Transcript chowov test stability
Stabilita ekonometrického modelu Testovanie normality
Dôležitým predpokladom, ktorému sme v predchádzajúcich prednáškach nevenovali pozornosť, aj keď sme automaticky predpokladali jeho dodržanie, je predpoklad stability modelu – ktorý sa prejavuje v nemennosti použitých (vypočítaných) parametrov modelu. Tento predpoklad je v aplikovanej praktickej ekonometrii neudržateľný, a je potrebné odlíšiť údajové segmenty vyžadujúce rozdielnu modelovanú štruktúru v čase. V takomto prípade dochádza k situácii, kedy sa vypočítané hodnoty parametrov v čase menia, čo sa prejavuje v kolísaní ich hodnôt, ako aj v kolísaní náhodných porúch odhadnutých pomocou rezíduí.
y
Xβ
u
Porušenie stability modelu sa prejaví relatívne veľkými a časovo korelovanými
e
• • Grafickými metódami resp. testami typu CUSUM (cumulative sums – kumulatívne súčty) Chowowe testy
CUSUM TESTY.
Predpokladajme lineárny klasický model
y
Xβ
u
CUSUM (cumulative sums) v jednotlivých časoch t s normálnym rozdelením:
CUSUM
t
t
i k
1
e s
i
N
0, t = k +1, ... , T kde s je odhad reziduálnej štandardnej odchýlky σ. Zodpovedajúci CUSUM - test potom ktorom prvý raz:
β
CUSUM
t
2
t
k
V softvérových riešeniach má najčastejšie CUSUM test grafickú podobu:
Presné rozdelenie CUSUM – štatistiky pri platnosti nulovej hypotézy o nemennosti parametrov je dané vzťahom:
t
k e t s t
1 kde
e
t
t
1
k
t
i k
1
e
i s t
2
t
1 1
t
i k
1
e i
e t
2
Príklad Uvažujme hypotetické údaje, na základe ktorých sme kvantifikovali lineárny ekonometrický model
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Y i
11,9 22,8 18,7 20,1 12,9 21,7 27,1 25,4 21,3 19,3 25,4 27,2 11,7 17,8 12,8 23,9 22,6 25,4 14,8 21,1
X i1
19,5 24,7 30,7 29,8 19,1 25,6 31,4 27,9 22,1 25,5 31,1 30,4 18,7 19,7 14,6 29,5 27,7 30,2 22,7 25,2
X i2
43,1 49,8 51,9 54,3 42,2 53,9 58,5 52,1 49,9 53,5 56,6 56,7 46,5 44,2 42,7 54,4 55,3 58,6 48,2 51
X i3
29,1 28,2 37 31,1 30,9 23,7 27,6 30,6 23,2 24,8 30 28,3 23 28,6 21,3 30,1 25,7 24,6 27,1 27,5
Podobným testom je možné testovať nemennosť parametra σ 2 kedy používame štatistiku CUSUMQ t : (tj. homoskedasticitu),
CUSUMQ
t
t
i k
1
e
i
2
T
i k
1
e
i
2 2
T
t
k k
,
t = k +1, ... , T Štatistika CUSUMQ potom detekuje na hladine významnosti zmenu príslušného modelu spočívajúcu v zmene parametra σ 2 v tom okamžiku t v ktorom po prvý raz prekročí:
CUSUMQ
t
T t
k k
c
, Kde c je príslušná kritická hodnota 𝜒 2 .
V softvérových riešeniach má CUSUMQ test najčastejšie grafickú podobu, pričom špeciálne CUSUMQ k = 0, CUSUMQ T = 1
Príklad.
CHOWOVE TESTY
Chowove testy sa používajú na posúdenie stability parametrov ekonometrického modelu v celom obore hodnôt definovaných časovou premennou :
t
1, 2,...,
T
• • • Často však dochádza k zmenám parametrov v dvoch alebo viacerých segmentoch údajov, ktoré je potom potrebné vyšetriť. Konkrétne sa odporúča: Grafické znázornenie časového priebehu vysvetľovanej a vysvetľujúcich premenných, ktoré môže viesť k optickému vyznačeniu časového bodu zmeny v chovaní údajov, Segmentácia údajov na základe známych historických udalostí, kedy dochádza k štrukturálnym zmenám (napr. začiatok účinnosti nového zákona, významný pokles na burze, nástup novej vlády...), Aplikácia testov typu CUSUM, alebo priamo grafický priebeh rekurentných rezíduí. V literatúre sa môžeme stretnúť s dvomi testami: 1. Chowov test stability 2. Chowov predpovedný test Gregory C. Chow
CHOWOV TEST STABILITY
Prvý z týchto testov sa označuje ako test stability a odporúča sa v prípade, kedy počet pozorovaní v prvom segmente, označíme ho T samostatných modelov : 1 , popisujúci situáciu pred zmenou a počet pozorovaní T2 v druhom segmente po zmene situácie, by boli postačujúce pre konštrukciu Nech model v prvom segmente má tvar:
y t
1 2
x t
2 3
x t
3
k x kt
u t
t
1,...,
T
1 (1.) model v druhom segmente má tvar:
y t
1
k
1 2
k
2
x t
2 3
k
3
x t
3
k
2
k
x kt
u t
(2.) Uvažovaný test stability potom testuje nulovú hypotézu:
H
0 :
k
1
k
2 2
k
0 t.j.: že modely v oboch segmentoch sú z hľadiska parametrov zhodné (stabilné).
(3.)
