Kapittel 15

download report

Transcript Kapittel 15

Kapittel 15 Markovanalyse

© 2008 Prentice-Hall, Inc.

Introduksjon

   

Markov analyse

kjent i dag. er en teknikk som lar oss analysere sannsynligheter for fremtidige tilstander på basis av sannsynligheter som er Mange anvendelser i praksis Markov analyse forutsetter at et system befinner seg i en gitt tilstand, og sannsynligheten for at systemet befinner seg i en annen tilstand senere kalles overgangs sannsynligheter Det kreves enkelte kunnskaper i matrise algebra for å behandle dette grundig, men vi skal bare behandle dette nivå.

på et innledende © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 2

Eksempel finans - kredittrisiko

Overgangssansynligheter for kredittklasser

Initial rating Rating after 1 year AAA AA

AAA 90.81 8.33

AA A BBB BB B 0.70 90.65 7.79

0.09

0.02

0.03 0.14

0.00

CCC 0.22

0.33

A

0.68

2.27 91.05 5.52

5.95 86.93 5.30

0.67

0.11 0.24

0.00

0.22

BBB

0.06

0.64

BB

0.12

0.06

0.74

B

0.00

0.14

0.26

1.17

CCC

0.00

0.02

0.01

0.12

D

0.00

0.00

0.06

0.18

7.73 80.53 8.84

0.43

1.00

6.48 83.46 4.07

1.30

1.06

5.20

2.38 11.24 64.86 19.79

© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 3

Overgangssansynligheter BBB

© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 4

Tilstander og sannsynligheter

  

Vi sier at ethvert system på et bestemt tidspunkt befinner seg i en gitt tilstand.

Vi må forutsette at tilstandene er uttømmende og kollektivt gjensidig utelukkende Etter at en tilstand er definert, må vi finne sannsynligheten for at systemet er befinner seg i denne tilstanden © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 5

Tilstander og sannsynligheter

Vektor for tilstandssannsynligheter

(

i

) = vektor for tilstandssannsynlig heter i periode

i

= (

1 ,

2 ,

3 , … ,

n

) hvor

n

1 ,

2 , … ,

n

= antall tilstander = sannsynlighet for tilstand 1, 2, …, tilstand

n

© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 6

Tilstander og sannsynligheter

 

Av og til kan vi med sikkerhet si hvilken tilstand et system befinner seg i Vektoren kan da presenteres som

(1) = (1, 0) hvor

(1) = vektor med tilstanden for maskin i periode 1

1

2 = 1 = Sannsynlighet for tilstand 1 = 0 = Sannsynlighet for tilstand 2 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 7

Eksempel: 3 dagligvareforretninger

    

Tilstander for personer i en by med 3 forretninger 100 000 mennesker gjør sine innkjøp i forretningene i løpet av en måned 40 000 handler hos American Food Store – tilstand 1 30 000 handler hos Food Mart – tilstand 2 30 000 handler hos Atlas Foods – tilstand 3 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 8

Vektor med tilstandssannsynligheter

Sannsynlighetene er slik Tilst. 1 – American Food Store: Tilst. 2 – Food Mart: Tilst. 3 – Atlas Foods: 40,000/100,000 = 0.40 = 40% 30,000/100,000 = 0.30 = 30% 30,000/100,000 = 0.30 = 30%

Oppsummeres i en vektor where

(1) = (0.4, 0.3, 0.3)

(1) = vektor med tilstandssannsynligheter periode 1

1

2

3 = 0.4 = sannsynlighet for at en person handler hos American Food, tilstand 1 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler hos Food Mart, tilstand 2 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler hos Atlas Foods, tilstand 3 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 9

Vektor med tilstandssannsynligheter

Trediagram med overgangssannsynligheter American Food #1 0.4

Food Mart #2 0.3

Atlas Foods #3 0.3

0.8

0.1

0.1

0.1

0.7

0.2

0.2

0.2

0.6

#1 #2 #3 #1 #2 #3 #1 #2 #3 0.32 = 0.4(0.8) 0.04 = 0.4(0.1) 0.04 = 0.4(0.1) 0.03

0.21

0.06

0.06

0.06

0.18

© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 10

Matrise med overgangssannsynligheter

Matrisen med overgangssannsynligheter lar oss komme fra en tilstand til en annen

Vi lar

P ij

= betinget sannsynlighet for å befinne seg i tilstand

j

i fremtiden gitt at nåværende tilstand er

i

For eksempel,

P

12 er sannsynligheten for å være i tilstand 2 i fremtiden gitt at man var i tilstand 1 i den foregående perioden © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 11

Matrise med overgangssannsynligheter

P

= matrisen med overgangssannsynligheter

P

=

P

11

P

21

P

12

P

22

P

13

P

23

P m

1 … … …

P

1

n P

2

n P mn

 

