Transcript wyklad4-Oddzialywania.ppt

Oddziaływania
 Zachowanie liczby leptonowej i barionowej
 Diagramy Feynmana
Elementy kwantowej elektrodynamiki (QED)
 Teoria Yukawy
Zasięg oddziaływań i propagator bozonowy
 Równanie Diraca
Antycząstki; momenty mgt. fermionów; sukces QED
 Elementy oddziaływań słabych
Teoria Fermiego
 Elementy oddziaływań silnych
Rezonanse; czasy zycia
D. Kiełczewska, wykład4
Zachowanie liczb leptonowych
Np:
         
Liczba leptonowa taonowa: +1
Liczba leptonowa mionowa: 0
0
+1
0
-1
+1
0
   e   e   
Liczba leptonowa taonowa:
-1
Liczba leptonowa elektronowa: 0
W oddziaływaniach
zachowane są:
0
-1
Le  L  L  0 oraz L  0
gdzie L  Le + L  L
0
+1
-1
0
W-
e
e







Z obserwacji oscylacji neutrin wiemy teraz, że neutrina mogą zmieniać
zapach na skutek mieszania (ale nie w oddziaływaniach), ale dotąd nie
stwierdzono, żeby L  0 ?
D. Kiełczewska, wykład4
W+
Zachowanie liczby barionowej
Dlaczego nie
rozpada się?
Obserwacje: proton jest stabilny!

0 ??
p  e 
Czas życia protonu: t > b ×8 ´ 1033 years
Dlatego w Modelu Standardowym:
Liczba barionowa B:
prawo zachowania: B=0
kwarki
+1/3
gdzie b to „stosunek
rozgałęzień” dla danego
kanału rozpadu
(procent rozpadów do
tego kanału)
antykwarki
-1/3
A co z rozpadem neutronu? n ® p + e- + n
e
D. Kiełczewska, wykład4
Mn > Mp
proton jest
najlżejszym
barionem
Oddziaływania
Oddziaływanie
zachodzi gdy następuje
a) wymiana energii i pędu między cząstkami
b) kreacja lub anihilacja cząstek
Cząstka rzeczywista:
Swobodna, stabilna cząstka o masie M, tzn całkowitej energii w jej
układzie spoczynkowym: E*=M,
po transformacji Lorentza do innego układu inercjalnego ma energię:
E 2  p2  M 2
Cząstka wirtualna
W krótkim czasie znajduje się pod wpływem jakichś oddziaływań.
Wg zasady Heisenberga jej energia nie jest ściśle określona:
Et  / 2
E 2  p2  M 2
D. Kiełczewska, wykład4
Oddziaływania
elektromagnetyczne
Oddziaływania elektromagnetyczne:
między cząstkami naładowanymi elektrycznie
(lub posiadającymi strukturę)
za pośrednictwem kwantów γ.
Np:
 

e e  

D. Kiełczewska, wykład4
  
0
Diagramy Feynmana

Podstawowy element:
wierzchołek


e-
ee-
emisja fotonu e
-

e+
e-
absorpcja fotonu
Energia NIE moze
być zachowana w
procesach A-->A+B!
e
+
emisja fotonu przez
pozytron
Reguły:
e-

e-
+
e
konwersja fotonu
• w pojedynczym wierzchołku nie jest zachowana energia
czas
(co najmniej jedna z cząstek musi być wirtualna)
• zachowany jest pęd, mom. pędu i dyskretne liczby kwantowe)
D. Kiełczewska,
wykład4
• antyfermiony
poruszające
się do przodu w czasie
mają strzałki do tyłu
Diagramy Feynmana
e
+
e
Każdy wierzchołek wnosi „e” do
amplitudy prawd. oddziaływania,
czyli przekrój czynny dla 2 wierzch.:
  amplituda
+
e+

e
e
-
tzw. rozpraszanie Bhabha
e-
2
albo
eanihilacja par
Reguły:
• linie wewnętrzne (łączące wierzch.) reprezentują cząstki


wirtualne
• linie zewnętrzne reprezentują cząstki rzeczywiste (mierzalne)
i dla nich oczywiście obowiązuje zachowanie energii i pędu
czas
e 
2
e+

