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数的扩充
与
复数的引入
复数的概念
高州市第一中学
曾静
问题情境
我们在求一元二次方程的根的时候,常
常会遇到一些没有实数根的例子。例如：
问题1
问题2
问题3
解方程
解方程
解方程
x²+1 = 0
x²+2 = 0
(x+1)²+2 = 0
数的概念的发展
整数
有理数
实数
正整数
零
负整数
分数
无理数
 数的概念产生于生产实践，并随着生产和科学
技术的发展而逐步扩展。
 随着新的数的概念的建立，数集也得以扩展。
 数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能实
施的矛盾。
问题1
问题2
问题3
解方程
解方程
解方程
x²+1 = 0
x²+2 = 0
(x+1)²+2 = 0
虚数单位i，规定：
(1) 它的平方等于-1，即i ²= -1
(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则
运算时，原有的加、乘运算律仍成立。
问题2
x = 2i
x =- 2i
问题3
x = -1+ 2i
x = -1– 2i
复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数
a—实部
b—虚部
练习 :
说出下列复数的实部和虚部 :
1
2
1)、 2  i ,
2)、 2  i ,
3)、 ,
3
2
4)、 3i ,
5)、i ,
6)、0
对于复数a+bi， 当且仅当b＝0时，它是实数
特别地，当a＝0，b＝0时，它是实数0
当且仅当b≠0时，它是虚数
特别地，当a＝0，b≠0时，它是纯虚数
实数 (b=0)
数
系
的
扩
充
复
数
集
复数
a + bi
(a,b∈R)
纯虚数 (a=0)
虚数 (b‡0)
非纯虚数 (a‡0)
虚数集
复数集
实数集
纯虚数集
练习：指出下列各数中，并说出哪些是实数、
哪些是虚数及哪些是纯虚数，为什么？
① 3+2i
2
② i
④ 5
⑤
1

2
⑦ 3i
⑧
0
③ 0.7-0.2i
3i
⑥
i
⑨ -2i
例1、m分别为何实数时,复数Z=(m+1)+(m-1)i
(1) 是实数？(2) 是虚数？(3) 是纯虚数？
当且仅当b＝0时，它是实数
对于复数a+bi， 当且仅当b≠0时，它是虚数
特别地，当a＝0，b≠0时，它是纯虚数
练习:已知i是虚数单位,复数Z=m²-3m+2+(m-1)i
当m取什么实数时，Z是
1）实数
2）虚数
3）纯虚数
在复数集C={a+bi|a ∈R，b ∈R}中任取两个
复数a+bi,c+di,(a,b,c,d ∈R)我们规定：
a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d
例2、如果(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，
求实数x，y的值。
练习：已知x²-3x+2+(x²+2x-8)i=0，求实数x的值。
特别地:a+bi=0
a=b=0
注：一般地，两个虚数只有相等与不相等两种关系，
不能比较大小。例如：1+i与2+3i不能比较大小。
小结＆作业
 小结：1、数的扩充
2、复数的概念
 作业：P65
习题
1、2