Transcript 01- Limit Pengantar.ppt

ITK-121
KALKULUS I
3 SKS
Dicky Dermawan
www.dickydermawan.890m.com
INTRODUCTION
Kalkulus dianggap ditemukan Isaac
Newton pada tahun 1665.
Sebenarnya adalah hasil
perjuangan intelektual selama
sekitar 2500 tahun
Adalah ilmu tentang perubahan
Differensial
KALKULUS
Leibniz
Integral
Pengantar Kalkulus







Sistem bilangan real
Aljabar: Nilai mutlak, bentuk akar, persamaan,
pertidaksamaan
Sistem koordinat
Geometri Analitik
Fungsi: real, aljabar, trigonometri
Limit dan kontinuitas fungsi
KALKULUS DIFFERENSIAL
KALKULUS INTEGRAL
Fungsi
input
x
Proses
2x2 + 1
1
2
output
f(x)
3
9

Setiap input yang masuk selalu
menghasilkan satu harga tertentu

Bila input berubah umumnya output
berubah
LIMIT: Harga Batas Suatu Fungsi



Perubahan mempunyai arah
tujuan
Bila input semakin dekat dengan harga tertentu, maka umumnya
output akan mendekati harga tertentu
Harga tertentu inilah yang dinamakan harga batas fungsi itu
Contoh 1. f(x) = 2x2 + 1
bila x makin dekat ke 3, maka apa yang terjadi dengan f(x)
Hasil percobaan:
2.9
2.99
2.999
3
3.01
3.01
3.1
19
Ditulis lim (2x2 + 1) = 19
x
3
Makin dekat ke x sama sekali tidak ada kaitannya dengan f(x) di titik itu
• Contoh 2
x3 1
lim 2
x 1 x  1
Tidak bisa dihitung dari nilai f(x) dengan
subtitusi x =1
karena nilainya 0/0
Tetapi disini kalkulator berhasil
Yang tidak pernah gagal adalah pendekatan matematika yang
sah
0/0 adalah tidak jelas maka perlu diperjelas
0
1
0.9
1.426
0.99
1.4925
0.9999
1.49992
1
1.5
1.0001
1.500075
1.01
1.5075
1.1
1.57
2
7/3
x3 1
( x  1)( x 2  x  1) 12  1  1 3
lim 2
 lim


x 1 x  1
x 1
( x  1)( x  2)
1 2
2
• Contoh 3
lim  x 2  cos x  
x0
x

10000 
-1
-0.1
-0.01
0
0.01
0.1
1
0.99995
0.00990
0.000000009
0
0.085
0.00990
0.99995
• Makin dekat x ke 0, x2 makin dekat ke 0 cos x
makin dekat ke 1
1
1
cos x 

x


lim


• Sehingga x  0  10000  0  10000  10000
2
• Contoh 4
Pendekatan yang bagus adalah
menggambar grafik
2x 1
lim
x 0
x
Limit dari satu sisi: Limit kiri & limit
kanan
x
lim  ?
x 0 x
x
lim  ?
x 1 x
Latihan
lim ( x 2  3x  1) 
x 2
lim 2 x  5x  3 
2
x 3
x9
12  x 2
lim

4
x 3
x
lim
x  3x  4
lim

x 1
x 1
x2  x  6
lim

x 2
x2
2
x 9
x 3

Latihan
x  sin x
lim

3
x 0
x
2

(1 h )  1

lim
h 1
h
1  cos x
lim

x 0
x
1 1

lim x 2 
x2 x  2
1  cos x
lim
2
x 0
x
lim 64 
x
x 0
Latihan
3 3
lim

x
x 1
2
x
3 2
lim

x 0
x
x
x
lim (1  x)
1/ 2
x0