Transcript Kapittel 15
Kapittel 15 Markovanalyse
© 2008 Prentice-Hall, Inc.
Introduksjon
Markov analyse
kjent i dag. er en teknikk som lar oss analysere sannsynligheter for fremtidige tilstander på basis av sannsynligheter som er Mange anvendelser i praksis Markov analyse forutsetter at et system befinner seg i en gitt tilstand, og sannsynligheten for at systemet befinner seg i en annen tilstand senere kalles overgangs sannsynligheter Det kreves enkelte kunnskaper i matrise algebra for å behandle dette grundig, men vi skal bare behandle dette nivå.
på et innledende © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 2
Eksempel finans - kredittrisiko
Overgangssansynligheter for kredittklasser
Initial rating Rating after 1 year AAA AA
AAA 90.81 8.33
AA A BBB BB B 0.70 90.65 7.79
0.09
0.02
0.03 0.14
0.00
CCC 0.22
0.33
A
0.68
2.27 91.05 5.52
5.95 86.93 5.30
0.67
0.11 0.24
0.00
0.22
BBB
0.06
0.64
BB
0.12
0.06
0.74
B
0.00
0.14
0.26
1.17
CCC
0.00
0.02
0.01
0.12
D
0.00
0.00
0.06
0.18
7.73 80.53 8.84
0.43
1.00
6.48 83.46 4.07
1.30
1.06
5.20
2.38 11.24 64.86 19.79
© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 3
Overgangssansynligheter BBB
© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 4
Tilstander og sannsynligheter
Vi sier at ethvert system på et bestemt tidspunkt befinner seg i en gitt tilstand.
Vi må forutsette at tilstandene er uttømmende og kollektivt gjensidig utelukkende Etter at en tilstand er definert, må vi finne sannsynligheten for at systemet er befinner seg i denne tilstanden © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 5
Tilstander og sannsynligheter
Vektor for tilstandssannsynligheter
(
i
) = vektor for tilstandssannsynlig heter i periode
i
= (
1 ,
2 ,
3 , … ,
n
) hvor
n
1 ,
2 , … ,
n
= antall tilstander = sannsynlighet for tilstand 1, 2, …, tilstand
n
© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 6
Tilstander og sannsynligheter
Av og til kan vi med sikkerhet si hvilken tilstand et system befinner seg i Vektoren kan da presenteres som
(1) = (1, 0) hvor
(1) = vektor med tilstanden for maskin i periode 1
1
2 = 1 = Sannsynlighet for tilstand 1 = 0 = Sannsynlighet for tilstand 2 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 7
Eksempel: 3 dagligvareforretninger
Tilstander for personer i en by med 3 forretninger 100 000 mennesker gjør sine innkjøp i forretningene i løpet av en måned 40 000 handler hos American Food Store – tilstand 1 30 000 handler hos Food Mart – tilstand 2 30 000 handler hos Atlas Foods – tilstand 3 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 8
Vektor med tilstandssannsynligheter
Sannsynlighetene er slik Tilst. 1 – American Food Store: Tilst. 2 – Food Mart: Tilst. 3 – Atlas Foods: 40,000/100,000 = 0.40 = 40% 30,000/100,000 = 0.30 = 30% 30,000/100,000 = 0.30 = 30%
Oppsummeres i en vektor where
(1) = (0.4, 0.3, 0.3)
(1) = vektor med tilstandssannsynligheter periode 1
1
2
3 = 0.4 = sannsynlighet for at en person handler hos American Food, tilstand 1 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler hos Food Mart, tilstand 2 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler hos Atlas Foods, tilstand 3 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 9
Vektor med tilstandssannsynligheter
Trediagram med overgangssannsynligheter American Food #1 0.4
Food Mart #2 0.3
Atlas Foods #3 0.3
0.8
0.1
0.1
0.1
0.7
0.2
0.2
0.2
0.6
#1 #2 #3 #1 #2 #3 #1 #2 #3 0.32 = 0.4(0.8) 0.04 = 0.4(0.1) 0.04 = 0.4(0.1) 0.03
0.21
0.06
0.06
0.06
0.18
© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 10
Matrise med overgangssannsynligheter
Matrisen med overgangssannsynligheter lar oss komme fra en tilstand til en annen
Vi lar
P ij
= betinget sannsynlighet for å befinne seg i tilstand
j
i fremtiden gitt at nåværende tilstand er
i
For eksempel,
P
12 er sannsynligheten for å være i tilstand 2 i fremtiden gitt at man var i tilstand 1 i den foregående perioden © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 11
Matrise med overgangssannsynligheter
P
= matrisen med overgangssannsynligheter
P
=
P
11
P
21
P
12
P
22
P
13
P
23
P m
1 … … …
P
1
n P
2
n P mn
P ij
