Transcript 순환소수

1. 극한과의 만남 : 순환소수
순환소수의 예
성명
박노준
김건우
김봉연
타수 안타
타율계산
타율
10
2

15타수10안타 15 3  0.6666    0.667
0.667
15타수5안타
5
1
  0.3333    0.333
15 3
0.333
14타수6안타
6 3
  0.428571428571   0.429
14 7
0.429
순환소수의
분수표현
1
0.3333    0.3
x  0.3333   
10 x  3.3333   
9x  3
x 
3 1

9 3
2
0.9999    0.9
y  0.9999   
10 y  9.9999   
9y  9
y 1
0.999‥‥=1 의 엄밀한 증명 : ε–δ 방법
9
9
9


 
10 100 1000
1
1
1
1
 9
 9 2  9 3    9  n  
10
10
10
10
y  0.9999   
만일 y  1이라면,   1 y  0 이므로 충분히 큰 n을 잡으면
1
  이 성립하게 된다.
10 n
  9
1
1
1
1
 9  2  9  3      9  n 이라 하면
10
10
10
10
1
1  
   1 y  y    1       (*)
10 n
그런데, 는 y의 부분합이므로   y이다.
이것은 (*)와 모순이므로 y  1이다.
2. 수열의 극한
수열의 극한 : 직관적 정의
예
1
1 1
1
1
즉, 1,  , ,  ,    , 
, 
n
2 3
4
100
n이 한없이 커지면
an은 0에 한없이 가까이 간다 .
수열 an  (1) n 1
lim an  0
n 
수열의 극한 : 수학적 정의
lim a n  
n 
임의의 양수  에 대하여
충분히 큰 자연수 N 이 존재하여
n  N 인 모든 n 에 대하여
an     이 성립한다.
수열 an  (1) n 1
1
1 1
1
즉, 1,  , ,  , 은 수렴하는가?
n
2 3
4
1
일때,
100
N  101로 잡으면
n  101인 모든 n에 대하여
예를 들어,  
a5a3
a2 a 4
1
0
a1
1
1
1
1
0 


n
n
101
 lim a n  0
( 1) n 1
n 
3. 무한급수
무한급수의 정의
일반적으로
수열 {a n }에
대하여
S n  a1  a 2      a n
이라 할 때, 수열 { S n }의
극한값
lim S n을
n 
lim S n  a1  a 2  a3    
n 
와 같이
나타내고 무한급수라 부른다.
[예] 순환소수의 무한급수 표현
3
3
3


 
10 10 2
10 3
9
9
9
0.9999   


 
10 10 2
10 3
0.3333   
4. 무한등비급수
(1) 무한등비급수의 수렴과 발산
등비수열 an  ar n1 (a  0) 즉, a, ar, ar 2 ,    에 대한 무한급수

 ar
k 1
k 1
a

로 수렴
 r 1 
1 r
 a  ar  ar      
 r  1  발산

2
S n  a  ar  ar 2      ar n 1 이라 하면
S n  a  ar  ar 2      ar n 1
rS n 
ar  ar 2            ar n
   (1)
   (2)
(1)  (2) 로부터 (1  r )S n  a  ar n  a(1  r n )
만일 r  1이면

 ar k 1  a  a  a     이므로발산한다.
k 1
a(1  r n )
만일 r  1이면 S n 
이므로
1 r
a

r

1
일
때
:
lim
S

로 수렴한다.
n

n 
1

r

 r  1일 때 :
lim S n은 발산한다.
n 

(2) 무한등비급수의 예 : 순환소수
1
0.3333   
a
2
3
1
, r
10
10
0.9999   
a
3
3
3


 
10 10 2 103
3
3 1
 0.3333    10  
1
9 3
1
10
9
9
9


 
10 10 2 103
9
1
, r
10
10
9
 0.9999    10  1
1
1
10