Transcript 复数的运算

复数的运算
复数的几种表示方法：
代数表示: Z=a+bi(a,b∈R)
几何表示:复平面上的点Z(a,b)
向量表示：
b
o
y
Z (a ,b)
a
o z 即表示z=a + bi
x
定义
设z1=a+bi,z2=c+di,加法规则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
两个复数的和仍然是复数,实部与实部
相加,虚部与虚部相加.
例题
(1) (4+5i)+(2+3i)=(4+2)+(2+3)i= 6+5i
(2) (m+n i)+(6 + 7 i)=(m+6)+(n+7)i
几何意义
在物理学上，若已知两个不在同一直线上的两
力，则合力的求法为：
y
F
F1
o
F2
x
这便是平行四边形法则
复数的加法是
否可以用这个
法则呢？
y
z
z1
o
oz
故，
z2
Q P
S
R x
即为(a+c)+(c+d)i对应的向量
两个复数相加,即为它们对
应的向量相加.
注意：
若两复数表示的向量在同一直线上，则我
们可以画一个压扁了的平行四边形，并据
此来画出它的对角线来表示两向量的和。
如图：
y
o
z
z1
z2
Z
z1
x
z2
复数的减法规定为加法的逆运算：
定义 设z =a+bi,z =c+di,减法规则:
1
2
Z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(bd)i
两个复数的差仍然是复数,实部与实
例题部相减法,虚部与虚部相减.
1.（5 + 4 i)- (3 + 2 i)= (5-3)+(4-2)i =2+2i
2. (5 – 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i)
=(5-2-3) +(- 6-1-4 ) =-11i
i
几何意义
两个复数相减法,即
为它们对应的向量相
减.
y
oz1  oz2  z2 z1
oz1
z1z2
o
oz2
x
据复数的几何意义及向量表示，求复
平面内两点间的距离公式。
解：在复平面x o y内：
z1  a  bi, z2  c  di
_z
就是复数z
z
z
则 1 2
2 1
y
z2
对应的向量。
d=
z1
z2  z1  z1 z2
o
 (a  bi)  (c  di) （a  c)  (b  d )i
 （a  c)  (b  d )
2
2
x
复数乘法：按二项式相乘法则进行，
把i2换成-1,然后把实部和虚部分别
合并．
Z1·Z2=(a+bi)·(c+di)
=ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
复数乘方：用二项式定理展开计算．
复数除法：分子、分母同乘以分母的
共轭虚数，根据z·z =|z|2,使分母
实数化。
z1 a  bi (a  bi )(c  di )


z2 c  di (c  di )(c  di )
ac  bd bc  ad
 2

i
2
2
2
c d
c d
复数开方：一般只限于开平方．
在复数运算时应记忆下面的内容：
1
①  i
②(1+i)2=2i，(1-i)2=-2i，
i
2i的平方根为±(1+i)， -2i的平方根为±(1i)
2=x2-y2+2xyi．
③(x+yi)
1 i
④ 1 i
z
 i;
1 i
 i
1 i
1
3
⑤z·
=|z|2
 
i
2 2
⑥设ω为1的立方虚根，ω= 
则：ω3=1，1+ω+ω2=0，ω2=
1.已知f ( z)  1  z, z1  2  3i, z2  5  i, 求f ( z1  z2 )
解：z1  z2  (2  3i)  3  4i
 z1  z2  3  4i
则f (3  4i)  1  ( 3  4i)
 1  3  4i
 4  4i
2.根据复数的几何意义及向量表示，
求复平面内圆的方程。
解：在复平面x o y内：
设圆心为p ，点p 与复数p=a + bi 对应，
圆的半径为r, 圆上任意一点z y
那么 z 
p r
就是复平面内圆的方程。 o
Z
p
x
例3．（1）计算：
(2  2i)
4
(1  3i)
5
( 2  2i) (4  5i)
（2）
(5  4i)(1  i)
3  i 1  3i 8
（3）
(

)
2
2
3
(1  3i)
（4）
10
求的展开
式中
所有的奇数项的和。
例4：已知f(z)=z4+4z3+8z2+8z+5,
1  2i
求：f(
)的值。
分析：由z=-1+ 2 i，得z+1=2
i，
所以把f(x)化成关于(z+1)形式，就容易
解题
解：原式
=(z4+4z3+6z2+4z+1)+(2z2+4z+2)+2
2+2
=(z+1)4+2(z+1)
2
2
∵z=-1+
i，
2i，∴z+1=
2
∴f(-1+i)=(
i)4+2(
i)2+2=2，
例5：求5-12i的平方根．
解：设5-12i的平方根是x+yi(x，y∈R)

x

y

5
代入(x2-y2)+2xyi=5-12i,则
2 xy  12
2
x  3
解得: 
 y  2
2
 x  3
 或
y  2
所以5-12i的平方根是±(3-2i)
1
例6：设z是虚数，ω=z+ z
，
且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
1 z
(2)设 u 
1

z
纯虚数；
(3)求ω-u2的最小值.
,求证：u为