Transcript (Приложение 5)
Министерство образования Республика Башкортостан ГАОУ СПО «Уфимский топливно-энергетический колледж» Проектно-исследовательская работа Дисциплина «Математика» Выполнили: студенты группы 1-Р-1 Федоров Иван, Симашев Виталий Руководитель: преподаватель математики Сухарева Г.В.
Цель:
Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей, показать расчёты: безаварийной работы электрических приборов в течение определенного временного промежутка; исправной работы электри ческой цепи.
Задачи:
1. Сумма событий. Геометрическая интерпретация 2. Теоремы сложения несовместных и совместных событий.
3. Произведение событий. Геометрическая интерпретация.
4. Теорема умножения вероятностей.
сложение
A
B или A
B A
1
A
2 ...
A n или k n
1
A k
События
умножение
A
B
или A
1
A
2 ...
A n или k n
1
A k A
B A B A A
B B A
B
Пример:
Дана электрическая цепь с элементами l 1 и l 2 , соединёнными последовательно. Событие А - выход из строя элемента l 1 ; событие В – выход из строя элемента l 2 . Что означает событие А+В?
Решение:
Так как элементы l мента.
1 и l 2 соединены последовательно, тогда выход из строя одного элемента повлечет выход из строя другого эле Событие А - выход из строя элемента l 1 ; событие В – выход из строя элемента l 2 . следовательно А+В означает выход всей элект рической цепи из строя.
Теоремы сложения вероятностей
1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
)
Следствие 1 :
(
1
(
1
)
А
2
(
2
А n
)
n
)
k n
1
Следствие 2 :
P
(
A
A
)
P
(
A
)
P
(
A
) 1
2. Теорема сложения совместных событий
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
A
B
)
k
Пример:
В партии из 50 изделий содержится 5 бракованных. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 30 изделий не более одного бракованного?
Решение:
A - событие, состоящее в том , что 30 изделий выборки - качественные; В - в рассматриваемой выборке из 30 изделий только одно бракованное; С - не более одного бракованного. Так как события А и В несовместны, то С
A
В
P
(
C
)
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
A
)
m n
30
C
45 30
C
50 0 , 007
P
(
B
)
k n
29
C
45 30
C
50
C
5 1 0 , 065
P
(
C
)
P
(
A
)
P
(
B
) 0 , 007 0 , 065 0 , 072
Пример:
Электронный прибор состоит из двух последовательно включённых блоков. Вероятность выхода из строя за 1 месяц работы первого блока равна 1/3, второго - 1/4, а обоих - 1/6.
Найдите вероятность безаварийной работы прибора в течение месяца.
Решение:
A В
-
выход из строя первого блока
-
выход из строя второго блока A
В - оба блока выходят из строя A
В - аварийная работа по крайней мере одного блока А
В
-
оба блока исправно работают
P
(
A
B
) 1
P
(
A
B
) 1 (
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
AB
)) 1 ( 1 3 1 4 1 6 ) 7 12
Теоремы умножения вероятностей
1. Теорема умножения вероятностей независимых событий
)
( )
P
B
P
(
A
B
)
P
(
B
)
2. Условная вероятность
P
A
P
(
A
B
)
P
(
A
)
Следствие 1 : 3. Теорема умножения зависимых событий
P
(
P
(
A
)
A
B P
)
B P
(
A
)
P
A
P P
( (
B B
) )
B P
A
Следствие 2 :
( 1 2
A n
) ( 1 ) ( 2
n
)
Пример:
В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару.
Решение:
A - появление белого шара у первого лица P
(
A
) 2 3
В - появление белого шара у второго лица P
B
1 2
Пример:
В чёрном ящике находятся 2 лампочки по 15Вт и 3 лампочки по 25 Вт. Из ящика вынимают подряд две лампочки. Найдите вероятность того, что обе лампочки по 15Вт.
Решение:
A
1
A - появление двух лампочек по 15 Вт A
A
1
A
2
- появление двух лампочек по 15 Вт при первом вынимании; A
2 -
появление двух лампочек по 15 Вт при втором вынимании.
P
(
A
)
P
(
A
1 )
P A
2
A
1 2 5 1 4 0 , 1
Пример:
Участок электрической цепи состоит из n последовательно соединенных р 1 ; р 2 …р n элементов, . Найдите каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность невыхода из строя за определённый промежуток времени каждого элемента: вероятность исправной работы всего участка цепи.
M
1
2
…………..
n N
Решение:
A
-
нормальная работа всего участка электрической цепи; A
1 -
исправная работа первого элемента; A A
2 -
исправная работа второго элемента; A n
-
исправная работа n-го элемента;
1 ,
A
2 ...
A n - независимые события, то A
A
1
A
2 ...
A n P
(
A
)
P
(
A
1 )
P
(
A
2 ) ...
P
(
A n
)
P
(
A
)
p
1
p
2 ...
p n
Пример:
Участок электрической цепи состоит из n параллельно соединенных р 1 ; р 2 …р n участка цепи.
элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность невыхода из строя за определённый промежуток времени каждого элемента: . Найдите вероятность исправной работы всего
1
M
2
N n
Решение:
A
-
нормальная работа всего участка электрической цепи; A
-
выход из строя всего участка; A
1
A
2
- исправная работа первого элемента; - исправная работа второго элемента; A n - исправная работа n-го элемента.
A
A
1
A
2 ...
A n P
(
A
)
P
(
A
1 )
P
(
A
2 )...
P
(
A n
)
1
P
(
A
)
( 1
P
(
A
1
))( 1
P
(
A
2
))...( 1
P
(
A
n
))
P
(
A
) 1 ( 1
p
1 )( 1
p
2 )...( 1
p n
)
Пример:
Участок электрической цепи состоит из n параллельно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность невыхода из строя за определённый промежуток времени каждого элемента: р 1 ; р 2 …р n =0,7 . Сколько элементов должен содержать участок, чтобы его надёжность превышала 0,99?
1
M
2
N n
Решение:
P
(
A
) 1 ( 1
p
)
n
1 ( 1
p
)
n
0 , 99 ( 1
p
)
n
0 , 01
n
lg( 1
p
) lg 0 , 01
n
2 lg( 1
p
)
p
0 , 7 ;
n
lg 2 0 , 3 3 , 8
т.е. не менее четырёх элементов.
Заключение
В данной работе показано, что при решении более сложных задач по теории вероятностей знания одного классического определения бывает недостаточно. Поэтому, одним из важных понятий является понятие условной вероятности, которое играет большую роль как в самой теории вероятностей, так и в ее разнообразных применениях, научных и практических.
Информационное обеспечение
1. Вентцель Е.С. «Теория вероятностей», М., «Высшая школа», 2010г.
2. Гмурман В.Г. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики», М., «Высшая школа», 2010г.
3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика» для ССУЗ, М., «Высшая школа», 2009г.
4. Яковлев Г.Н., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. «Математика» для ССУЗ, книга 2, М., «Новая волна».
2011г.