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표본 이론
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표본조사와 전수조사
모집단
전수조사
표본 조사
모수
통계량
추정
* 표본의 대표성
(Representativeness)
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표본조사가 사용되는 이유
ⅰ) 신속성
ⅱ) 경제성
ⅲ) 세밀한 조사 가능
ⅳ) 전수조사 불가능
●무한한 수의 모집단
●모집단의 정확한 파악 불가
●파괴적인 조사
ⅴ) 정확도 증가
●비표본 오차 감소 (통제용이)
●조사대상의 오염 방지
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표본 설계 과정
모집단의 확정
표본 Frame 결정
표본 추출 방법 결정
① 모집단의 확정
ⅰ) 연구대상
ⅲ) 범위
ⅱ) 표본단위
ⅳ) 시간 등
② 표본 Frame 결정
▣ 표본 Frame 오차 : 모집단 ≠ 표본 프레임
표본의 크기 결정
표본 추출
ⅰ) 표본 프레임이 모집단내에 포함
ⅱ) 모집단이 표본 프레임내에 포함
ⅲ) 포함관계에 있지 않고 일부만 일치
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표본 추출 방법
Convenience sampling
비확률 표본 추출
Judgemental sampling
(Non-probability Sampling)
Quota sampling
표본 추출 방법
Simple Random sampling
Systematic sampling
확률 표본 추출
(Probability Sampling)
Stratified sampling
Cluster sampling
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▣ Probability Sampling
모집단을 구성하고 있는 대상의 표본 프레임을 이용하여 표본을 추출함으로써,
모집단내의 각 대상들이 선택될 확률을 미리 알 수 있는 표본 추출 방법.
추출된 모집단의 대표성의 정도를 정확히 파악할 수 있다.
▣ Non-probability Sampling
표본 프레임을 사용하지 않아서, 모집단내의 대상들이 선택될 확률을 사전에 알지
못하는 상태에서 표본이 선정되는 방법
표본 프레임을 알 수 없거나, 모집단의 규모가 큰 경우에 사용
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Non-Probability Sampling
▣ Convenience Sampling : 임의로 선정한 지역과 시간대에 조사자가 원하는
사람을 표본으로 임의 선택
●표본 선정의 편리성에 기준
●장점 : 비용/시간 절약
●단점 : 모집단을 대표할 수 없음
●활용 : 탐색단계나 사전조사에 이용
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▣ Judgemental or Purposive Sampling : 조사자의 판단에 의해 조사 문제를 잘
알고 있거나, 모집단의 의견을 반영할 수 있을 것으로 판단되는 특정 집단을 표본
으로 선정하는 방법
●조사자가 표본의 구성에 대해서 잘 알고 있는 경우
●무작위 표본추출 시 야기될 수 있는 모집단을 대표하지 않는 선정을 방지
▣ Quota Sampling : 미리 정해진 분류 기준에 의해 전체 표본을 여러 집단으로
구분하고 각 집단별로 필요한 대상을 추출하는 방법으로 일반 마케팅 조사에서
널리 사용
●목적 : 일정특성을 지닌 표본 요소의 구성비율이 동일 특성을 가진 모집단
구성 비율과 일치하도록 표본 추출
●가장 정교하고 널리 사용되는 방법
●강점 : 저 비용으로 대표 표본 획득 가능
●전제 : 모집단에 대한 사전 지식
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Probability Sampling
▣ Simple Random Sampling : 표본 프레임내의 각 표본들에 대해 일련번호를 부여
하고, 이를 이용해 일정 수의 표본을 무작위로 추출하는 방법
●모든 표본 단위의 선택 확률이 동일
▣ Stratified Sampling(층화 표본 추출법) : 모집단을 어떤 기준에 의거하여,
서로 상이한 소집단(strata)으로 나누고 이들 각 소집단들로 부터 표본을 무작위로
추출하는 방법
● Proportionate stratified Sampling : Strata의 크기가 모집단의
strata 비율과 비례
● Disproportionate stratified Sampling : Strata의 크기가 모집단의
Data 비율과 불비례
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Quota Sampling : 소집단내에서 비확률 표본 추출
Stratified Sampling : 소집단내에서 확률 표본 추출. 모집단이 다양한 특성을
가진 경우, Simple Random sampling보다 오히려 추출된 표본
이 모집단의 특성을 더 잘 반영
▣ Cluster Sampling (군집 표본 추출) : 모집단을 소집단(Cluster)으로 나누고 일정수의
소집단을 무작위적으로 표본 추출한 다음, 추출된 소집단내의구성원을 모두 조사함
●장점 : 소요 시간과 경비 절감
●단점 : 선출된 집단내 표본들이 인구통계학적 특성에서 동질적이면 모집단의
특성을 충분히 대표하지 못한다.
