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A.A. 2009-2010
Quantità di moto relativistica
secondo la definizione classica la quantita’ di moto di un punto materiale di massa m0 e’
p  m0v
dove m0 e’ la massa del punto materiale fermo, o “massa a riposo”
per determinare l’espressione della quantita’ di moto relativistica
studieremo un fenomeno d’urto elastico tra due punti materiali per il quale
assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita’ di moto e dell’energia
supporremo che la quantita’ di moto relativistica sia strettamente collegata
alla definizione classica di quantita’ di moto ma postuleremo che la massa non sia una costante
ma una qualche funzione della velocita’
p  m0 f (v)v
supponiamo che l’urto avvenga nel piano xy
1
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supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita’
in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti
ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente prima dell’urto
la quantita’ di moto totale e’ nulla se pretendiamo che quantita’ di moto totale si conservi
dopo l’urto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte l’una all’altra
altrimenti non vi sarebbe conservazione della quantita’ di moto totale
supporremo anche che qualunque
angolo di scattering q
2
sia possibile
il medesimo urto
puo’ essere visto in un sistema
ruotato di meta’ dell’ angolo di scattering
1
q
1
1

1
2

2
2
2
2
2
A.A.un2009-2010
esistera’
sistema S in moto relativo
rispetto al primo e tale per cui si abbia
S
inoltre esistera’ un sistema S’ in moto relativo
rispetto al primo e tale per cui si abbia
v1  (0, v1 )
S’
1
v1'  (-u, -v2 y )
y
x
v2'  (0, -v1 )
2
v2  (u , v2 y )
secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita’ v  v y
'
y'
alla particella 1 fornira’ v1 y '  v1 1 - u c
'
2
2
1 - u 2 c2
relazione che applicata
1 - vx u / c 2
dato che vx = 0 in S
peraltro la componente y della
velocita’ della particella 1 nel sistema S’ deve essere uguale a -v2y per cui si ha
in generale quindi potremo supporre che
 u  1 1-  2

p  m0v f ( u )
-v2 y  v1 1 - u 2 c2
u  u c
dove abbiamo posto
ma la quantita’ di moto totale lungo l’asse y era nulla quindi
e
py  0

percio’ m0 f ( 1 )v1  f (  2 )v2 y  0 ossia f ( 1 )v1 - f ( 2 ) v1  u  0
f ( 1 )  f (  2 )  u
se la velocita’ v1 della prima particella fosse molto piccola, la sua quantita’ di moto dovrebbe ridivenire
pari alla quantita’ di moto classica, ossia m0 f ( 1 )v1
m0 v1 e questo implica che
f ( 1 )  1
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al limite per v1 tendente a zero
in conclusione
p  m0 v 
f ( 1 )  1 
 1  f ( u )  u
lim
 10
m0
1- v c
2
2
f ( u )   u
v
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Dinamica Relativistica
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m
m0
1- v c
2
F
2
; massa relativistica lim m  
v c
dp d
  mv 
dt dt
m  m0 1 - v c
2
2

-1 2
p  m0 v 
m0
1- v c
2
2
v
dv

F

m
 ma Meccanica Newtoniana

dt




m0
F d 
v  Meccanica relativistica
2
2

dt  1 - v c 



3
 1

 m0 1  v 2 c 2  v 4 c 4  ... 
8
 2

1
1
m  m0  m0 v 2  2 
2
c 
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Dinamica Relativistica
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Energia
1
1
m  m0  m0 v 2  2 
2
c 
1
mc  m0 c  m0v 2
2
2
2
m0c2 e’ l’ energia a riposo del corpo di massa m0 , necessaria per “costruirlo”
generalizzando si può definire l’energia totale E di un corpo dotato di massa a riposo m0 :
E  mc 2  m0 c 2
 (v )  1 1 - v 2 c 2
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Energia – Teorema delle Forze Vive
 
 d
1
1
per definizione di lavoro infinitesimo dL  F  dr  (mv )  v dt dove m  m0  m0 v 2  2 
dt
2
c 
1
v2   
 d 
dL  F  dr   m0  m0 2 v   v dt fisica newtoniana c   quindi m  m0
dt 
2
c  

