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第一章 函數與極限
 課程目標
函數
函數的圖形
函數的極限
連續函數
在無窮大處的極限
無窮極限
經濟學上的函數
第一章 函數與極限
1
函數的概念

探討自然現象與社會現象等各種問題的過程中，通
常需先將實際的問題轉換數學模式，再以數學方法
來求其解。而在上述解題的「轉換」過程中，函數
(function)扮演著主要的角色。

函數可用來描述問題中各變量間的關係。產品的銷
售量與價格、計程車的車資與里程、信件的重量與
郵資、圓的半徑與面積等皆是。描述變量與變量間
的對應關係，就是函數的概念。
第一章 函數與極限 1-1 函數
2
函數的範例

圓的半徑與面積:
當圓的半徑為 x 時，此圓的面積為 p x2 。式子
y  f ( x)  p x 2
說明了兩個變量 x 與 y 之間的對應關係
此種對應可圖示如下：
第一章 函數與極限 1-1 函數
3
函數的定義

定義1-1：設 A 與 B 為兩個非空的集合。如果 A 內
的每一個元素，在 B 內都恰有一個對應的元素，那
麼這種對應法則，就稱為從 A 映至 B 的一個函數。
集合 A 稱為函數的定義域(domain)，B 稱為函數的
對應域(codomain)。
2
y  f ( x)  p x
A
定
義
域
y = f(x)
第一章 函數與極限 1-1 函數
B
對
應
域
應變數
(dependent
variable)
自變數
(independent
variable)
值域：所有函數值 f(x) 所成的集合
，叫做函數 f 的值域(range)。即
{ f ( x ) | x  A}
4
函數的範例

以表格表示函數關係：

以式子表示函數關係： y  2 x  3

式子不一定表示函數關係
式子 y2 = x2 + 5 並不定義一個函數。
第一章 函數與極限 1-1 函數
5
求定義域與值域

試求下列各函數的定義域與值域：
1. f ( x )  x 2  x
2. g ( x )  x11
3. h( x )  x 2  1

解：
1. 定義域 = R，值域 = { y  R | y   4 }。
2. 定義域 = {x  R | x  1}，值域 = R 。
2
3. 定義域 = {x  R | x  1  0}，值域 = { y  R | y  0}。
1
第一章 函數與極限 1-1 函數
6
多項式函數(Polynomial Function)

若 a0，a1，...，an 為實數，n 為非負整數，則下面這
種形式的函數稱為多項式函數或簡稱為多項式：
P( x )  an x n  an 1x n 1    a1x  a0

多項式函數的定義域為 R。a0，a1，...，an 稱為此多
項式函數的係數(coefficient) 。

若 an≠0 ，則稱 an 為 P(x) 的首項係數(leading
coefficient)，且稱 P 為 n 次多項式 (polynomial of
degree n)。
第一章 函數與極限 1-1 函數
7
多項式函數

常數函數(constant function) f(x) = a，a≠0 ，為零次多
項式。而常數函數 f(x) = 0 為零多項式函數，其次數
沒有定義。

一次多項式亦稱為線性函數 (linear function)，其形
式為 P(x) = ax + b，a≠0。

二次多項式亦稱為二次函數 (quadratic function)，其
形式為 P(x) = ax2 + bx + c，a≠0。
第一章 函數與極限 1-1 函數
8
有理函數、 冪函數


q( x )
p( x )
若 p(x) 與 q(x) 都是多項式函數，則函數 f ( x ) 
稱為有理函數 (rational function) 。有理函數的定義
為 {x  R | p( x )  0} 。每一多項式函數都是有理函數。
若 k 是不為0的常數，r 為任一實數，則函數 f(x) = kxr
稱為冪函數 (power function)。冪函數的定義域依 r 的
值而定。例如
f ( x )  x 1
g ( x)  3 x
13
1
h( x )  2 x
第一章 函數與極限 1-1 函數
9
絕對值函數 、 高斯函數