-
2
D. Kiełczewska, wykład4
2
e2
4 0 c

1
137
Diagramy Feynmana

ee
e

-

Ze
jądro
Ze
jądro
Rozpraszanie elektronu na jądrze (bremsstrahlung)
- promieniowanie hamowania.
Elektron łączący wierzchołki jest wirtualny.
e2
4 0 c

1
137
Por. długość
radiacyjną
z wykładu 3:
X0
1
Z (Z  1)
Ze oznacza źródło fotonów i dorzuca stałą sprzężenia: Ze do diagramu.
D. Kiełczewska, wykład4
2
albo
Z 2 3
-
e-
 Ze 
3
Diagramy Feynmana

e
e+

-
e
e-
-
Z
e-
Z
Promieniowanie
hamowania
Konwersja gammy
Na wykładzie 3 był bliski związek między długością radiacyjną
oraz średnią drogą gammy na konwersję: 

9
X0
7
D. Kiełczewska, wykład4
X0
Diagramy wiodącego i wyższych rzędów
Diagramy wiodące mają najmniejszą możliwą liczbę wierzchołków
Kazdy dodatkowy wierzchołek zmniejsza
D. Kiełczewska,
wykład4
przekrój
czynny
o czynnik  = 1/137
Zasięg oddziaływania
X
A
W układzie spocz. cząstki A
M A, 0
(początkowej):
(
Energia niezachowana o:
Czyli dla każdego p:
) ( E p) ( E
A,
 MX
ale z zasady nieoznaczoności: t » DE albo R » M
M  0  R  
-p
E  E X  E A  M A  2 p
E  M X
Np. dla oddz. elmgt:
X,
)
A
gdy p
MX
gdy p  0
R -zasięg propagacji X
lub zasięg oddział.
X
Oddz. słabe:
MW  80GeV  R  2 103fm
a promień protonu: 1.2 fm
D. Kiełczewska, wykład4
niekoniecznie
Teoria Yukawy
W 1935 Yukawa postulował wyjaśnienie rozpraszania proton-neutron
poprzez wymianę masywnych kwantów pola.
Wyobraźmy sobie nukleon jako źródło wirtualnych masywnych bozonów.
Równanie Kleina-Gordona dla masywnych bozonów (o masie m):

m
2





2
2
t
2
2
- Dostaje się z:
E 2  p 2  m2
oraz zastępując: E  i

t
p  i 
gdzie  (r , t ) opisuje albo amplitudę fali
skojarzoną z kwantami swobodnych bozonów
albo potencjał w odległości r od źródła
Dla potencjału statycznego oraz sferycznego dostaje się r-nie:
1   2   m2
  (r )  2  r
  2  (r )

r

r
r


2
D. Kiełczewska, wykład4
widać, że dla m=0 (fotony)
dostajemy r-nie Laplace’a
Teoria Yukawy c.d.
1   2   m2
Można sprawdzić, że rozwiązaniem tego równania: 2  r
  2  (r )
r r  r 
g0  r / R
gdzie R=
jest:  (r )  4 r e
m
Potencjał Yukawy
z dowolną stałą g 0
Dla fotonów m=0 dostajemy:
 (r ) 
g0
4 r
czyli stała g 0 ma sens ładunku e dla pola kulomb.
Przyjmujemy, że dla dla masowych bozonów
g 0 opisuje siłę punktowego źródła
D. Kiełczewska, wykład4
dla R  2 fm
m
R
 100 MeV  m
Teoria Yukawy c.d.
n
n
0
p
p
p
p
0
p
n
p