1
 
2
LAB  TAB teorema delle forze vive classico
dL  F  dr  m0v  dv  d  m0 v 
2

Lavoro relativistico
2


m0
v
2 2
2
2
2mdL  2mv  d (mv )  d (m v )
m
m
(
1
)

m
0
c2
v2
1- 2
m 2 c 2  m02 c 2  m 2 v 2
c
d (m 2 v 2 )  d (m 2 c 2 - m02 c 2 )  c 2 d (m 2 )
B

2mdL  c 2 2mdm
dL  d (mc2 )

LAB   d mc2  mB c 2 - mA c 2
A
LAB  E  m0c2  B -  A 
teorema delle forze vive relativistico
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Universo Quadridimensionale
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il modulo di un quadrivettore non dipende dal sistema di riferimento nello spaziotempo: è
invariante per roto-traslazioni nello spaziotempo.
x1' 
x1 -  u ic  x4
1 - u 2 c2
x2'  x2
x3'  x3
x   u ic  x1
x4'  4
1 - u 2 c2
x4  ict
x4'  ict '
x1'2  x2'2  x3'2  x4'2  x12  x22  x32  x42
formulazione alternativa che prescinde dai numeri immaginari:
c 2t 2 -  x 2  y 2  z 2   c 2t '2 -  x'2  y '2  z '2 
invariante relativistico
x' 
x -  ct
1-  2
y' y
z' z
ct -  x
ct ' 
1-  2
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Universo Quadridimensionale
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quadrivettore evento:
x  (ct , x, y, z )  (ct , r )
Parte temporale
Parte spaziale
Prodotto scalare:
x1  x2  ct1ct2 - r1  r2
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x' 
x -  ct
1-  2
y' y
z' z
ct -  x
ct ' 
1-  2
invariante per T. L.
Possiamo pensare allo spazio fisico quadridimensionale come ad uno spazio in cui il prodotto scalare
viene ottenuto sottraendo al prodotto delle componenti temporali i prodotti delle componenti spaziali. A
questo spazio viene dato il nome di spazio di Minkowsky, in onore del matematico che per primo
formalizzò la teoria di Einstein
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x1 e x2 : x  x1 - x2
Separazione tra due eventi
il suo modulo quadro, invariante di Lorentz, viene chiamato intervallo:
s 2  x  x  (ct1 - ct2 ) 2 - (r1 - r2 )  (r1 - r2 )
s2  0
s2  0
s 0
2
Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono in
istanti diversi ma nello stesso luogo: una persona può quindi
assistere all'evento 1, e poi spostarsi in modo da essere presente
anche all'evento 2. Si dice che i due eventi sono separati
temporalmente: tra di essi può esistere un rapporto di causa ed
effetto “intervallo di tipo tempo”
Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono
contemporaneamente a distanza d = sqrt(-s2): nessun
viaggiatore, per quanto rapido, potrà essere presente
contemporaneamente ai due eventi. I due eventi non possono
essere collegati da un rapporto di causa-effetto
“intervallo di tipo spazio”
x  ict
x  ict
x  -ict
- x  -ict
La distanza temporale tra di due eventi è pari al tempo
necessario ad un fotone per percorrere la distanza spaziale tra i
due eventi: quindi è possibile ad un fotone partire dal punto 1
all'istante t1 e giungere al punto 2 all'istante t2.
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Universo Quadridimensionale
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Quadrivettori
Un quadrivettore v è una qualunque quaterna di grandezze fisiche (v0; v1; v2; v3)
che nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro si trasforma
tramite una trasformazione di Lorentz. Chiamiamo v0 componente temporale del
quadrivettore e v = (v1; v2; v3) componente spaziale. Dati due quadrivettori v e
w, il prodotto scalare
v  w  v0 w0 - v  w
è invariante, ovvero assume lo stesso valore in ogni sistema di riferimento.
Gruppo di Lorentz: è costituito da tutte le trasformazioni che lasciano invariato il
prodotto scalare tra due quadrivettori. Le trasformazioni elementari che formano il
gruppo sono date dai tre passaggi a sistemi di riferimento in moto lungo gli assi x;
y; z, più le tre rotazioni intorno agli assi stessi: alle prime tre trasformazioni, dette
anche trasformazioni di Lorentz proprie, viene dato il nome di spinte o boost.
Una qualunque combinazione di queste sei trasformazioni appartiene al gruppo.
Una qualsiasi trasformazione del gruppo può essere scritta come una rotazione,
seguita da una spinta lungo l'asse x, seguita da una nuova rotazione.
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Universo Quadridimensionale
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Cinematica
Posizione: quadrivettore traiettoria di un punto:
x (t )  (ct , r (t ))
Intervallo corrispondente ad uno spostamento infinitesimo:


