Transcript Ejemplo x=1.5

Método de
Neville
Verónica Abad Espinoza
Rafael Pichon Corte
Ivan Santicomani Serrano
Fórmula de Neville
 Muestra
cómo formar el polinomio de nésimo
grado 𝑃𝑘 𝑘 𝑛 𝑥 a partir de los dos
, +
polinomios interpolantes de grado (n-1)ésimo
𝑃𝑘 + 1, 𝑘 + 𝑛 𝑥 y 𝑃𝑘 , 𝑘 + 𝑛 − 1 𝑥 .
 𝑃𝑘 𝑘 𝑛
, +
𝑥 =
𝑥−𝑥𝑘 𝑃𝑘
𝑥 − 𝑥−𝑥𝑘 𝑛 𝑃𝑘 𝑘 𝑛 1 𝑥)
+
, + − (
(𝑥𝑘 𝑛−𝑥𝑘)
1𝑘 𝑛
+ , +
+
 La
usaremos para evaluar todos los
polinomios interpolantes posibles 𝑃𝑘 , 𝑘 +
𝑛 𝑥 para un valor dado c.
 La fórmula de Neville no produce
ninguna nueva capacidad de
interpolacion.
 Por la unicidad del polinomio
interpolante, P(x) debe ser 𝑃𝑘 , 𝑘 + 𝑛 𝑥
 Para
un valor fijo C, la fórmula de Neville
puede usarse recursivamente para formar
la tabla de valores en C.
 Para
n=1 𝑃𝑘, 𝑘 + 1(𝑐) =
 Para n=2
𝑐−𝑥𝑘 𝑃𝑘 1 𝑘
𝑃𝑘, 𝑘 + 2(𝑐) =
𝑐)−(𝑐−𝑥𝑘 2 𝑃𝑘 𝑘 1 𝑐)
+
, + (
(𝑥𝑘 2 𝑥𝑘)
+ , +
 Para n=3
𝑐−𝑥𝑘 𝑃𝑘 1 𝑘
𝑐−𝑥𝑘 𝑓𝑘 1 𝑐−𝑥𝑘 1 𝑓𝑘
+ −
+
(𝑥𝑘 1 𝑥𝑘)
2
+ −
𝑃𝑘, 𝑘 + 3(𝑐) =
𝑐)−(𝑐−𝑥𝑘 3 𝑃𝑘 𝑘 2 𝑐)
+
, + (
(𝑥𝑘 3 𝑥𝑘)
+ , +
3
+ −
+ −
• Su estructura en forma de tabla es:
• La ventaja de este método es que
facilita la estimación del error de
interpolación.
Algoritmo. Para calcular la tabla de
Neville y aproximar f(x*)= Pn(x*)
ENTRADA: Los nodos x0, x1,…, xn. Sus imágenes f(x0 ), f(x1),…, f(xn )
como primera columna de la matriz Q, es decir Q0,0 ,Q1,0,Qn,0
SALIDA: La tabla o matriz Q, donde f(x*)= Qnn
Paso 1: Para i=1 hasta n
Para j=1,2,…,i
(x−xi−j )Qi,j−1 −(x−xi )Qi−1,j−1
Qij =
(xi −xi−j )
Paso 2: Salida Qnn
Parar
Fin
Ejemplo
x=1.5
x
f(x)
1.0
0.7651977
1.3
0.6200860
1.6
0.4554022
1.9  Ejemplo
0.2818186
2.2 x=1.5
0.1103623
x0
x1
x2
x3
x4
P0
P1
P2
P3
P4
P01 P012 P0123 P01234
P12 P123 P1234
P23 P234
P34
(x-x0)P1-(x-x1)P0
(x-x0)
=
(0.310043-0.15303954) =0.523344866=P01
0.3
(x-x1)P2-(x-x2)P1 =
(x 2-x1)
(0.0910804-(-.0.0620086)) = 0.5102968=P12
0.3
(x-x2)P3-(x-x3)P2
(x 3-x1)
=
(-0.02818186-(-.0.18216088)) = 0.5132634= P23
0.3
(x-x3)P4-(x-x4)P3
(x 3-x1)
=
(-0.04414492-(-.0.19727302)) = 0.5104270= P34
0.3
Usando la formula de neville para determinar el k-esimo termino
de la n-esima columna, tenemos:
K
0
𝑿𝑲
1.0
𝑷𝟎 = 𝑭(𝑿𝑲 )
𝑷𝒌,𝒌+𝟏
𝑷𝒌,𝒌+𝟐
𝑷𝒌,𝒌+𝟑
𝑷𝒌,𝒌+𝟒
0.7651977
0.5233449
1
1.3
0.6200860
0.5124715
0.5102968
2
1.6
0.4554022
0.5118127
0.5112857
0.5132634
3
1.9
0.2818186
4
2.2
0.1103623
0.5118302
0.5137361
0.510427
0.5118200