P ij

verdier bestemmes empirisk Sannsynlighetene i hver rad summerer seg til 1 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 12

Matrise med overgangssannsynligheter

Følgende er gitt utfra historiske data:

P

= 0.8

0.1

0.2

0.1

0.7

0.2

0.1

0.2

0.6

Rad 1

0.8 =

P

11 0.1 =

P

12 0.1 =

P

13 = sannsynlighet for å være i tilstand 1 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran = sannsynlighet for å være i tilstand 2 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran = sannsynlighet for å være i tilstand 3 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 13

Anslag på fremtidige markedsandeler

Hvis nåværende periode er 0, bestemmes tilstandssannsynlighetene for periode 1 slik:

(1) =

(0)

P

For enhver periode

n

kan vi beregne tilstandssannsynlighetene for periode

n

+ 1

(

n

+ 1) =

(

n

)

P

© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 14

Anslag på fremtidige markedsandeler

Beregningene for neste periodes markedsandeler

(1) =

(0)

P

= (0.4, 0.3, 0.3) 0.8

0.1

0.2

0.1

0.7

0.2

0.1

0.2

0.6

= [(0.4)(0.8) + (0.3)(0.1) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.7) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.2) + (0.3)(0.6)] = (0.41, 0.31, 0.28) © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 15

Anslag på fremtidige markedsandeler

Siden vi kjenner til at

(1) =

(0)

P

Har vi

(2) =

(1)

P

= [

(0)

P

]

P

=

(0)

PP

=

(0)

P

2

Generelt

(

n

) =

(0)

P n

Utviklingen i markedsandeler kan best illustreres ved å finne steady state eller likevekt i systemet © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 16

Markovanalyse av maskin

   

Eieren av Tolsky Works har ført statistikk over tilstanden til en gitt maskin over lang tid Hvis maskinen er i orden nå, er sannsynligheten 80% for at den vil være i orden også neste periode 90% av tiden en maskin ikke var i orden en periode var den heller ikke i orden perioden foran 10% av tiden vil en maskin være i orden en periode selv om den ikke var det perioden foran © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 17

Markovanalyse av maskin

Matrise med overgangssannsynligheter er

P

= 0.8

0.1

0.2

0.9

hvor

P

11 = 0.8 = sannsynligheten for at maskinen vil fungere at den fungerte

korrekt

sist måned

korrekt

gitt

P

12 = 0.2 = sannsynligheten for at maskinen gitt at den fungerte korrekt sist

ikke

måned vil fungere korrekt

P

21 = 0.1 = sannsynligheten for at maskinen vil fungere at den

ikke

fungerte korrekt sist måned

korrekt

gitt

P

22 = 0.9 = sannsynligheten for at maskinen at den

ikke

fungerte korrekt sist

ikke

måned vil fungere korrekt © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 18

Markovanalyse av maskin

Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:

(1) =

(0)

P

= (1, 0) 0.8

0.1

0.2

0.9

= [(1)(0.8) + (0)(0.1), (1)(0.2) + (0)(0.9)] = (0.8, 0.2) © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 19

Markovanalyse av maskin

Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:

(2) =

(1)

P

= (0.8, 0.2) 0.8

0.1

0.2

0.9

= [(0.8)(0.8) + (0.2)(0.1), (0.8)(0.2) + (0.2)(0.9)] = (0.66, 0.34) © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 20

Likevektsbetingelser

 

Før eller siden kan markedsandeler være 1 eller 0, men generelt vil det eksistere en

likevekt markedsandel

, hvis ikke tilstands sannsynlighetene fortsetter høyt antall perioder å endre seg etter et Ved likevekt er tilstandssannsynlighetene for neste perode de samme som for inneværende periode © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 21

Likevektsbetingelser

Vi har alltid at

(neste periode) =

(denne periode)

P

Eller

(

n

+ 1) =

(

n

)

P

Ved likevekt

(

n

+ 1) =

(

n

)

Slik at

(

n

+ 1) =

(

n

)

P

=

(

n

)

Eller

=

P

© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 22

Likevektsbetingelser

For Tolskys maskin

=

P

(

1 ,

2 ) = (

1 ,

2 ) 0.8

0.1

0.2

0.9

Matrisemultiplikasjon (

1 ,

2 ) = [(

1 )(0.8) + (

2 )(0.1), (

1 )(0.2) + (

2 )(0.9)] © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 23

Likevektsbetingelser

Vi har at

1

2 = 0.8

1 = 0.2

1 + 0.1

2 + 0.9

2

Tilstandssannsynlighetene summeres til 1

1 +

2 + … +

n = 1

For Tolskys maskin

1 +

2 = 1

1 = 0.33

2 = 0.67

© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 24