函數
 x 當x  0
f ( x ) | x | 
 x 當 x  0
稱為絕對值函數(absolute value function)，其定義域
為 R。
對於任意實數 x，我們以[ x ]表示小於或等於 x 的最
大整數。例如 [ 2.3 ] = 2，[p]   4， [ 5 ] = 5 等。
函數 f(x) = [ x ] 稱為高斯函數(Gauss function)或最大
整數函數(greatest integer function)，其定義域為 R。
第一章 函數與極限 1-1 函數
10
分段定義函數

求分段定義函數 (piecewise-defined function)
 1
當 t  1
t

1
g (t )   2
3t  1 當 t  1
在 t = 2，t = 0 與 t = ½ 的值。
第一章 函數與極限 1-1 函數
11
函數的四則運算

定義1-2: 設 f 與 g 為二個函數，則其和 f + g，差 f 
g ，積 f ．g 與商 f / g 分別定義如下:
(1) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x )
( 2) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x )
(3) ( f  g )( x )  f ( x ) g ( x )
f 
f ( x)
( 4)  ( x ) 
, g ( x)  0
g ( x)
g
第一章 函數與極限 1-1 函數
12
函數的四則運算及其定義域


設 f ( x )  x  2，g(x) = 2x + 1。求 f + g，f  g，
f ．g 與商 f / g 諸函數在 x = 2 之值。並求出各函數
的定義域。
解: 因 f (2)  2  2  2 g ( 2)  2  2  1  5 ，
故得 ( f  g )( 2)  f ( 2)  g ( 2)  2  5  7
( f  g )( 2)  f ( 2)  g ( 2)  2  5  3
( f  g )( 2)  f ( 2) g ( 2)  2  5  10
2
f
f ( 2)
( 2)  g ( 2 ) 
g
5

第一章 函數與極限 1-1 函數
13
合成函數(Composition Function)

定義1-3:設 f 與 g 為兩個函數，則 f 與 g 的合成函數
，以 f。g 表示，定義為
( f  g )( x )  f ( g ( x ))
其定義域為 g 定義域中那些滿足「g(x) 在 f 的定義域
」的所有元素 x 所成的集合。
 求合成函數:
設 f(x) = (x – 1)2，g(x) = 3x+1。求下列各合成函數
(1) f。g
(2) g。f (3) f。f (4) g。g
gfgx)()()(
gf(x133)x2x1)
x1)112))21)11x)2413x4299xxx326x44x24
( (f (ggff)(
) xx))f( gfgf(((xfgg
))((xx))))f((gx((
x3
(((31x3()2x3
)211)(()

第一章 函數與極限 1-1 函數
14
合成函數不一定有定義

設函數 f ( x)   x 2  1，g ( x )  x。試問合成函數
g。f 是否有定義？

解: 對任意實數 x 而言，f(x) = (x2 + 1) < 0，而函數
g 的定義域為 {x  R | x  0} 所以 f(x) 並不在 g 的定義
域內，故 g(f(x)) 沒有定義，亦即函數 g。f 不存在。
第一章 函數與極限 1-1 函數
15
求合成函數的定義域

設 f ( x )  3x  x， g ( x )  2 x  1。求合成函數 f。g的
定義域。

解: ( f  g )( x )  f ( g ( x )  f (2 x  1)  3(2 x  1)  2 x  1
因此，當 2 x  1  0 時， f。g 才有定義，也就是說
f。g 的定義域為
{x  R | x   12 }
第一章 函數與極限 1-1 函數
16
分解合成函數



事實上，很多函數都是由簡單的函數「合成」的。
將函數 h(x) = (x2 + 1)10 + 3 表示成兩個函數的合成函
數。
解: 函數 h(x) 可看成是一個表示式的10次方加上3。
因此，若令 f(x) = (x2 + 1) ，g(x) = x10 + 3，則得
( g  f )( x )  g ( f ( x ))
 g ( x 2  1)  ( x 2  1)10  3
 h( x )
第一章 函數與極限 1-1 函數
17
函數的圖形