Pri použití klasického F – testu potom máme obmedzený model
y t
1 2
x t
2 3
x t
3
k x kt
u t
t
1,...,
T
(4.) a neobmedzené modely (1.) (2.),ktoré sa oplatí pre väčšiu názornosť preformulovať s použitím umelej premennej do tvaru:
y t
2
x t
2
k x kt
k
1
D t
k
2 2 2
k
u t
(5.)
t
1,...,
T
kde
D
t
0, 1,
t
1
1,...,
T
1
t
1,...,
T
1
T
2
T
(6.) Uvedený F – test má tvar:
F
T
t
1
y t t T
1 1
y t y
ˆ
t
2
y
ˆ
t
2
T
1
t
1
y t
y
ˆ
t
2
T
t T
1 1
y t
T
t T
1 1
y
ˆ
t y t
T
y
ˆ
t
2 2
k
/
k
RSS
(
RSS
1
RSS
1
RSS
2
RSS
2 ) / (
T
/
k
(7.)
s kritickým oborom:
T
2
k k
RSS
RSS
1
RSS
1
RSS RSS
2 2 2
k
(8.) Kde 2k je počet regresorov v neobmedzenom modeli, a k je počet obmedzení nulovej hypotézy (3.), RSS je reziduálny súčet štvorcov v obmedzenom modeli (5.), ktorý je možné získať ako súčet štvorcov v modeloch (1.) a (2.).
Chovov test stability teda v podstate vyžaduje odhad troch klasických lineárnych regresných modelov, aj keď v praktických aplikáciách sa často odhaduje len model (5.) s umelou premennou.
Chowov predpovedný (predikčný) test.
Druhý z Chowových testov sa označuje ako Chowov predikčný test a odporúča sa v situáciách kedy počet v prvom segment pred zmenou je výrazne vyšší ako počet pozorovaní v druhom segmente po zmene parametrov. V teste sa overuje predikčná schopnosť modelu z prvého segmentu pre druhý „predikčný“ segment.
Nech model v prvom segmente je opäť:
y t
1 2
x t
2 3
x t
3
k x kt
u t t
1,...,
T
1 (9.) model v druhom predikčnom segmente má teraz tvar:
y t
1 2
x t
2 3
x t
3
k x kt
j u t
t
1
1,...,
T
2 (10.)
H
0
:
1 2
,...,
T
2
0
(11.) t.j.: že pri predpovediach z prvého segmentu pre druhý segment majú chyby predpovedí nulové stredné hodnoty a model z predikčného hľadiska vykazuje stabilitu.
Pri použití klasického F – testu znovu vychádzame z obmedzeného modelu
y t
2
x t
2 3
x t
3
k x kt
u t
t
1,...,
T
(12.) a neobmedzený model pre oba segmenty opäť preformulujeme pomocou umelej premennej do tvaru:
y t
1 2
x t
2
k x kt
1
D t
1 2
D t
2
T
2
D tT
2
u t
(13.)
t
1,...,
T
kde
D t
1, t=T + j, j=1,...,T 2 0, inak
Chowov predikčný test má potom tvar:
F
(
RSS
URSS URSS
/ (
T
1 ) /
k
)
T
2 (14.)
a na hladine významnosti α má kritický obor:
T
1
k RSS
URSS T
2
URSS
2 , 1
k
kde k + T
2
je počet regresorov v neobmedzenom modeli (13.), T2 je počet obmedzení nulovej hypotézy (11.) a URSS je reziduálny súčet štvorcov v neobmedzenom modeli (13.), ktorý je možné získať opäť ako súčet reziduálnych súčtov štvorcov v modeloch (9.) a (10.).
Chowov predikčný test teda opäť vyžaduje odhad troch klasických modelov lineárnej regresie (9.), (10.) a (12.) Ak je počet pozorovaní T
1
v prvom segmente pred zmenou výrazne nižší, ako počet pozorovaní
T 2
v druhom segmente po zmene parametrov, je možné predikčný test stability založiť na spätnej predpovedi z druhého segmentu pre prvý segment. Chowove testy bývajú citlivé aj na iné typy nestability nielen na nestabilitu spôsobenú zmenami parametrov.
Testovanie normality
Testovacie postupy využívané v aplikovanej ekonometrii sú založené obvykle na predpoklade normality modelu, odporúča sa overiť pre OLS odhady (rezíduá), či je predpoklad normality prijateľný alebo nie. V literatúre sa často stretávame pri väčšom rozsahu údajov, že tento predpoklad sa považuje za automaticky splnený.
• • Aj keď je možné postupovať rôzne, pre kvalitnú konštrukciu modelov je predsa len obvyklé využiť rôzne štatistické postupy overenia normality. Tieto postupy je možné rozdeliť na: grafické (napr. Q – Q graf, P – P graf a iné.) štatistické testy (test zhody, test Jarque - Bery, Shapiro-Wilkov W test, Doornik-Hansenov test, Lillieforsov test a iné.
N(0,1)
N(0, σ 2 )
Zo štatistických testov sa často v aplikovanej ekonometrii používa test Jarque – Bery, ktorý pre OLS odhady pracuje s W štatistikov:
W
T
ˆ 1 2 6 ˆ 2 2 24 ktorá je založená na vlastnostiach koeficientov šikmosti (skewness) a špicatosti (kurtosis) normálneho rozdelenia. Pri výpočte štatistiky W sa využívajú výberové ˆ 1 2 ˆ 2 2 2 2 2 ˆ 1 2 1
T t T
1
x t s
x
3 ˆ 2 2 1
T t T
1
x t s
x
4 3 Nulová hypotéza predpokladá normalitu regresného modelu, má štatistika W asyptoticky hladine významnosti α má tvar:
W
1 2