p
p
n
Wymiana pionów dobrze opisuje oddziaływania nukleonów
przy odległościach >1.5 fm, ale nie sprawdza się przy mniejszych
odległościach (tzn. większych przekazach pędów).
Ponadto ani nukleony ani piony nie są fundamentalnymi, punktowymi
cząstkami. Yukawa wprowadził koncepcję oddziaływań przez wymianę
bozonów, ale w Modelu Standardowym oddz. silne zachodzą przez
wymianę gluonów między kwarkami (QCD – kwantowa chromodynamika).
D. Kiełczewska, wykład4
Propagator bozonowy
Rozpraszanie w potencjale Yukawy
 (r ) 
g0  r / R
e
4 r
gdzie R=
m
Chcemy opisać jako przekaz czteropędu q przenoszony przez
pośredniczący bozon do rozpraszanej cząstki. Przechodzimy z
przestrzeni położeniowej do przestrzeni pędów za pomocą
transformaty Fouriera potencjału Yukawy:
ò
f (q) = y (r)e r dr =
iqr 2
g0
Propagator bozonu o masie m.
q 2 + m2 W diagramach Feynmana przypisujemy
go odpowiednim liniom bozonowym
Jeśli diag Feynmana opisuje oddz między cząstkami punktowymi:
x
g1
x
f (q)
to przekrój czynny:
g2
g1 i g2 – 2 stałe sprzężenia
D. Kiełczewska, wykład4
d
2
dq
g1 f (q) g 2
2
Diagramy Feynmana a przekroje czynne
e-
Czterowektor przekazu pędu:
e-
p1
q   , q 
p2
gdzie  =E1  E2
q  p1  p2
Ze
Rozpraszanie elektronu
na jądrze
(
Propagator fotonu: f (q) 
Czyli przekrój czynny wynosi
d Z 2 2

dorzucamy żeby zgadzały się miana): dq 2
q4
A dokładniej – tzw. wzór Motta:
d 4 Z 2 2

2
dq
q4
D. Kiełczewska, wykład4
2
cos
2

2
1
q2
2
gdzie:

 p1 , p2 
Diagramy Feynmana a przekroje czynne
Jeśli energia w środku masy:
e  e      
e+


e
s»
Podobnie: rozpraszanie Comptona:
  e    e


e
e-
e
a2
2
s
2
4
p
a
a dokładnie: s =
3 s
Z analizy wymiarowej znów mamy: s » a
Dla bardzo małych energii: E

-
2mm
Zgadujemy całkowity przekrój czynny
(„analiza wymiarowa”):

-
s
dostajemy:
8p a 2 2
s»
3 me2
D. Kiełczewska, wykład4
me
2
2 2
s
W  me
Analiza wymiarowa
Jednostka:
1 barn  1 b = 10-28 m2
 100fm2
Przykład analizy wymiarowej:
 (e  e       )   2  f ( s, me , m )
  2  f ( s)
1 nb = 10-9 b
1 pb = 10-12 b
1
1 fm =
200 MeV
me , m
gdzie  to stała bezwymiarowa
1 mb = 10-3 b
1 m b = 10-6 b
dla s
    L2 
 s    L2 

2
s
Dokładnie:
4  2
22 nb
 (e e    ) 

3 s s GeV 2
 


D. Kiełczewska, wykład 1


1

137
18
niekoniecznie
Równanie Diraca
Mieliśmy:
• r-nie Schrodingera dla cząstek nierelat
• r-nie Kleina-Gordona dla cząstek relat. ale bezspinowych.
Dirac szukał r-nia dla fermionów, które byłoby zgodne z r-niem: E 2  p 2  m2
oraz ze szczeg. teorią względności.
Okazało się, że aby ten warunek spełnić funkcja falowa musi być spinorem
(co najmniej 2 skladowe dla 2 rzutów spinu).
Równanie Diraca dla cząstek o spinie 1/2 :

