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工程制图基础精品课程之专题一
直线、平面及综合问题
华北水利水电学院土木与交通学院
结构教研室
本专题主要内容：
1.直线上的点
2.直线的投影分类和特点
3.直角三角形法
4.两直线位置关系的判别
5.平面的投影分类和特点
6.平面对投影面的最大斜度线
7.直线和平面、平面和平面的平行问题
8.直线和平面、平面和平面的相交问题
专题一：直线、平面及综合问题
1.直线上的点
直线上的点的投影特点，可归结为从属性和定比性。
(1)从属性
点在直线上，点的投影必在直线的同面投影上。
专题一：直线、平面及综合问题
(2)定比性
直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比，等于这两
段在同一投影面上的投影长度之比。
专题一：直线、平面及综合问题
2.直线的投影分类和特点
根据空间直线和投影面位置关系的不同，直线可分为投影
面垂直线、投影面平行线、一般位置直线。
(1)投影面垂直线：垂直于一个投影面，而平行于其他两个投影
面的直线。
(2)投影面平行线：平行于一个投影面而垂直于其他两个投影面
的直线。
(3)一般位置直线：倾斜于三个投影面的直线。
专题一：直线、平面及综合问题
(1)投影面垂直线：分为铅垂线、正垂线、侧垂线三种。
a.铅垂线
专题一：直线、平面及综合问题
b.正垂线
专题一：直线、平面及综合问题
c.侧垂线
专题一：直线、平面及综合问题
(2)投影面平行线：分为水平线、正平线、侧平线三种。
a.水平线
专题一：直线、平面及综合问题
b.正平线
专题一：直线、平面及综合问题
c.侧平线
专题一：直线、平面及综合问题
(3)一般位置直线
一般位置直线和三个投影面都倾斜，它的投影不能直接反
映直线段实长和对投影面的倾角，需要用直角三角形法辅助
解决。
专题一：直线、平面及综合问题
3.直角三角形法
如右图
所示，作辅
助线AB0垂
直于Bb，得
到直角三角
形ABB0。
专题一：直线、平面及综合问题
上述方法在投影图中可按以下方式实现：
不难证
明，可以用
同样的方法，
求得直线段
的实长和对V
面的倾角β
和对W面的倾
角γ。
专题一：直线、平面及综合问题
综上所述，直角三角形法可归纳为：
要求一般位置直线段的实长和对某投影面的倾角，应以直
线段的某一面投影长度为一条直角边，以直线两端点到该投
影面的距离差为另一条直角边，做直角三角形，三角形的斜
边即为实长，斜边和该面投影的夹角即为所求的倾角。
注意：在实际问题中，也可能已知了一般位置直线段的实长或
倾角，来求解直线段的投影。
专题一：直线、平面及综合问题
例1.1：已知直线AB的长度为25，水平投影ab及正面投影a′，
试画出它的正面投影。
作图步骤：
(1)过a或b作投影ab的垂线。
(2)过投影a作半径为25(AB实长)
的圆，和垂线交于B点，aB
为实长，bB为Zab。
(3)作距a′为Zab平行于X轴的平
行线。
(4)过b作垂线，交点为b′ 。
(5)连接a′b′，即为所求。
(6)加深a′b′,完成作图。
专题一：直线、平面及综合问题
4.两直线位置关系的判别
(1).两直线平行
在已知三面投影的情况下，两直线三面投影平行可判定两
直线空间平行，反之也成立。
在已知两面投影的情况下，两直线空间平行，可判定两直
线同面投影平行。
一般情况下，两直线两面投影分别平行，可判定两直线空
间平行。但当两直线同平行于某投影面时，还要由两直线在
该投影面的投影是否平行来判定两直线空间平行。
专题一：直线、平面及综合问题
例1：判断两直线AC、BD是否平行。
作图步骤：
(1)做出第三投影。
(2)给出立体图。
(平行)
专题一：直线、平面及综合问题
例2：判断两直线AC、BD是否平行。
作图步骤：
(1)做出第三投影。
(2)给出立体图。
(不平行)
专题一：直线、平面及综合问题
(2).两直线相交
在已知三面投影的情况下，两直线三面投影相交且交点是
同一点的投影可判定两直线空间相交，反之也成立。
在已知两面投影的情况下，两直线空间相交，可判定两直
线同面投影分别相交且交点是同一点的投影，反之也成立。