定義1-4: 設有一函數 f(x)，其定義域為 A，則在坐標
平面上，由所有數對 (x, f(x)) 所成的集合，其中 x  A
，稱為函數 f(x) 的圖形，亦即
函數 f ( x ) 的圖形  {( x, f ( x )) | x  A}

畫出函數圖的三個步驟:
步驟1: 在函數 f 的定義域中選取一些點 x，並計算函數 f
在這些點的值 f(x) 。
步驟2: 在坐標平面上標出這些點 (x, f(x)) 。
步驟3: 將步驟2所標出的點用平滑曲線連接起來。
第一章 函數與極限 1-2 函數的圖形
18
畫多項式函數的圖形

描繪函數 f(x) = x3 的圖形。
第一章 函數與極限 1-2 函數的圖形
19
畫有理函數的圖形

描繪函數 f ( x ) 
第一章 函數與極限 1-2 函數的圖形
1
x
的圖形。
20
畫分段定義函數的圖形

x  3 當 x  0
描繪函數 f ( x )  
的圖形。
當0  x  7
4
第一章 函數與極限 1-2 函數的圖形
21
垂直線檢驗法

判斷平面上的圖形是
否為函數圖形的方法
，稱之為垂直線檢驗
法 (vertical-line test)。
第一章 函數與極限 1-2 函數的圖形
22
經濟學上的函數

本節將介紹經濟學上三個重要的函數：
成本函數 (cost function)
收入函數 (revenue function)
利潤函數 (profit function)。
此外也要介紹供給 (supply) 和需求 (demand) 的概念。

設 x 表示所生產或所銷售的單位產品的數量，則定義
C(x) = 生產 x 個單位產品的總成本
R(x) = 銷售 x 個單位產品的總收入
P(x) = 生產且銷售 x 個單位產品的總利潤
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
23
求利潤

設每分鐘生產 x 支原子筆的成本(單位：元)為
C( x)  0.01x2  1.2 x  35
且設每支的售價為6元。
求利潤函數。
生產且銷售10支原子筆的利潤為多少？
生產且銷售2支原子筆的利潤為多少？
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
24
求利潤

求利潤函數。
P( x )  R( x )  C ( x )
 6 x  (0.01x 2  1.2 x  35)  0.01x 2  4.8 x  35

生產且銷售10支原子筆的利潤為多少？
P(10)  0.01(10)2  4.8(10)  35  12

生產且銷售2支原子筆的利潤為多少？
P(2)  0.01(2)2  4.8(2)  35  25.44
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
25
損益均衡

當 P(x) = 0 時，公司損益均衡。使得 R(x) = C(x) 的 x值稱為
損益均衡量 (break-even quantity)。y = R(x) 和 y = C(x) 之圖形
的交點稱為損益均衡點 (break-even point)。參見下圖。圖中
，灰色區域為「利潤」，紫色區域為「損失」。
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
26
求損益均衡點

假設某製造項鍊的公司，每天生產 x 條項鍊的成本
為 C(x) = 5x2 + 40x + 600元。若銷售 x 條項鍊的收入
為 R(x) = 400x  25x2元。求損益均衡點。
R( x )  C ( x )
 400 x  25 x 2  5 x 2  40 x  600
 30 x 2  360 x  600  0
 ( x  10)( x  2)  0
 x  10, 2
C (10)  1500
C ( 2)  700
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
27
需求函數


需求函數 (demand function)是用來描述產品的價格 p 和在該
價格下所能銷售的數量(或顧客的需求量)，x 間的關係函數，
以 x = D(p) 表示。在自由市場裏，價格的改變會影響銷售量(
比如說，價格愈高，銷售量就愈少)；可售量的改變也會影響
價格(一般而言，物品愈缺乏，價格就變得愈高)。
下圖為一般的需求曲線
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
28
求需求量和需求函數的定義域

