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수학2조 발표 함 수 200702001 강명구 200702016 오주하 200702019 윤주혁 들어가며... ‘수학은 패턴의 과학’ I.함수의 정의 함수의 개념은 변하는 두 양의 관계를 수학적 으로 받아들이는 데에서 발생하였다. 2개의 집합 X, Y에서 X의 각 원소x가 Y의 단 하나의 원소y에 대응되는 관계를 X에서 Y로의 함수라고 한다. II.함수 지도의 의의 초등수학에서는 함수 그 자체를 가르치는 것이 아니라 함수적인 사고를 배양하는 데 목적이 있다. II.함수 지도의 의의 함수적인 사고 배양을 위한 과정 ① 하나의 양이 변하면 그에 따라 다른 양이 변한다 이해시켜야 함 는 것을 ② 2개의 집합 X,Y에서 서로 대응하는 원소를 발견할수 있도록 함. ③ 대응의 규칙성을 발견할 수 있도록 함. ④ 대응관계를 말이나 식으로 표현할 수 있게 함. ⑤ 함수적인 관찰에 의해 문제를 해결할 수 있게 함 III.함수의 역사적 발달. 1) 전 함수 단계- 천체운동과 천체의 주기성을 이해 2) 기하적 함수 단계(17세기)- 곡선과 관련한 기하적 함수 3) 대수적 함수 단계(18세기)- Vieta의 문자 대수와 방정식론, Descartes의 해석기하학을 기초 4) 논리적 함수 단계(19세기)- 한 변수의 각 값에 다른 변수의 유일한 값이 대응되느냐의 논리적 조건에 관심을 갖음 5) 집합적 함수 단계(20세기)- 공리적 집합론에 기초로 함수를 정의 함. IV.함수 교수․학습 관련 연구 1) 함수의 여러 측면과 함수의 도입 종속성이란 변화하는 현상에서 두 변수 사이 의 종속 관계를 의미하는데, 이는 함수가 역사 적으로 발생하게 된 근원이라고 할 수 있다. 대응이란 두 집합 X,Y가 있을 때, 임의의 x∈ X 에 대하여 유일한 y가 존재한다는 것을 의미한 다. IV.함수 교수․학습 관련 연구 2) Fredenthal의 교수학적 현상학에 따른 함수 지도 증가와 포물선 주기적 지수적 대응과 감소에 운동과 변화와 성장과 사상에 관련된 관련된 관련된 관련된 관련된 현상 현상 현상 현상 현상 IV.함수 교수․학습 관련 연구 3) Krabbendam의 질적 접근에 따른 함수 그래프 지도 공간에서 초점을 두는지에 따라 점별접근, 국소적 접근, 전체적 접근으로 구분 수치적인 값에 초점을 두는지에 따라 양적접근, 질적접근으로 구분 IV.함수 교수․학습 관련 연구 4) Janviar의 번역 활동에 따른 함수 지도 5) 함수 학습의 인식론적 장애 V.‘규칙성과 함수’ 영역의 지도목표 규칙성과 함수 1단계 2단계 3단계 4단계 5단계 가 - 규칙적인 배열에서 규칙 찾기 나 - 자신이 정한 규칙에 따라 배열하기 - 1~100까지의 수 배열표에서 규칙찾기 가 - 다양한 배열의 규칙 찾기 - 1~100까지의 수 배열표에서 뛰어넘는 규칙찾기 나 - 곱셈 표에서 여러가지 규칙 찾기 가 나 - 규칙에 따라 여러가지 무늬 꾸미기 가 - 다양한 변화의 규칙을 수로 나타내고 설명하기 - 규칙을 추측하고 말이나 글로 나타내기 나 - 규칙과 대응 가 - 여러가지 이동을 이용하여 규칙적인 무늬 만들기 나 가 - 비와 비율 - 비례식 나 - 규칙과 대응 - 연비와 비례배분 6단계 함수 교수-학습 실제 I. 교육 과정의 이해 II. 교과서의 이해 III. 수업의 이해 IV. 공학적 도구의 활용 I. 교육과정의 이해 1. 