Transcript SYARAT KUHN-TUCKER

1
SYARAT KUHN-TUCKER
BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM
2
Kasus 1
Sebagai syarat agar 𝑥 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 menjadi solusi
optimal bagi NLP dengan kendala pertidaksamaan
:
Maks/min 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )
s.t. 𝑔1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏1
.
.
.
𝑔𝑚 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏𝑚
Kendala ≥ dirubah menjadi negatif dari ≤
3
Teorema 1
Untuk masalah maksimisasi, 𝑥 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 solusi
optimal, maka titik tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat 1 , …, 𝑚 yang memenuhi :
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
-
𝜕𝑔𝑖 (𝑥)
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
=0
j = 1, …, n
(1)
𝑖 𝑏𝑖 − 𝑔𝑖 𝑥 = 0
i = 1, …, m (2)
𝑖 ≥ 0
i = 1, …, m (3)
𝑖 adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:
- Jika rhs kendala ke – I : b  b +  maka z naik sebesar :
 𝑖
- Kendala – kendala: penggunaan sumber daya
4
TEOREMA 1’
Untuk masalah minimisasi, 𝑥 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 solusi optimal,
maka titik tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat 1 , …, 𝑚 yang memenuhi :
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑔𝑖 (𝑥)
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
=0
j = 1, …, n
(1)
𝑖 𝑏𝑖 − 𝑔𝑖 𝑥 = 0
i = 1, …, m (2)
𝑖 ≥ 0
i = 1, …, m (3)
𝑖 adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:
- Jika rhs kendala ke – I : b  b +  maka z turun sebesar :
 𝑖
5
Kasus 2
Adanya kendala nonnegative untuk seluruh peubah
Maks/ min 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )
s.t.
𝑔1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏1
.
.
.
𝑔𝑚 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏𝑚
-𝑥1 ≤ 0 , … , -𝑥𝑛 ≤ 0
6
Teorema 2
Untuk masalah maksimisasi, 𝑥 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 solusi
optimal, maka titik tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat 1 , …, 𝑚 , 𝜇1 , …, 𝜇𝑛 yang memenuhi :
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
-
𝜕𝑔𝑖 (𝑥)
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
𝑖 𝑏𝑖 − 𝑔𝑖 𝑥
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
−
𝑖 ≥ 0
𝜇𝑗 ≥ 0
+ 𝜇𝑗 = 0
i = 1, …, m
=0
𝜕𝑔𝑖 (𝑥)
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
j = 1, …, n
𝑥𝑗 = 0
j = 1, …, n
i = 1, …, m
j = 1, …, n
7
Theorema 2’
Untuk masalah minimisasi, 𝑥 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 solusi optimal,
maka titik tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat 1 , …, 𝑚 , 𝜇1 , …, 𝜇𝑛 yang memenuhi :
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑔𝑖 (𝑥)
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
𝑖 𝑏𝑖 − 𝑔𝑖 𝑥
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
+
𝑖 ≥ 0
𝜇𝑗 ≥ 0
- 𝜇𝑗 = 0
i = 1, …, m
=0
𝜕𝑔𝑖 (𝑥)
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
j = 1, …, n
𝑥𝑗 = 0
j = 1, …, n
i = 1, …, m
j = 1, …, n
8
Penjelasan Untuk kasus maksimisasi
syarat (1)
Pada saat 𝑥 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 kita gunakan 𝑔𝑖 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 unit
resource i dan bi unit sumber daya tersedia.
Jika kita tingkatkan 𝑥 sebesar  (yang kecil), maka
𝜕𝑓(𝑥)
 nilai dari fungsi objective meningkat sebesar

