Transcript Métodos abiertos

MÉTODOS ABIERTOS
Métodos Numéricos
En los métodos anteriores usan intervalos, la raíz se encuentra dentro de
estos mismos, dada por un limite inferior y otro superior. La aplicación
repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones cada vez mas
cercanas a la raíz. Tales métodos son conocidos como convergentes, ya
que se acercan progresivamente a la raíz a medida que avanza el calculo.
METODOS ABIERTOS
En contraste, los métodos abiertos descritos se basan en formulas que
requieren únicamente de un solo valor de inicio “x” o que empiecen con un
par de ellos, pero que no necesariamente encierran a la raíz. Algunas veces
se alejan de la raíz verdadera a medida que crece el numero de iteraciones.
Pero aun así lo hacen mucho mas rápido que los métodos que usan
intervalos.
Se empieza el análisis de los métodos:
Métodos Numéricos
METODO DE PUNTO FIJO
3
Los métodos abiertos emplean una formula que predice la raíz. Tal formula
puede ser desarrollada para una simple iteración de punto fijo al re arreglar la
ecuación f(x) = 0 de tal modo que x quede del lado izquierdo de la ecuación.
1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos
funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.
Métodos Numéricos
2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir,
cuando g(x) – x = 0, cuando g(x) = x.
La fórmula de recurrencia para el método del punto fijo se
obtiene de considerar una función que el resultado de sumar la
función f con la función identidad:
g( x )  f ( x )  x
f ( x )  g( x )  x
f ( x )  0  g( x )  x  0
 g( x )  x
Métodos Numéricos
3. El punto de intersección de las dos funciones, da
entonces el valor exacto de la raíz.
f(x)
x
g(x)
Las funciones x y g(x) se cortan
exactamente en la raíz xr
xr
Métodos Numéricos
f(x)
x
4. El método consiste en considerar un valor inicial x0 , como
aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0),
considerando éste como segunda aproximación de la raíz, x1
5. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide
prácticamente con x.
Métodos Numéricos
f(x)=
e-x
g(x)= e-x
-x
iteración
Xi
f(Xi)
g(Xi)
e(%)
1
0
1
1
100.00
2
1
-0.63212056
0.36787944
76.32
100.00
3
0.36787944
0.32432119
0.69220063
35.13
171.83
4
0.69220063
-0.19172713
0.5004735
22.05
46.85
5
0.5004735
0.10577003
0.60624354
11.76
38.31
6
0.60624354
-0.06084775
0.54539579
6.89
17.45
7
0.54539579
0.03421655
0.57961234
3.83
11.16
8
0.57961234
-0.01949687
0.56011546
2.20
5.90
9
0.56011546
0.01102765
0.57114312
1.24
3.48
10
0.57114312
-0.00626377
0.56487935
0.71
1.93
11
0.56487935
0.00354938
0.56842873
0.40
1.11
12
0.56842873
-0.00201399
0.56641473
0.23
0.62
13
0.56641473
0.0011419
0.56755664
0.13
0.36
14
0.56755664
-0.00064773
0.56690891
0.07
0.20
15
0.56690891
0.00036732
0.56727623
0.04
0.11
16
0.56727623
-0.00020833
0.5670679
0.02
0.06
17
0.5670679
0.00011815
0.56718605
0.01
0.04
Métodos Numéricos
e*(%)
Métodos Numéricos
f(x)
f(x1)
f(xi)
x i+1  xi 
f'(xi)
f(x2)
x1
x2
Métodos Numéricos
x
f ( x)  e
x
x
iteración
Xi
f(Xi)
f'(Xi)
e(%)
1
0
1
-2
100.00
2
0.5
0.10653066
-1.60653066
11.84
100.00
3
0.566311003
0.00130451
-1.567615513
0.15
11.71
4
0.567143165
1.9648E-07
-1.567143362
0.00
0.15
5
0.56714329
4.4409E-15
-1.56714329
0.00
0.00
Derivada
Función
Recurrencia
Métodos Numéricos
e*(%)
VV= 0.567143
1.
Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales
se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
2.
Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
3.
El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0)
constituye una segunda aproximación de la raíz.
4.
Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a ser x0
y x2 pasa a ser x1.
5.
Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1, obteniendo
una segunda aproximación con x2.
6.
El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección x2
coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
Métodos Numéricos
f(x)
x i  1  xi 
f(x0)
f(x1)
f(x2)
x0
x1 x2
Métodos Numéricos
f ( xi ) * ( x 0  x i )
f ( xo )  f ( xi )
x
f( x )  e
x
x
X0
Xi
f(X0)
f(Xi)
Xi+1
f(Xi+1)
1
0
0.4
1
0.27032005
0.54818554
0.02981207
2
0.4
0.54818554
0.27032005
0.02981207
0.56655382
0.00092388
3
0.54818554
0.56655382
0.02981207
0.00092388
0.56714126
3.1783E-06
4
0.56655382
0.56714126
0.00092388
3.1783E-06
0.56714329
3.3904E-10
iteración
Métodos Numéricos