    pˆ   m 
t
    
pˆ  
,
,


x

x

x
2
3 
 1
i
gdzie  i 1,3 , 
to macierze 4  4
ma 2 rozwiązania:
  x , t   u  p  exp i  p  x  Et  / 
  x , t   u  p  exp i   p  x  Et  / 
u ( p)
D. Kiełczewska, wykład4
jest 4 składnikowym
spinorem
Antycząstki wg. Diraca
2 rozwiązania:
E
  x , t   u  p  exp i  p  x  Et  / 
  x , t   u  p  exp i   p  x  Et  / 
Obraz próżni
wg. Diraca m
odpowiadają 2 wartościom
własnym energii: E i -E
Każdemu stanowi
-m
zapełnione
E, p, s, -e
odpowiada zapełniony
stan elektronu:
-E, -p, -s, -e
Jeśli usuniemy 1 elektron z morza to tak jakbyśmy zostawiali dziurę:
nierozróżnialną z pozytronem (wkrótce odkrytym)
E, p, s, +e
Każda cząstka o spinie 1/2 musi mieć antycząstkę
o przeciwnym ładunku i tej samej masie
D. Kiełczewska, wykład4
Jeszcze o teorii Diraca...
E
g
m
-m
m
produkcja
i anihilacja
par e  e 
-m
Moment magnetyczny Diraca
punktowej cząstki o spinie ½,
masie m i ładunku elektrycznym q:
D 
qS
m
Natomiast dla protonu i neutronu
zmierzono
eS
eS
(już w 1933):  p  2.79 D. Kiełczewska,
n  1.91
wykład4
mp
mp
gdzie S to wektor spinu
co oznacza, że nie są to
cząstki punktowe.
Moment magnetyczny elektronu
B 
Wg teorii Diraca moment mgt elektronu:
e
2m
Jednak poprawki radiacyjne powodują drobną zmianę:
B
B
e
-
B
e
-
e-
e
-
e
-
e-
Moment mgt wyraża się
11
przez czynnik g:
m = g m B s gdzie s=1/2 g  2  (115965230  10) 10
11
2
(115965219

1)

10
g=2,0023......
D. Kiełczewska, wykład4
B
wirtualna para e+e(polaryzacja próżni)
teoria
eksper
sukces
QED !
(Quantum
ElectroDynamics)
Oddziaływania słabe
(z wykładu 1)
 23
 13
W-
u
d
c
s
t
b
W+
zapach (np. dziwność) nie jest zachowany!
0 W
1
D. Kiełczewska, wykład4
e


e
  
W+
Oddziaływania słabe
f1
f
f
f2
Z0
W
e
Np:




W
e
-
e
e


W

e
     e    e
   e      e
D. Kiełczewska, wykład4
d
u
d
e
W
u
d
u
n  p  e   e
Generacje leptonów
zachowane.
Teoria Fermiego


Propagator bozonu
pośredniczącego:
Dla małych
przekazów pędu q:
W
f (q) 
f (q ) 
M W  80 GeV
1
q 2  MW
2
1
MW
2
e
e

Stała sprzężenia Fermiego z pomiarów:
e-
e
oddziaływanie
kontaktowe
1
GF  1.166 10
GeV 2
5
D. Kiełczewska, wykład4
c  1
Trochę
o
oddziaływaniach silnych
D. Kiełczewska, wykład4
Diagramy Feynmana dla
oddziaływań silnych
W przypadku oddziaływań silnych (i elektromagnetycznych) zapachy
kwarków są zachowane.
Np. podstawowy graf QCD (Quantum ChromoDynamics - teoria oddz.silnych):
u
u
gluon
d


u
dd
n
u
d
Gluon zmienia tylko kolor (a nie zapach) kwarków
- o tym na następnych wykładach.
Dla uproszczenia możemy rysować
„przepływy” kwarków np:
d
u
u
u

d
d


pośredni stan rezonansowy
s

d
u n
d
D. Kiełczewska, wykład4
u
albo
s
u
d
K
0
zachowanie dziwności S
w oddz. silnych
Rezonanse w oddziaływaniach
p
W doświadcz. stwierdzono, że
2 zderzające się cząstki
szczególnie „lubią” ze sobą
oddziaływać w stanach o pewnych
określonych energiach w układzie
cms – rezonują ze sobą. Stany te
nazwano rezonansami albo
cząstkami rezonansowymi o
bardzo krótkich czasach życia.
T (GeV)
Energia kinetyczna π wyznacza
masę niezmienniczą układu (πp):
s=
( Ep + M )2 - pp2 =
M – masa protonu
Np. rezonans:
D
mp2 + 2M (Tp + mp ) + M 2
p + p ® D+ + ® p + p
p + n ® D+ ® p 0 p
0
p - p ® D 0 ®D.pKiełczewska,
n
wykład4
p - n ® D- ® p - n
T (GeV)
Rezonanse mezonowe
Rozkłady
masy
niezmienniczej
0
0
  ,  0 ,    I=1
  