우리나라 교육 과정의 함수 함수 내용과 관련해서 초등학교에서 다루는 규칙 성을 기초로 중학교에서는 변화 현상을 기초로 함 수 개념의 도입과 더불어 다양함 함수의 성질을 알아보고 고등학교에서는 지금까지 학습한 함수 의 내용을 심도있게 다룬다. 이러한 과정을 통해서 실생활, 자연 현상, 사회 현 상 등에서 찾아볼 수 있는 다양한 변화 현상 등을 수학적으로 이해하고, 더 나아가서는 수학의 여러 분야를 통합하는 핵심적인 아이디어임을 이해하 도록 하는 것이 함수 교육을 통해서 지향해야 할 함수적 사고라 할 수 있다. 2. NCTM Standards의 함수 우리나라 교육과정과 유사하지만, 저학년에서 는 변화 현상에 대한 질적인 표현을 강조하고 학년이 높아짐에 따라 양적인 표현, 더 나아가 서는 기호표현을 강조하고 있는 점에서 차이가 있다. 또한 여러 가지 함수 중에서 비례인 것과 비례가 아닌 것을 구분한 수에 비례가 아닌 것 을 좀 더 세분화하여 지수함수, 다항함수, 유리 함수, 로그함수, 주기함수 등으로 지도하고 있 음을 알 수 있다. II. 교과서의 이해 1. 학습지도 2. 함수 개념 3. 함수 유형 의 전단계 의 도입 과 맥락 4. 함수 표현 과 번역 5. 함수연산 1. 학습지도의 전단계 본격적인 함수 지도에 앞서 초등학교에서는 전 단계에 해당되는 내용이라 할 수 있는 규칙과 대응을 다루고 있다. 2. 함수 개념의 도입 제7차 교육과정에 따른 수학 교과서에서는 함수 개념을 교육과정에 제시된 유의점에 따라 도입하 고 있다. 예를 들면 탐구활동을 통해 정비례와 반 비례의 의미를 도입하고 이러한 과정을 통해 ‘x, y 와 같이 여러 가지 값을 가질 수 있는 문자를 변수’ 라고 하고, ‘두 변수 x,y에 대하여 x의 값이 결정 됨에 따라 y의 값이 하나로 결정될 때, y를 x의 함 수라고 한다.’와 같이 함수를 정의하고 있다. 함수 개념은 변화 현상, 특히 정비례와 반비례 현 상을 중심으로 변수의 의미를 강조하며, 함수 개념 과 용어가 도입된다. 3. 함수 유형과 맥락 일차함수 이차함수 유리함수와 무리함수 삼각함수 지수함수와 로그함수 4. 함수 표현과 번역 함수를 표현하는 방식은 상황-언어적 표현, 표, 그래프, 공식 등이고, 이들 간의 번역 활동으로 그래프 개형 그리기와 해석하기, 점 찍기와 점 의 좌표 읽기, 측정하기와 공식 알아내기, 매개 변수 인식하기, 대수적 모델링 등이 있다. 5. 함수 연산 함수 연산은 중요하지만 그 중에서 합성과 역 은 역사적 발생에서도 살펴보앗듯이 수학의 발 전에 매우 중요한 내용이다. 함수 연산 중 합성 과 역게 초점을 맞추어 알아야 한다. III. 수업의 이해 수업계획 학생들의 예상 반응 수레의 이동 시간과 속도 그래프의 이해 수레의 이동 시간과 거리의 그래프 이해 수레의 이동 시간과 거리 그래프에서 종이테이프의 높 이, 가로축, 세로축의 이해 수레의 이동 시간과 거리의 그래프에서 기울기의 의미 이해 수레의 이동 시간과 거리의 관계식 구하기 IV. 공학적 도구의 활용 Excel 프로그램을 활용한 함수의 성질 이해 • 이차함수 • 삼각함수의 그래프 • 합성함수의 그래프 Excel 프로그램을 활용한 수학적 모델링 • 문제상황 • 관계식 구하기 • Excel로 변화의 특성 탐색하기 끝으로 함수적 사고는 수학적 사고의 혼이고 심장이 다.(Klein) 학교수학에서는 함수적인 관점에서 함수를 해석 하고 문제해결하는 사고능력을 지도하여야 할 것이다.