𝜕𝑥
𝑗
 Nilai kendala ke – i berubah menjadi
𝑔𝑖 𝑥 +𝜕𝑔𝜕𝑥𝑖 𝑥 ∆≤ 𝑏𝑖 atau 𝑔𝑖 𝑥 ≤ 𝑏𝑖 − 𝜕𝑔𝜕𝑥𝑖 𝑥 ∆
𝑗
𝑗
shg perubahan pada z adalah
𝜕𝑔 𝑥
𝑖
− 𝜕𝑥
∆
𝑗
𝜕𝑔𝑖 𝑥
−∆ 𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
Atau rhs meningkatkan sebesar
 total perubahan z karena peningkatan peningkatan xj sebesar
 adalah 
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕𝑔𝑖 𝑥
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
Jika term dalam kurung lebih dari 0, kita dapat meningkatkan f
dengan memilih  > 0
9
• Sebaliknya, jika term tersebut kurang dari 0, kita dapat
meningkatkan f dengan memilih  < 0.
• Sehingga agar 𝑥 optimal maka syarat (1) harus
terpenuhi
10
Penjelasan syarat (2)
Syarat 2 merupakan generalisasi dari kondisi
complementary of slackness untuk Pemrograman Linier.
Syarat (2) berimplikasi bahwa
Jika i > 0 maka 𝑔𝑖 𝑥 = 𝑏𝑖 ( kendala ke –i binding)
Jika 𝑔𝑖 𝑥 < 𝑏𝑖 maka 𝑖 = 0
11
Penjelasan syarat (3)
Jika untuk  > 0 kita tingkatkan rhs kendala ke I dari bi ke
bi + , maka nilai fungsi tujuan optimal akan meningkat
atau tetap sehingga 𝑖 ≥ 0
12
Pengertian 
i = nilai resources yang digunakan untuk membuat
sebuah barang – harga jual barang tersebut
Sehingga jika i > 0, perusahaan rugi sehingga lebih baik
tidak produksi atau xi = 0
Sedangkan jika xi > 0 untuk solusi optimal maka i =0,
Setiap variabel xi sebagai basic variabel , marginal
revenue yang didapatkan dari produksi satu unit xi harus
sama dengan marginal cost resources yang digunakan
untuk memproduksi satu unit xi
13
Theorema 3.
Misalkan kasus 1 adalah masalah maksimisasi.
Jika 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konkaf dan
𝑔1 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ,…, 𝑔𝑚 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konveks,
maka setiap titik 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang memenuhi
hipotesis pada theorema 1 adalah solusi optimal untuk
kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah maksimisasi,
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konkaf dan 𝑔1 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ,…,
𝑔𝑚 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konveks, maka setiap titik
𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang memenuhi hipotesis pada theorema
2 adalah soludi optimal
14
Theorema 3’
Misalkan kasus 1 adalah masalah minimisasi
Jika 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konveks dan
𝑔1 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ,…, 𝑔𝑚 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konveks,
maka setiap titik 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang memenuhi
hipotesis pada Theorema 1’ adalah solusi optimal untuk
kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah minimisasi,
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konveks dan
𝑔1 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ,…, 𝑔𝑚 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah fungsi konveks,
maka setiap titik 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang memenuhi
hipotesis pada Theorema 2’ adalah solusi optimal
15
Contoh
Selesaikan masalah optimisasi berikut
max 𝑧 = 𝑥1 30 − 𝑥1 + 𝑥2 50 − 2𝑥2 − 3𝑥1 − 5𝑥2 − 10𝑥3
s.t 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 ≤ 0
𝑥3 ≤ 17.25
Gunakan syarat berikut
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑗
-
𝜕𝑔𝑖 (𝑥)
𝑚

𝑖=1 𝑖 𝜕𝑥𝑗
=0
j = 1, …, n
(1)
𝑖 𝑏𝑖 − 𝑔𝑖 𝑥 = 0
i = 1, …, m (2)
𝑖 ≥ 0
i = 1, …, m (3)
Kemudian kombinasikan nilai i > atau = 0 dan carilah
solusi yang tidak melanggar semua syarat
16
Soal - soal
Gunakan syarat KT untuk menemukan solusi optimal dari
permasalahan berikut:
1. max 𝑧 = 𝑥1 − 𝑥2
s.t 𝑥12 + 𝑥22 ≤ 1
2. max 𝑧 = 3𝑥1 + 2𝑥2
s.t 2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 , x2 ≥ 0