注意：对“交点水同一点的投影”有时要通过定比分点或
者作出第三面投影来加以判别。
专题一：直线、平面及综合问题
例：判断两直线AC、BD是否相交。
方法一：
作出第三投影。
方法二：
用比例法判断。
(1)作任一直线b1，连接a1，
过f作f2∥a1，交于2。
(2)过b’作b’1=b1，连接a’1，
过2作2f’∥a’1，可看出F
不是交点，即两直线不相
交。
（不相交）
（不相交）
专题一：直线、平面及综合问题
(3).两直线交错
如果已经判定两直线既不相交也不平行，那么两直线一定
交错。在两直线交错时，要学会判别重影点的可见性。
专题一：直线、平面及综合问题
(4).两直线垂直
当构成直角的两条直线中，有一直线是投影面平行线，则
此两直线在该投影面上的投影仍相交成直角。上述定理的逆
定理也成立。
另外，如果两直线互相垂直，它们在某一投影面上的投影
也互相垂直，则此两直线中至少有一直线平行于该投影面。
注意：上述结论不仅在两直线相交的时候成立，在两直线
交错的时候也成立。
专题一：直线、平面及综合问题
几种两直线垂直的投影图。
（垂直异面）
（垂直异面）
（垂直相交）
（垂直相交）
专题一：直线、平面及综合问题
例1.2：判别下列两直线的位置关系（对于垂直的直线要注明
是否垂直）。
（异面）
（平行）
（异面垂直）
（异面）
专题一：直线、平面及综合问题
例1.3：已知矩形ABCD的部分投影，试补全该矩形的两面投影。
作图步骤：
(1)根据直角投影定理过b’作a’b’的
垂线得到c’。
(2)根据平行关系得到d’的投影。
(3)同理得到d的投影，连接、加深，
完成全图。
专题一：直线、平面及综合问题
例1.4：已知点A和水平线BC的投影，试求A到BC的距离。
作图步骤：
(1)根据直角投影定理过a作ak⊥bc。
(2)作出k’，AK即为垂线。
(3)利用直角三角形法，求出实长TL。
专题一：直线、平面及综合问题
5.平面的投影分类和特点
根据空间平面和投影面位置关系的不同，平面可分为投影
面平行面、投影面垂直面、一般位置平面。
(1)投影面平行面：平行于一个投影面，而垂直于其他两个投影
面的平面。
(2)投影面垂直面：垂直于一个投影面而平行直于其他两个投影
面的平面。
(3)一般位置平面：倾斜于三个投影面的平面。
专题一：直线、平面及综合问题
(1)投影面平行面：分为水平面、正平面、侧平面三种。
a.水平面
专题一：直线、平面及综合问题
b.正平面
专题一：直线、平面及综合问题
c.侧平面
专题一：直线、平面及综合问题
(2)投影面垂直面：分为铅垂面、正垂面、侧垂面三种。
a.铅垂面
专题一：直线、平面及综合问题
b.正垂面
专题一：直线、平面及综合问题
c.侧垂面
专题一：直线、平面及综合问题
(3)一般位置平面：
一般位置平面的三面投影都不会积聚或者反映实形，对
投影面的倾角也不能从图中直接看出。
专题一：直线、平面及综合问题
6.平面对投影面的最大斜度线
(1).平面上的投影面平行线
不管平面相对于投影面
处在什么位置，总能在该平
面上画出平行于各投影面的
直线，这样的直线叫做平面
上的投影面平行线。
● 红线为平面ABC平面上的水平线。
● 绿线为平面ABC平面上的正平线。
专题一：直线、平面及综合问题
(2).平面的最大斜度线
画法几何中，把平面上垂直于该平面迹线及其平行线的直
线，称为平面的最大斜度线。
最大斜度线有三种，即平面上对H面的最大斜度线
(也称最大坡度线、滚坡线)、对V面的最大斜度线和对W
面的最大斜度线。
专题一：直线、平面及综合问题
例1 求△ABC平面上对H面的最大斜度线
(1)在△ABC上作出水平线A1。
(2)过投影b作直线⊥a1，交a
c于2。作出b’2’的投影。
B2即为对H面的最大斜度
线。
注:可以依次在△ABC平面
上作出对V面的最大斜度
线及对W面的最大斜度线。
专题一：直线、平面及综合问题
值得注意的是，平
面对某一投影面的倾角，
就是平面上对该投影面
的最大斜度线的倾角。
利用这一点可以求得一
般位置平面对投影面的
倾角，如图所示。
专题一：直线、平面及综合问题
7.直线和平面、平面和平面的平行问题
(1).直线和平面平行
由初等几何知，
如果平面外一直线平
