t
d
r
 C1
dt
2
1 2 d
C1t
r
dt 
2 dt
2
右边正
是面积
轨道方程
请尝试推导出行星的轨道方程？
p
r
1  ecos
( p,e 是常数,根据相关已知数据导出)
改写前面积分表达式成为
  

r d  C1t
2


1
0
1
C1
d  2 T1
2
(1 - ecos )
p
给出时间T1，要求位置即求出θ1与r，较难！
求解思路

1
F ( )  
d
0 (1-ecos ) 2
Fk 1  Fk  
 k 1
k
1
d
2
(1-ecos )
h
 [(1-ecos k )-2 +(1-ecos k 1 ) -2 ]
2
F0  0, Fk  F (k ), k  kh
C1T1
C1T1
Fn  2 , Fn 1  2
p
p
Matlab程序
function m5_1(h)
ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;
f=C1*T1/p^2;
theta(1)=0;
F(1)=0;
for i=2:1e6
theta(i)=theta(i-1)+h;
F(i)=F(i-1)+h*((1-ep*cos(theta(i-1)))^-2+(1-ep*cos(theta(i)))^-2)/2;
if F(i)>f
break;
end
end
n=i-2
t=n*h
r=p/(1-ep*cos(t))
dtheta=C1/r^2
v=r*dtheta
取不同步长实验结果
表1
h
n

r
v
0.05
33
1.6500
1.4940
2.9819
0.01
168
1.6800
1.4944
2.9834
0.005
337
1.6850
1.4932
2.9836
0.001
1686
1.6860
1.4931
2.9837
其中
h,n, , r,v单位分别为107 s,次，弧度，1011 m, 104 m/s
数值方法
将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离散化
d
r
 C1 
dt
2
d 2r
d 2
MG
 r( )   2
代入
2
dt
dt
r
再设
代入上式得
d C1
 2
dt r

d 2 r C12
MG
 3  2
2
dt
r
r
dr
q
dt
dq C12 MG
 3  2
dt r
r
Euler 迭代格式
 k 1   k 
C1h
rk2
rk 1  rk  hqk
C12 MG
qk 1  qk  h( 3  2 )
rk
rk
由时间T1易
得到θ，r
 0  0 r0  r0 q0  0
计算到第n 步
得到周期
T  nh
 n  2π
 n1  2π
轨道图形
将计算所得的数据， 利用 Matlab 作图可得
改进 Euler 迭代格式
对上面方程组用改进Euler 迭代格式
hC1 1
1
 k 1   k 
( 2  * 2)
2 rk (rk 1 )
其中
*
k 1
r
 rk  hqk
任务：写出这方程组的改进Euler迭代格式
并用Matlab 实现
艾萨克
•
牛顿
Sir Isaac Newton
(英格兰 1643－1727年)

科学史上最有影响力的人
物理学家 数学家 天文学家
哲学家
 专心于科学研究到痴情

较之科学他更多致力于《圣经》的研究

炼金术士 造币厂总监
 性格内向 独身一生

牛顿的一句名言
What Descartes did was a good step you have
added much several ways & especially in taking
the colors of the thin plates into philosophical
consideration.
If I have seen further it is by standing on the
shoulders of Giants.
近日点的确定
在确定行星轨道为椭圆以后可取 t = T/4
处 r 的值为近日点，也可以求 r 的最小值作为
近日点距离
（需要取比较小的步长h）

相应点的速度怎么求 ？
d
vr
dt
C1
 v 
dθ C1
r

回到方程组
dt
r2
可以求得地球的近日点距太阳
rmin = 1.471×1011 m
而在第100天结束时的位置，则只要求这个时间tk
所对应的 rk 就可以了，此时
r = 1.493×1011 m
微分方程的 Runge-kutta 方法
以一元为例
dx
 f (t , x), x t 0  x0
dt
设步长为h,则 tk  kh , 记 xk  x(tk )
 xk 1  x(tk  h) （Taylor 展开）
h2
h3
 x(tk )  hx(tk )  x(tk )  x(tk )  
2!
3!
其中 x(t )  f (t , x )
k
k
k
x(tk )  f t (tk , xk )  f x (tk , xk ) x(tk )
 f t (tk , xk )  f x (tk , xk ) f (tk , xk )
可以求出
各阶导数
计算高阶导数 代之以 f 在一些点的值的组合
当Taylor 展开到四阶项，可取
1
2
2
1
xk 1  xk  h( K1  K 2  K 3  K 4 )
6
6
6
6
其中
K1  f (tk , xk )
K 2  f (tk  h / 2, xk  hK1 / 2)
Runge-Kutte
K3  f (tk  h / 2, xk  hK 2 / 2)
迭代格式
K 4  f (tk  h, xk  hK3 )
在Matlab可
以直接调用
使用Matlab
先定义一阶微分方程组函数组
function dy=m5_2_fun(t,y)
C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;
dy=zeros(3,1);
dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;
dy(2)=y(1);
dy(3)=C1/y(2)^2;
再调用Runge-kutte方法专用程序：
function T=m5_2(h)
[t,y]=ode45(@m5_2_fun,[0:h:400*24*36
00],[0,1.521e11,0]);
n=max(find(y(:,3)<2*pi)); %查找小于
2pi所对应的最大n值
T=t(n);
r=y(round(n/2),2);
polar(y(:,3),y(:,2))
取不同步长实验结果
表2
h
T
T
rm
0.01
3.1500
364.58
1.4710
0.005
3.1550
365.16
1.4710
0.0005
3.1555
365.22
1.4710
0.0001
3.1559
365.23
1.4710
两个小软件展示
实验任务
任务2.水星距太阳最远处距离为0.6982×1011m,
此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104 m/s,
画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求:
1) 水星绕太阳运行的周期
2) 水星到太阳的最近距离
3) 求从远日点开始的第50天(地球天)
结束时水星的位置
任务4. 冥王星在1989年10月处于近日点距
太阳44.4 ×1011m,此时其线速度为0.6122
×104 m/s, 试求:
1) 它在什么时间到达远日点，此时它的
线速度为多少 ?
2) 远日点到太阳的距离；
3) 其椭圆轨道的偏心率并作图

完成此任务或任务2的不同方法应作比较
先仔细阅读教材中解析方法推导开普勒第一
和第三定律，然后完成如下的：
任务3. 利用开普勒三定律，也可以推导出万
有引力定律，试完成这个推导
谢谢各位！