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第二届中国微课大赛展示作品
二次函数闭区间上的最值问题
——动轴定区间类型
数学 高一年级
江西省 新余市 渝水一中 钟木云
二次函数在闭区间上常见的三种最值问题：
1.定轴定区间上的最值问题；
开口向上时函数最小值

2.动轴定区间上的最值问题；
开口向上时函数最大值
3.定轴动区间上的最值问题。
一、函数f ( x)  ax2  bx  c(a  0)在闭区间  m, n上的最
小值
分
三
类
讨
论
b
( 1) 当 
 m时，f ( x) min  f (m)
2a
b
b
( 2) 当m  
 n时，f ( x) min  f ( )
2a
2a
b
( 3) 当 
 n时，f ( x) min  f ( n)
2a
【例题】已知函数 f  x   x2  2ax  2 ,求函数 f(x)
在[-5,5]上的最小值。
分析：
解析：
( 1) 当a  5时，f ( x)min  f (5)  25  10a  2  10a  27
( 2) 当  5  a  5时，f ( x) min  f (a)  a 2  2a 2  2  a 2  2
( 3) 当a  5时，f ( x)min  f (5)  25  10a  2  10a  27
点评：二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或端点
处取得。如果解析式中含有参数，需对参数分类讨论，
根据对称轴与区间的位置关系，结合二次函数的图像
利用二次函数的单调性处理。
二、已知函数 f  x   ax2  bx  c,(a  0)，求 f  x  在
m, n 上的最大值。
当-
b
mn

时，f  x max  f  n 
2a
2
当-
b
mn

时，f
2a
2
 x max
 f  m
2
已知函数
【练习】
f  x   x  2ax  2，求 f  x  在 5,5
上的最大值。
解析：函数图像的对称轴为：x  a 区间中点为：x=0
当a  0时，f  x max  f  5 =27-10a
当a  0时，f  x max  f  5 =27  10a
二次函数在闭区间上最值的求法
1、 要注意应用数形结合与分类讨论的数学思想。
2、二次函数闭区间上的最值要分析对称轴与区间
或区间中点的位置关系，再根据二次函数的单调性
或对称性来得出函数的最值。
（1） 开口向上时的最小值，要分对称轴在区
间的左中右三种情况；(开口向下时的最大值)
（2）开口向上时的最大值，要分对称轴在区间中
点的左右(包括中点)两种情况。(开口向下时的最小值)
讨论时注意：对称轴要取到横轴上的每一个点，
并做到不重不漏。