M   771 MeV
   149 MeV
0
 0  I  0
0         0
M   782 MeV
  8 MeV
D. Kiełczewska, wykład4
0
Krzywa rezonansowa
Breita-Wignera
1
Szerokość rezonansu

o czasie życia

:
czyli Γ jest miarą prawd
rozpadu (w jakikolwiek kanał)
 c 1
Funkcja falowa nietrwałego stanu o energii Wr w układzie cms:
 (t )   (0) e
 iWr t
e
t
2

 t ( iWr   )
2
(0) e
wtedy:
I (t )   (t ) (t )  I (0) e
*
t
Amplitudę w funkcji energii dostajemy z transformaty Fouriera:


 (W )   (t ) e dt   e
iWt
0
 t i (Wr W )   
2

dt 
const
(W-Wr ) 
0
i
2
Przekrój czynny na utworzenie stanu o energii W:
 (W )  (W )  (W )
*
D. Kiełczewska, wykład4
 (W )   max
2
4
(W  Wr )2  
2
4

Krzywa rezonansowa
Breita-Wignera
 (W )
 (W )   max
 max
2
(W  Wr )2  
1
2
 (Wr  )   max
2
4
 - szerokość połówkowa
 max
2

2
4
Wr - masa rezonansu

Jeśli rezonans rozpada się do kilku
kanałów:
+
+
  i
D
®
p
n
Np:

i
Wr
masa niezmiennicza
W
D+ ® p 0 p
Stosunki rozgałęzień albo prawdop.
rozpadu w dany kanał:
D. Kiełczewska, wykład4
i
Bi 

Rezonanse: produkcja i rozpady
Przekrój czynny na formację rezonansu R w
w zderzeniu dowolnych 2 cząstek i dowolny
rozpad (wysumowane po możliwych stanach
początkowych i oraz końcowych f) :
Przekrój czynny na formację
a+b  R  c+d
w zderzeniu dowolnych 2 cząstek a,b i
konkretny rozpad f (mnożymy przez Γf/Γ):
Z niezmienniczości czasu:
 (W )   max
2
4
(W  Wr )2  
s (å i ® R ® f ) = s max
2
4
GfG
4
(W - Wr )2 + G
 ( R  f )   ( f  R)
 f i
4
Przekrój czynny na formację R w
 (i  R  f )   max
2
(W  Wr )2  
zderzeniu cząstek i (mnożymy przez
4
Γi/Γ) oraz rozpad f:
D. Kiełczewska, wykład4
2
4
Czasy życia hadronów



 n    n
Przykład formacji
i rozpadu rezonansu:
0 p
D® N +p
(D ,D ,D ,D )
-
0
+
++
M D = 1232 MeV
G D = 120 MeV
Z pomiarów szerokości rezonansów stwierdzono, że hadrony, które
mogą rozpaść się przez oddz. silne do innego stanu hadronowego, żyją
tylko ok
6,6  1022 MeV  s


1023 s
100 MeV
100 MeV
Hadrony, które ze względów energetycznych nie mogą rozpaść się
przez oddz. silne (zachowując liczby zapachowe np. dziwność)
rozpadają się
• albo elektromagnetycznie z czasami życia ok. 10 16 -10 21 s
7
13
• albo słabo z czasami życia ok.
10 -10
Np:
s
u
K      

W

s
kaony sa najlżejszymi
dziwnymi mezonami
D. Kiełczewska, wykład4
Jądra oraz neutron
mają dużo dłuższe
czasy życia.