假設某廠牌足球的需求函數為 x = D(p) = 30p+8100
其中 p 的單位為元，D(p) 表示在價格 p 時所能銷售
的足球數。
當價格為200元時，需求量為多少？
當價格上漲2元時，對需求量有何影響？
求函數 D(p) 的定義域。

解: (1) D (200)  30  200  8100  2100
( 2) D ( k )  30k  8100
D ( k  2)  30( k  2)  8100  30k  8040
D ( k  2)  D ( k )  60
(3) D ( p )  30 p  8100  0  p  270  [0, 270]
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
29
供給函數


供給函數 (supply function)是用來描述產品的價格 p 和在該銷
售價格下生產者所願意生產之量(或銷售者所能供給之量)，x
間的關係函數；以 x = S(p) 表示。在自由市場裏，價格的改
變會影響生產量。通常是：當價格較高時，生產量會增加，
當價格較低時，生產量會減少。
下圖為一般的供給曲線
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
30
由供給函數求供給量

設某產品每週的生產量與價格(單位：元)間的關係
為 x = S(p) = 50p150
(1) 求價格為4元時，其生產量為多少？
(2) 當價格低於何種程度時，生產者將不願再生產該項產
品？

解: (1) x  S (4)  50  4  150  50
(2) 50P  150  0  P  3
0 p3
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
31
平衡價格



當價格上揚時，生產量(或供給量)增加，需求量減少，
當價格下跌時，生產量減少，需求量增加。此二曲線的
交點 (pe, xe) 稱為平衡點 (equilibrium point)，對應於此
點的價格 pe 稱為平衡價格 (equilibrium price)。
在此平衡價格時， 消費者願意購買之量和生產者願意
生產之量相等，此量即為 xe，稱之為平衡量
(equilibrium quantity)。
當價格低於平衡價格時，需求量大於生產量，因此，在
市場上產生短缺的現象。而當價格高於平衡價格時，生
產量大於需求量，因而會產生剩餘的現象。
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
32
平衡價格
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
33
求平衡價格、平衡量與平衡點

設某產品的需求函數和供給函數分別為：x = D(p) =
590  5p，x = S(p) = p2 + 3p  70 。
(1)求平衡價格 (2)求平衡量

(3)求平衡點
解: (1) D ( p )  S ( p )
 590  5 p  p 2  2 p  70
 p 2  8 p  660  0
 ( p  22)( p  30)  0
p  22, p  30 (不合)
( 2) x  D ( 22)
 590  5  22  480
(3) ( 22, 480)
第一章 函數與極限 1-3 經濟學上的函數
34
函數的極限



微積分的學習是從極限開始的。極限將用來定義微積分的兩
個基本工具--導數和積分。
極限是用來描述當自變數 x 趨近於某一定數 a 時，函數 f(x)
的變化情形。它和 f(a) 是不一樣的，因為 f(a) 是 x = a 時的函
數值。
2
x
考慮如下的函數： f ( x )  x 21x 3。想要知道當 x 趨近1時，
函數 f(x) 的變化情形。
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
lim f ( x )  4
x 1
35
函數的極限

定義1-5: 當 x 的值愈來愈靠近(但不等於) a ，函數值
f(x) 也跟著愈來愈靠近 L，我們就說：當 x 趨近 a 時
，f(x) 的極限為 L (簡稱：f(x)在點 a 的極限為 L)，以
符號
lim f ( x )  L
x a
表示之。如果當 x 趨近 a 時，函數值 f(x) 不趨近一
定數，那麼，我們就說：當 x 趨近 a 時，f(x) 的極限
不存在。
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
36
求極限

求 lim x  1

求 lim
2
x 2
lim x 2  1  5
x 2
1
x 4 x  4
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
37
由函數圖形求極限

根據下圖的函數圖形，求下列各極限。
(1) lim f ( x ) (2) lim f ( x ) (3) lim f ( x ) (4) lim f ( x )
x 1
x 2
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
x 3
x 4
38
三個極限均為 L 的函數