dx (t )  (cdt , v (t )dt ); ds 2  1 -  2 c 2 dt 2
ds 2  c 2 d 2 ;   tempo proprio
nel sistema di riferimento del punto

ds  1 - 
2
2
 c dt
2
2
 c d
2
2
 dt  d  d
Dilatazione dei
tempi
Paradosso dei gemelli: un gemello parte dall’origine e vi ritorna dopo un tempo
t1 misurato dal gemello sedentario. Per il viaggiatore è trascorso un tempo t1 che,
rispetto al tempo misurato dal sedentario vale :
1
t1
0
0
1   d   1  dt  t1   t1
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Universo Quadridimensionale
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Cinematica
Velocità: a differenza del vettore posizione ordinario, la velocità ordinaria
non è la parte spaziale di un quadrivettore! (si trasforma in modo diverso dalle T.L.)
Si definisce la quadrivelocità come il rapporto (tra un quadrivettore e un
quadriscalare):
u
dx (cdt , vdt )

   c,  v 
d
dt 
 u 2   2c2 -  2v2  c2
Accelerazione: in modo analogo si definisce la quadriaccelerazione, il cui
legame con l’accelerazione è assai complicato:
du

du  d  c, d ( v )   v  a v  a
a

  2 , 2 2 v a
d
dt 
 c  c

ua  u

d

2
1 dc
0
2 d
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Dinamica
abbiamo discusso impulso ed energia
relativistici …
p  m0 v
E  mc 2  m0 c 2
… ma sono la parte spaziale e temporale del quadrivettore energia-impulso, ottenuto
moltiplicando per m0 la quadrivelocità!
p  m0u   m0 c, m0 v    p0 , p    E c , p 
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Universo Quadridimensionale
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Quadrimpulso
m

m0

 m2 1 - v 2 c 2  m02
1 - v2 c2
 m2 c 2  m02 c 2  m2 v 2
p  m0u   m0 c, m0 v    p0 , p    E c , p 
p 2  E 2 c2 - p2  m02c2
 E 2  m02 c 4  p 2 c 2
 E  pc
se m0  0 
 vc

2
p

v
E
c
p

p
c
v
 




se esistono portatori di energia/impulso privi di massa (m0 = 0), debbono avere
velocità v = c
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Quadriforza
Partiamo dalla
derivata invariante
dp
F
d
dp   dp
 dp dp   dp

  0 ,    0 ,    0 , F 
dt   dt
 d d   dt

F    F0 ,  F  Allora
Verifica di
consistenza:

F0 
dp0 1 dE

d c d
 F0 
 dE
c dt
dp
dp
du
dp
u
0  u
 0  c 0  v 
  2v  F
d
d
d
d
2
 dL  d  mc 
 F0  v  F 

c
c dt c
dt
 /c volte la potenza
sviluppata dalla forza
  2 dE dp 
F    F0 ,  F   
,
dt 
 c dt
p  m0u   m0 c, m0 v    p0 , p    E c , p 
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Bibliografia
- D. Halliday, R. Resnick, J. Walker : Fondamenti di Fisica, Casa
Editrice Ambrosiana. Capitolo Relatività.
- R.P. Feynman, R,B. Leighton, M. Sands : La Fisica di Feynman –
Vol.1 Meccanica, radiazione, calore – Zanichelli. Capitoli 15, 16 e 17.
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Backup Slides
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Dinamica Relativistica
Conservazione della Quantità di moto
S
v1  (0, v1 )
p  m0v1 f ( v )
1
py  0
2
v2  (u , v2 y )
v 'y '  v y
1 - u 2 c2
1 - vx u / c 2
v1' y '  v1 1 - u 2 c2
-v2 y  v1 1 - u 2 c2
S’
2
v2'  (0, -v1 )
m0  f ( 1 )v1  f (  2 )v2 y   0
f (1 )v1 - f ( 2 ) v1  u  0
f (1 )  f (2 )  u

 1  f ( u )  u
lim
 1 0
v  v c
v1'  (-u, -v2 y )
 v  1 1-  2
f ( u )   u
p  m0 v 
m0
1- v c
2
2
v
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Quantità di moto relativistica
secondo la definizione classica la quantita’ di moto di un punto materiale di massa m e’
p  mv
per determinare l’espressione della quantita’ di moto relativistica
studieremo un fenomeno d’urto elastico tra due punti materiali per il quale
assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita’ di moto e dell’energia
supporremo che la quantita’ di moto relativistica sia strettamente collegata
alla definizione classica di quantita’ di moto ma postuleremo che la massa non sia una costante
ma una qualche funzione della velocita’
p  m0 f (v)v
supponiamo che l’urto avvenga nel piano xz
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supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita’
in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti
ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente prima dell’urto
la quantita’ di moto totale e’ nulla se pretendiamo che quantita’ di moto totale si conservi
dopo l’urto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte l’una all’altra
altrimenti non vi sarebbe conservazione della quantita’ di moto totale
supporremo anche che qualunque
angolo di scattering q
2
sia possibile
il medesimo urto
puo’ essere visto in un sistema
ruotato di meta’ dell’ angolo di scattering
1
q
1
1

1
2

2
2
2
2
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esistera’ un sistema S in moto relativo
rispetto al primo e tale per cui si abbia
S
inoltre esistera’ un sistema S’ in moto relativo
rispetto al primo e tale per cui si abbia
v1  (0, v1 )
S’
1
v1'  (-u, -v2 y )
y
x
v2'  (0, -v1 )
2
v2  (u , v2 y )
secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita’ v  v y
'
y'
alla particella 1 fornira’ v1 y '  v1 1 - u c
'
2
2
1 - u 2 c2
1 - vx u / c
dato che vx = 0 in S
relazione che applicata
2
peraltro la componente y della
velocita’ della particella 1 nel sistema S’ deve essere uguale a -v2y per cui si ha
in generale quindi potremo supporre che
p  m0v f ( v )
-v2 y  v1 1 - u 2 c2
dove abbiamo posto
v  v c
e
 v  1 1 -  2 e dove e’ stato usato v al posto di u ma la quantita’ di moto totale lungo l’asse y era nulla
py  0
m0  f ( 1 )v1  f (  2 )v2 y   0
f (1 )v1 - f (2 ) v1  u  0
portando la velocita’ della prima particella a zero f ( 1 )  1 
 1  f ( u )  u
lim
 1 0
f ( 1 )  f (  2 )  u
f ( u )   u
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in conclusione
p  m0 v 
m0
1- v c
2
2
v
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