行于平面上的任意直
线，则该直线平行于
该平面。
如右图所示,直线EF的
投影ef∥c1，e’f’∥c’1’，
所以直线EF∥△ABC
专题一：直线、平面及综合问题
●如果平面内找不出与平
面外直线平行的直线，
则该直线与平面不平行。
不平行
●对于投影面垂直面，只要空间直
线的一个投影与平面的相应的积聚
投影平行，则直线与平面就彼此平
行。
平行
专题一：直线、平面及综合问题
(2).平面和平面平行
由初等几何知，如果某一平面上的相交两直线，分别平行
于另一平面上的相交两直线，则这两平面平行。
专题一：直线、平面及综合问题
对于两个投影面垂直面，只要它们的积聚投影平行，就
可判定两平面平行。反之则可判定两平面不平行。
(平行)
(不平行)
专题一：直线、平面及综合问题
8.直线和平面、平面和平面的相交问题
(1).直线和平面相交
a.直线有积聚性
一般位置平面和投影面垂直线相交，再直线所垂
直的投影面内交点的投影为已知，可利用面上取点的
方法求出交点的另两面投影。
直线和平面相交时，必然要发生遮挡。需要判别
可见性。
可见性一般以交点为界，在交点一侧甲元素可见，
另一侧必为乙元素可见。
专题一：直线、平面及综合问题
作图步骤：
(1)补出直线、平面第三投
影，k”即为交点投影。
(2)过k”在平面中作直线求
出k及k’。
(3)利用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点
的可见性判断直线的可见
性可见性。
专题一：直线、平面及综合问题
b.平面有积聚性
一般位置直线和铅垂面相交，交点的水平投影为已知，
可利用线上取点的方法求出交点的正面投影。
在线、面相交时，对于具有积聚性的平面，在其投
影积聚的那个投影面上，由于面的投影变为线，所以
不需要判别可见性。
专题一：直线、平面及综合问题
作图步骤：
(1)由于△ABC为铅垂面，
水平投影中 k为交点。
(2)求出交点的正面投影 k’
并判断可见性。
专题一：直线、平面及综合问题
(2).平面和平面相交
a.一个平面有积聚性
例 求两平面的交线，并判断可见性。
作图步骤：
(1)因为□ABCD为铅垂面，
水平投影交线如图。
(2)求出交线的正面投影。
(3)判断可见性。
专题一：直线、平面及综合问题
b.两个平面都有积聚性
例 求两平面的交线，并判断可见性。
作图步骤：
(1)因为两平面均为正垂面，正面投
影交点即为交线投影。
(2)求出水平面交线投影。
(3)判断可见性。
专题一：直线、平面及综合问题
(3).直线和平面垂直
由初等几何可知，一直线如果同时垂直（含相交垂直和交
错垂直）于平面上两条相交直线，则该直线垂直于该平面。
反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面上所有的
直线。
垂直于平面的直线，必垂直于平面上的水平线和正平线，
所以其水平投影必垂直于平面上的水平线的水平投影；其正
面投影必垂直于平面上的正平线的正平投影。
垂直于直线A的平面，其上的任意直线均和直线A垂直，包
括平面上的水平线和平面上的正平线，而平面上的水平线的
水平投影必垂直于直线A的水平投影，平面上的正平线的正面
投影必垂直于直线A的正面投影。
专题一：直线、平面及综合问题
例1.5：过△ABC外一点M，做直线MN垂直于该平面。
作图步骤：
(1)在△ABC上作正平线和水平线。
(2)过M作正平线和水平线的垂线，
MN即为所求。
专题一：直线、平面及综合问题
例1.6：已知直线MN以及直线外一点A，试过点A做出一平面与直
线MN垂直。
作图步骤：
(1)过A点作△ABC⊥直线MN。
(2)求直线MN和△ABC的交点K。
(3)判断可见性。
专题一：直线、平面及综合问题
(3).平面和平面垂直
由初等几何可知，如果平面包含一条垂直于另一平面的直
线，则该两平面垂直。
专题一：直线、平面及综合问题
例1.7：试过点M作平面垂直于△ABC平面。
作图步骤：
(1)过M点作直线⊥△ABC。
(2)在直线上截取MN。
(3)过MN任意作平面均⊥△ABC 。
本专题结束
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