極限乃在描述函數在某一特定點「附近」的變化情
形，故與函數在該特定點是否有定義無關。
lim f ( x )  L
x c
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
39
求極限


設
2 x  3 當 x  4
f ( x)  
，求 lim f ( x )。
2
當
x

4

x4
設 f ( x) 
x 2  2 x  3，求 lim
x 1
x1
x 2  2 x 3
x 1
f ( x )。
( x 1)( x  3)
x 1
f ( x) 

 x  3, x  1
 lim f ( x )  4
x 1
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
40
極限定理

lim g ( x ) 均存在
定理1-1: 假設 lim f ( x ) 與 x
a
xa
常數的極限為該常數：對任意常數 c， lim c  c 。
x a
函數 h(x) = x 在 a 點的極限為 a，即 lim x  a 。
x a
和的極限為極限的和： lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
差的極限為極限的差： lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
積的極限為極限的積： lim [ f ( x ) g ( x )]  lim f ( x)  lim g ( x )
x a
x a
f ( x)
x a g ( x )
商的極限為極限的商： lim
x a
 lim f ( x ) lim g ( x ) , lim g ( x )  0
x a
x a
x a
n
n
乘冪的極限為極限的乘冪： lim [ f ( x )]  [ lim f ( x )]
x a
根的極限為極限的根： lim
x a
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
n
x a
f ( x )  n lim f ( x )
x a
41
求極限

利用定理求極限
2
求下列各極限： (1) lim ( x  2) (2) lim (4 x  x ) (3) lim [2 x( x  4)]
x  1
x 3
x 5
2
x 4 x
( 4) lim

x 3
(5) lim ( 2 x  5)3 (6) lim
x 3
x  4
5
x 2  16
定理1-1不適用的例子
設 f(x) = x  4， g ( x ) 
1
，則
x 4
f(x)g(x) = 1，故得
lim [ f ( x ) g ( x )]  lim 1  1，但 lim g ( x ) 是不存在的，換句話
x 4
x 4
說，即
x 4
lim [ f ( x ) g ( x )]  lim f ( x )  lim g ( x )
x 4
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
x 4
x 4
42
求極限

直接代入求極限
求下列各極限：
(1) lim (4 x 3  6 x 2  2 x  15) (2) lim
x 3

x 0
3
x
x 1
(3) lim (5  x )
x 4
化簡後再直接代入求極限
設 f ( x ) 
1
，a
x2
f ( x) f (a )
x a


f ( x) f
x 3
9 x 2
9 x 2 ( x  3)
f ( x )  f ( 3)
x 3
x 3
 lim
f ( x) f (a )
。
x

a
x a
1  1
( 3)
x 2 32
= 3，求 lim
 lim ( 
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
x 3


x 3
 ( x  3)( x  3)
( x  3)
9x2
9 x ( x  3)
2
)
3 3
9( 3) 2

( x  3)
9x2
6  2
  81
27
43
左極限、右極限

定義1-6: 當 x 從 a 的左邊(即 x < a )愈來愈靠近(但不等於) a
時，若函數值 f(x) 也跟著愈來愈靠近 L，我們就說：當 x 趨
近 a 時，f(x) 的左極限為 L (簡稱 f(x) 在點 a 的左極限為 L)。
以符號
lim f ( x )  L
x a 
表示之。(left-hand limit)

定義1-7: 當 x 從 a 的右邊(即 x > a )愈來愈靠近(但不等於) a
時，若函數值 f(x) 也跟著愈來愈靠近 L，我們就說：當 x 趨
近 a 時，f(x) 的右極限為 L (簡稱 f(x) 在點 a 的右極限為 L)。
以符號
lim f ( x )  L
x a 
表示之。(right-hand limit)
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
44
求單側極限