verdier bestemmes empirisk Sannsynlighetene i hver rad summerer seg til 1 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 12
Matrise med overgangssannsynligheter
Følgende er gitt utfra historiske data:
P
= 0.8
0.1
0.2
0.1
0.7
0.2
0.1
0.2
0.6
Rad 1
0.8 =
P
11 0.1 =
P
12 0.1 =
P
13 = sannsynlighet for å være i tilstand 1 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran = sannsynlighet for å være i tilstand 2 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran = sannsynlighet for å være i tilstand 3 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 13
Anslag på fremtidige markedsandeler
Hvis nåværende periode er 0, bestemmes tilstandssannsynlighetene for periode 1 slik:
(1) =
(0)
P
For enhver periode
n
kan vi beregne tilstandssannsynlighetene for periode
n
+ 1
(
n
+ 1) =
(
n
)
P
© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 14
Anslag på fremtidige markedsandeler
Beregningene for neste periodes markedsandeler
(1) =
(0)
P
= (0.4, 0.3, 0.3) 0.8
0.1
0.2
0.1
0.7
0.2
0.1
0.2
0.6
= [(0.4)(0.8) + (0.3)(0.1) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.7) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.2) + (0.3)(0.6)] = (0.41, 0.31, 0.28) © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 15
Anslag på fremtidige markedsandeler
Siden vi kjenner til at
(1) =
(0)
P
Har vi
(2) =
(1)
P
= [
(0)
P
]
P
=
(0)
PP
=
(0)
P
2
Generelt
(
n
) =
(0)
P n
Utviklingen i markedsandeler kan best illustreres ved å finne steady state eller likevekt i systemet © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 16
Markovanalyse av maskin
Eieren av Tolsky Works har ført statistikk over tilstanden til en gitt maskin over lang tid Hvis maskinen er i orden nå, er sannsynligheten 80% for at den vil være i orden også neste periode 90% av tiden en maskin ikke var i orden en periode var den heller ikke i orden perioden foran 10% av tiden vil en maskin være i orden en periode selv om den ikke var det perioden foran © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 17
Markovanalyse av maskin
Matrise med overgangssannsynligheter er
P
= 0.8
0.1
0.2
0.9
hvor
P
11 = 0.8 = sannsynligheten for at maskinen vil fungere at den fungerte
korrekt
sist måned
korrekt
gitt
P
12 = 0.2 = sannsynligheten for at maskinen gitt at den fungerte korrekt sist
ikke
måned vil fungere korrekt
P
21 = 0.1 = sannsynligheten for at maskinen vil fungere at den
ikke
fungerte korrekt sist måned
korrekt
gitt
P
22 = 0.9 = sannsynligheten for at maskinen at den
ikke
fungerte korrekt sist
ikke
måned vil fungere korrekt © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 18
Markovanalyse av maskin
Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:
(1) =
(0)
P
= (1, 0) 0.8
0.1
0.2
0.9
= [(1)(0.8) + (0)(0.1), (1)(0.2) + (0)(0.9)] = (0.8, 0.2) © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 19
Markovanalyse av maskin
Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:
(2) =
(1)
P
= (0.8, 0.2) 0.8
0.1
0.2
0.9
= [(0.8)(0.8) + (0.2)(0.1), (0.8)(0.2) + (0.2)(0.9)] = (0.66, 0.34) © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 20
Likevektsbetingelser
Før eller siden kan markedsandeler være 1 eller 0, men generelt vil det eksistere en
likevekt markedsandel
, hvis ikke tilstands sannsynlighetene fortsetter høyt antall perioder å endre seg etter et Ved likevekt er tilstandssannsynlighetene for neste perode de samme som for inneværende periode © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 21
Likevektsbetingelser
Vi har alltid at
(neste periode) =
(denne periode)
P
Eller
(
n
+ 1) =
(
n
)
P
Ved likevekt
(
n
+ 1) =
(
n
)
Slik at
(
n
+ 1) =
(
n
)
P
=
(
n
)
Eller
=
P
© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 22
Likevektsbetingelser
For Tolskys maskin
=
P
(
1 ,
2 ) = (
1 ,
2 ) 0.8
0.1
0.2
0.9
Matrisemultiplikasjon (
1 ,
2 ) = [(
1 )(0.8) + (
2 )(0.1), (
1 )(0.2) + (
2 )(0.9)] © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 23
Likevektsbetingelser
Vi har at
1
2 = 0.8
1 = 0.2
1 + 0.1
2 + 0.9
2
Tilstandssannsynlighetene summeres til 1
1 +
2 + … +
n = 1
For Tolskys maskin
1 +
2 = 1
1 = 0.33
2 = 0.67
© 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 24