Transcript 复数概念

复数的有关概念
一.虚数单位i
(1)定义i2=-1，所以-1的平方根为±i．
(2)i可以和实数进行四则运算，并适合交
换律、结合律、分配律.
(3)i的幂具有周期性：
i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i,(n∈Z)
2. 复数的概念：
形如z=a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，
其中a是复数z的实部，记Re(z)；
b是复数z的虚部，记Im(z).
复数的有关概念
3．复数的相等
两个复数的相等的充要条件是：当且仅
当实部相等且虚部相等。
设z1=a+bi,z2=c+di，（a,b,c,d∈R）
当且仅当a=c，且b=d时，z1=z2.
4．复数的分类:
实数（b=0)
复数

虚数(b  0)--纯虚数(a=0且b  0)
数集之间有如下的关系：N
C。
 Z
R

Q
从复数相等的定义,我们知道,任何一个复
数z=a+bi,都可以由一个有顺序的实数对(a,b)
唯一的确定.这就可以借用平面直角坐标系来
表示复数z=a+bi.
点z的横坐标是a,纵坐标是b.复数
z=a+bi可以用点z(a,b)来表示复数z=a+bi也可
以用向量
OZ来表示。
y
Z=a+bi
b
0
a
x
复数的有关概念
5．复数的几何意义
复数z=a+bi对应于直角坐标平面上的点Z
（a,b），复数也可以看成向量OZ。
复平面：表示复数的直角坐标平
面叫复平面。
实轴就是x轴,虚轴就是y轴。
实数与实轴上的点是一一对应；
纯虚数对应的点在虚轴上,
但虚轴上的点不一定就是纯虚数。
复数集C
一一对应
复平面内所有点
复数的有关概念
6．复数的模
复平面上复数表示的点到原点的距离。
实数的绝对值是数轴上的点到原点的距离，
所以复数的模是实数绝对值概念的扩充；
两个复数差的模|z1-z2|可以理解为平
面上两点间的距离。
复数的模有：
2
2
|z|=|a+bi|= a  b
≥0;
|z|2=|z2|=| z |2=z· z =a2+b2
复数的有关概念
7．共轭复数：实部相等，虚部为相反数的两
个复数叫互为共轭复数，
z=a+bi, 则 z =a-bi
• 实数的共轭复数是它的本身。两个互为共轭
复数在复平面上对应的关于实轴对称。
8 ．复数的大小问题
在复数集中是不规定大小关系的。
两个复数如果不全为实数，是不能比较它
们的大小的。
例1. 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,
其中x,y∈R .求x,y.
解:根据复数相等的定义.得方程组
2x-1=y
1=-(3-y)

x=5/2 , y=4
例2：计算：1+i+i2+i3+…+i55．
分析一 ：把上式看成一个以i为公比的等比
数列,前56项的和，由等比数列的求和公式，
1 i
1 1
0
原式= 
1 i 1 i
56
分析二 ：因为i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，
即i的连续四个幂的和等于0,
从1到i55，共有56项，所以, 原
式=0．
例3：计算： i·i2·i3·…·i99
解法一 ：原式=i1+2+3+…+99
=i99·50=(i50)99=(i2)99=-1
解法二：因为i·i2·i3·i4
= i·(-1)·(-i)·1 =1
原式=i·i2·i3·…·i99
= i·i2·i3·(-1)16 =1．
2m  3m  2
例4.z=
m4
2
-(m2-4)i,
(m∈R)
(1)若z∈R，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的取值范围；
(3)若z在复平面上对应的点在第三象限
求m的取值范围；
(4)若z= -2，求m的取值范围．
解：（1）由m2-4=0,得;m=±2；
 2m2  3m  2
0

(2)  m  4
m2 ；
 4 0
 2m2  3m  2
0

m4

2

(3) m  4  0
1
2
得:m=-

m∈(-
∞,-2)∪(2,4)
2
 2m  3m  2
 2

m4

m 2  4  0


例5：判断对错
(1)若z1，z2∈C，且z1＞z2，则z1-z2＞0
(2) 若z1，z2∈C，且z1-z2＞0，则z1＞z2
(3)若a＞b，则a+i＞b+i
(4)若z∈C，且|z|≤1，则z∈[-1，1]；
(5)若z∈C，且|z-1|2=(z-1)2
（6）若z1,z2∈C，且z12+z22=0的
充要条件是z1=z2=0。
(1)对；(2)错；(3)错；(4)错；(5)错；(6)错；
例6：下列四个命题中正确的命题是
（A）2i-1的共轭复数是2i+1；
（B）若两个复数的差是纯虚数，则
它们一定为共轭复数；
（C）若两个复数的和是实数，则它
们为共轭复数；
（D）若两个复数的和与积都是实数，
则它们为共轭复数；
例7：已知关于x、y的方程组
(2 x  1)  i  y  (3  y)i

(2 x  ay)  (4 x  y  b)i  9  8i
有实数解，求实数的a、b值。
解：∵x、y是实数，根据复数相等
的条件，得方程：
5

2 x  1  y
x 

2

1  (3  y )  y  4

代入另一式：
（5+4a）-(6+b)i=9-8i;
∵a、b是实数，
5

4
a

9
a

1


∴

6  b  8
b  2
z
例8：已知虚数z，使得 z1 
2
1 z
2
z
和 z2 
求z. 1  z
都为实数，
解：设z=x+yi(x,y∈R，且y≠0)，
则 z2=x2-y2+2xyi
2
2
2
2
∴ z  x( x  y  1)  (1  x  y )i
1
2
2
2
2 2
( x  y  1)  4 x y
∵z1∈R，∴Im(z1)=0，又y≠0，
x2+y2=1，
∴同理，由
z2∈R,Im(z2)=0.∴x2+2x+y2=0
1
3
3
1
 
i

解得:x=,y=
；∴z=
2 2
2
2
评析：复数问题实数化是解决复数问
题最基本也是最重要的思想方法。
桥梁是设复z=a+bi(a,b∈R），
再根据复数相等的条件来解。
例9:设x∈C，解方程x2+|x|=0．
分析:x∈R，因为x2≥0，|x|≥0，
所以x=0．
x∈C，显然这一解法就不完善．因此
在解题时，要充分考虑复数的特点．
x2+|x|=0,
x2=-|x|≤0，
所以x是纯虚数，
又|x2|=|x|，
∴|x|=0或 |x|=1，
因此x=0，±i．
例10：求同时满足两个条件的所有
复数z.
10
(1)1<z+ z
≤6；
（2）z的实数和虚数都是整数。
10
z
• 分析：由1<z+
≤6
10
知：z+ z ∈R，否则是不能与实数
比较大小，所以，可以复数问题
实数化来解决。
解：设z=x+yi(x,y∈R)
10
10
则：z+ z = x+yi+x  yi
)i，
∵1<z+
10
z
10x
=(x+
x2  y2
10 y
)+(yx2  y2
≤6，∴得：y=0或x2+y2=10
10
10
若y=0，代入，得：
x
x
2 10
1<x+
≤6,而x+
≥
>6矛盾，
∴y≠0;
若x2+y2=10，代入，得：
0.5<x≤3，又x、y是整数
∴x=1或x=3，
∴z=1±3i或z=3±i。