求下列各單側極限:
(1) lim (3x 2  2) ( 2) lim
x 3


x 2

x  2 (3) lim [ x ] (4) lim [ x ]
x 1
x 1
根據下圖，求下列各單側極限:
(1) lim f ( x )
x 0 
( 2) lim f ( x )
x 2 
(3) lim
x  2

f ( x)
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
45
求分段定義函數的單側極限
 x2
當x  0
 設 f ( x)  
，求 lim  f ( x ) 與 lim  f ( x ) 。
x 0
x 0
x  3 當 x  0
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
46
討論極限是否存在

當 f(x) 在點 a 的極限為 L 時，f(x) 在點 a 的左極限和右極限
必定都存在，且都等於 L。反之，若 f(x) 在點 a 的左極限和
右極限都存在且都等於 L 時， f(x) 在點 a 的極限也必定存在
且等於 L。我們以符號表示如下：
lim f ( x )  L  lim f ( x )  lim f ( x )  L
x a

x a 
x a 
討論當 x 趨近 0 時，
函數 |x| 的變化情形。
x
第一章 函數與極限 1-4 函數的極限
47
連續函數

連續函數(continuous function)是我們最常見到的函數。事實上
，很多自然界的現象都可以利用連續函數來描述。例如，運動
中的物體，必定會經過運動路線上的每一點。

我們說某一現象是「連續」時，意思是說該現象在進行過程中，
不會發生中斷的情形。在數學上，連續的意思與此很類似。

所謂函數 f(x) 在點 x = c 連續 (f(x) is continuous at x = c)，乃是指
f 的圖形在通過點 (c, f(c)) 時，沒有發生斷裂的情形。

要瞭解 f 的圖形在點 (c, f(c)) 處是否發生斷裂，自然要探討「當
x 很接近 c 時， f(x) 是否很接近 f(c) 」。換句話說，要瞭解 f 在
點 c 是否連續，就要探討極限 lim f ( x ) 是否等於 f(c) 。
x c
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
48
連續函數

定義1-8: 若函數 f(x) 滿足下述三條件，則稱函數 f(x)
在點 x = c 連續(continuous at x = c)：
(1) f(c) 有定義。
(2) lim f ( x ) 存在。
x c
(3) lim f ( x)  f (c) 。
x c
若上述三條件中，有一個或一個以上不滿足時，則
稱 f(x) 在點 x = c 不連續(discontinuous at x = c)。
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
49
從圖形中求不連續點

下圖中的三個函數在點 c 均不連續，說明其理由。

解: (1) f(c) 沒有定義。
(2) lim f ( x ) 不存在 (因左極限和右極限不相等)。
x c
(3) 雖存在但不等於 f (c)，即 lim f ( x)  f (c) 。
x c
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
50
單側連續

如果函數 f(x) 在某區間(或定義域)內的每一點都連續
，我們說 f(x) 在該區間是連續的，或 f(x) 是(該區間
上的)一個連續函數。如果區間的端點也在定義域內
時，對於這種端點的連續性，我們只考慮單側連續
(one-sided continuity)。

以區間 [a, b] 為例說明如下：對端點 a，考慮在點 a
的右極限，若 lim  f ( x )  f (a )，則稱 f(x) 在點 x = a
x a
，右連續(continuous from the right at x = a)。同樣地
，若 lim  f ( x )  f (b) ，則稱 f(x) 在點 x = b, 左連續
x b
(continuous from the left at x = b )。
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
51
連續函數的範例

常數函數 f(x) = k 圖形為(水平的)直線，所以 f(x) = k
在區間(∞, ∞) 上為連續函數。

恆等函數(identity function)，f(x) = x 的圖形為一直線
，所以 f(x) = x 為連續函數。

因為 lim x  0 ，所以 f ( x )  x 在區間[0, ∞)上為連

x 0
續函數。
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
52
連續性定理

函數的連續性不會因為四則運算而有所改變，下面
的定理說明這種情形。

定理1-2:若函數 f(x) 與 g(x) 在點 c 都連續，則我們有
下列結果：
(1) f(x) + g(x) ， f(x)  g(x) 與 f(x)g(x) 在點 c 都連續。
(2) 若 g(x)≠0，則
(3)
n
f ( x)
g( x)
在點 c 連續。
f ( x) 在點 c 連續，其中 n 為大於 1 的正整數。若 n 為
偶數，則尚需假設 f(x)  0。
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
53
多項式函數與有理函數的連續性

定理1-3:
(1) 多項式函數在每一點都是連續的。也就是說，多項式函
數在區間(∞, ∞)上為連續函數。
(2)有理函數在分母不等於 0 的每一點都連續。

檢驗連續性:討論下列各函數是否連續。
 (1) f ( x )  2 x 3  3x 2  x  6

合成函數的連續性:
( 2) g ( x ) 
5
( x 1) 2
 g(x) = x3 + 1 與 h(x) = x2 + 4 都是(∞, ∞)上的連續函數。很
明顯的，其合成函數 (g。h)(x) = (x2 +4)3 +1 與 (h。g)(x) =
(x3 +1)2 +4 也都是(∞, ∞)上的連續函數。
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
54
檢驗連續性

討論下述函數在點 x = 2 是否連續。
 x 2  3 x 10 當 x  2
f ( x)   x 2
當x  2
0

高斯函數的連續性:討論高斯函數 y = [x] 在各個點的
連續性。
第一章 函數與極限 1-5 連續函數
55
在無窮大處的極限

有些時候我們要考慮當 |x| 無止境地增加(也就是說
，當 |x| 變得很大時)，函數 f(x) 的變化情形。此種情
形的極限，稱之為在無窮大處的極限 (limit at
infinity)，分別以
lim f ( x )
與
x 
lim f ( x )
x 
表示之。符號 x →∞，讀作「當 x 趨近無窮大時」
。同樣，x →∞讀作「當 x 趨近負無窮大時」。
第一章 函數與極限 1-6 在無窮大處的極限
56
在無窮大處的極限

考慮函數 f ( x )  1x，從下表可以看出當 x 變得愈大時
，愈接近 0。

上述的情形，我們就說當 x 趨近無窮大時， 1x 的極
限為 0，寫成 lim 1x  0。當然， 1x 的值永遠不會等於 0
x 
。極限僅在描述當 x 無止境地增加時， 1x 的狀況。
也就是說，它所描述的是當 x 趨近無窮大時， 1x 的
趨勢是朝向 0。
第一章 函數與極限 1-6 在無窮大處的極限
57
在無窮大處的極限定理

定理1-4: 設 t 為一正有理數。若 x t 有定義，則
lim ct  0, lim ct  0
x  x

x  x
其中 c 為一常數。
求在無窮大處的極限
求下列各極限。
1
13
x  x
(1) lim
402
5
x  x
(2) lim
 26
32
x  x
(3) lim
求有理函數的極限
3
x
lim 3  22 x  6
x   7 x  4 x 8 x 19
第一章 函數與極限 1-6 在無窮大處的極限
58
漸近線

極限所描述的是當 x 趨近無窮
大時，函數值 1x 是趨近於 0 的
。從右圖可以看出當 x 趨近無
窮大時，其函數圖形是非常的
趨近直線 y = 0。這種情形，我
們說 x 軸是函數 f ( x )  1x 圖形的
漸近線 (asymptote)。

定義1-9:若 lim f ( x )  L 或 lim f ( x )  L，則我們
x 
x  
說直線 y = L 為 y = f(x) 函數圖形的水平漸近線。
第一章 函數與極限 1-6 在無窮大處的極限
59
求水平漸近線

求下列各函數圖形的水平漸近線。
2
4
x

3
x
(1) f ( x)  5x 6 (2) f ( x)  83 x 9
4 x 3

解: (1)因
所以， y 
(2)因
4 x 3
x  5 x 6
lim
4
5
 45
為函數圖形的水平漸近線。
2
x
lim 83 x  9
x  4 x  3
0
所以，y = 0 為函數圖形的水平漸近線。
第一章 函數與極限 1-6 在無窮大處的極限
60
無窮極限

lim f ( x )。當 x 趨近 a ,時，函數值 f(x) 可能會無止境地
考慮 x
a
lim f ( x ) 是不
增加(也就是說，變成無窮大)。這種情形極限 x
a
存在。但因函數值是無止境地增加，所以將這種情形寫成
lim f ( x )  
x a

若函數 f(x) 在 x 趨近於 a 時 f(x) 變成負無窮大，寫成 lim f ( x)  
x a
。
第一章 函數與極限 1-7 無窮極限
61
無窮極限

下圖表示當 x 從 a 的單側趨近 a 時，函數值無止境的情形。

綜上所述，我們有如下類型的極限，稱之為無窮極限。
lim f ( x )  
x a
lim f ( x )  
x a
第一章 函數與極限 1-7 無窮極限
lim f ( x )  
x a

x a

lim f ( x )  
lim f ( x )  
x a 
lim f ( x )  
x a 
62
無窮極限定理

定理1-5: (1)若 n 為正整數且為偶數，則
1
n
x a ( x  a )
lim

(2)若 n 為正整數且為奇數，則
1
n
x a  ( x  a )
lim

  且 lim
1
n
x a  ( x  a )

由定理求無窮極限: 求下列各極限。
3
2
x 1 ( x 1)
(1) lim
(2) lim
第一章 函數與極限 1-7 無窮極限
x 2 
1
x 2
4
 ( x  2)3
x 2
(3) lim
63
垂直漸近線

由圖形求無窮極限:
由函數 f ( x ) 
1
3
x 2  ( x  2 )
lim
1
( x  2)3
  , lim
的圖形，得
1
3
x 2  ( x  2 )
 
我們發現當現當 x 從( 2 的)右側趨近
2 時，函數值是趨近無窮大的，而
且其圖形是愈來愈逼近直線 x = 2。

定義1-10:如果 lim  f ( x )   (或-∞)，或 lim  f ( x )  
x a
x a
(或-∞)，那麼我們說直線 x = a 是函數 f(x) 圖形的
垂直漸近線。
第一章 函數與極限 1-7 無窮極限
64
有理函數的垂直漸近線

垂直漸近線是很容易求得的。因為垂直漸近線只有
在分母表示式是 0 的地方才有可能發生。換句話說
，欲求垂直漸近線，首先求出使得分母為 0 的 x 值
，再檢查其極限是否為無窮大或負無窮大。

定理1-6: 設 f ( x )  QP(( xx)) ，其中 P 和 Q 是多項式函數。
若 Q(a) = 0 且 P(a) ≠ 0，則直線 x = a 是函數 f 圖形
的垂直漸近線。
第一章 函數與極限 1-7 無窮極限
65
求漸近線


求函數 f ( x ) 
x 2 4 x
x 2 4 x 3
解:因 lim f ( x ) 
x 
x 2 4 x
x 2 4 x 3
圖形的漸近線。
1
所以 y = 1 為其圖形的水平漸近
線。又
x ( x  4)
f ( x )  ( x 3)( x 1)
所以由定理1-6，得 x = 1 與 x =
3皆為其圖形的兩條垂直漸近線
。
第一章 函數與極限 1-7 無窮極限
66
有理函數在無窮大處的極限性質

定理1-7: 設 f ( x )  QP(( xx)) ，其中 P 和 Q 是多項式函數
。若 P(x) 的次數大於 Q(x) 的次數，則
P( x )
lim Q ( x )
x 
 或
P( x )
lim Q ( x )
x 
 
3
4
x
lim 2  5
x   x 1

求極限:

根據定理 1-6 和定理 1-7，我們得知多項式函數的圖
形既沒有水平漸近線，也沒有垂直漸近線。
第一章 函數與極限 1-7 無窮極限
第 一 章 結 束
67