● Systematic Sampling : 군집 표본 추출의 하나로 전체 표본에 대해 일정한 간격을
두고 표본단위를 선정하는 방법
● Area Sampling : 집단 분류의 기준으로 지리적 구역이나 행정 구역을 이용
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통계의 기초와 표본의 크기
(1). 통계적 추론의 개념
■ 기술 통계학 Vs. 추론통계학
① 기술통계학 (Descriptive Statistics) : 조사의 목적에 맞도록 자료를 수집,
요약함으로써 관찰치의 분포, 중심화 경향치, 산포도 측정치 등이나 상관분석 또는
회귀 분석을 실시하는 방법론.
② 추론통계학 (Inferential Statistics) : 하나의 표본으로부터 그것이 추출된 모집단의
특성치를 추정함으로써 모집단의 특성을 일반화 시키기 위한 방법론.
○ 모수의 추정과 통계적 가설검증이 핵심
모집단의 크기, 평균, 분산, 표준편차 등을 말함.
표본 통계량 - 표본의 크기, 평균, 분산, 표준편차 등을 지칭.
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(2) 통계량의 확률분포 (표본분포)
: 평균이 μ, 표준편차가 б, 크기가 N인 모집단으로부터 표본크기가 n인 표본들로부터
구해진 표본 통계량의 확률 분포를 표본분포 (Sampling Distribution)이라고 함.
1) 정규 모집단 (Normal population)
: 어떤 변수에 대해 정규 분포를 이루는 모집단을 정규 모집단이라함.
① 정규 분포란?
● Symmetric distribution ─┐→ bell - shaped
● Unimodal distribution ─┘
● ± ∞ limit을 갖는다
● 확률 분포 :
1
f(x) = ___________ e- (x - μ)²/2б²
б2∏
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f(x) → density
│
│
│
│
│
│
└─────────────
(X)
* Standard Normal Distribution
: μ = 0, б = б²= 1 Normal Distribution 즉, N (0,1)
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* 모수와 통계량의 계산공식
평
모집단
표 본
X 의 표본분포
p 의 "
p
균
분 산
1
μ = ── ∑xi
N
1
б²= ── ∑(xi-μ)²
N
1
X = ── ∑xi
n
μ
μ
X
p
=μ
1
S²= ── ∑(xi -x)²
n
б²
x
=P
б²
N-n
= ─── ───
n
n-1
б²
p
P(1-P) N - 1
= ─── ───
n
N-1
는 표본의 비율 (P : 모집단의 비율)
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μ x = μ (표본평균의 평균)
б
N-n
бx = ─── . √───
N–1
√N
N-n
√─── 을 유한 모집단의 수정계수라고 한다.
N-1
만약, 무한모집단 이거나 유한 모집단의 경우 n이 N의 5% (또는10%)보다 작으면
N-n
√─── = 0
N-1
즉, 평균이 μ, 표준편차가 б인 정규 무한 모집단으로부터 크기가 n인 표본을
추출한다면 그들의 평균 ( x )들은 평균이 μ, 표준편차가 б x인 정규 분포를 따른다.
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◎ Z - Score (Normal Deviate : 정규 편차)
f(X)
│
│
│
│
│
│
│
│
└┼────┼────--─┼────┤
X
6.25 18.75 25 31.25
43.75
X-μ -18.75 -6.25 0
6.25
18.75
-3
-1
0
-1
3
: Xi가 평균 이상 혹은 이하 일때의 S.D의 숫자
X-μ
Z = ───
б
43.75 - 25
EX) Z = ───────
6.25
● Z - Score는 f(x)를 Standard Normal Distribution이 되도록 X를 transformation하기 위한
transformation Equation
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2) Non - Normal Distribution의 경우
: 표본의 크기가 큰 경우 (n ≥ 30)라면 표본평균의 분포는 평균이 μ, 표본오차가 б
x
인 Normal Distribution에 접근한다.
→ Central Limit Theorem
이러한 경향은 표본의 크기가 클수록 강하다.
즉, 모집단 분포 특성과 관계없이, 표본의 크기가 크다면 표본평균의 확률분포는
일반적으로 Normal Distribution으로 간주.
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(3). 표본오차의 평가
표본조사의 신뢰성 (Reliability) : 표본오차의 크기로 평가된 표본조사의 Quality
타당성 (Validity) : 표본자료가 계산과정이나 기타 외생적 요인에 의해 영향을 받지
않는 정도.
1) Confidence Interval (신뢰구간) = 표본 평균 ± E
* Standard Normal Distribution의 경우
X-μ
Z = ────
б
개별값들의
68%
X-μ
± 1.96 = ────
б
X = μ ± 1.96 б
P [μ - 1.96б < X <μ + 1.96б] = 95%
─┼-─-┼──┼────┼──┼──┼─
-3
-2
-1
0
1
2
3
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Z
Normalized
개별값들의
X 들의
68%
68%
(표준화)
μ-2б μ±б μ μ+б μ+2б
-2 -1
0
+1
+2
즉, X = μ ± 1.96б
→ μ - 1.965б < X < μ + 1.96б
X - 1.96б < μ < X + 1.96б
∴ 모집단의 평균 μ 는 95% 확률로써
평균 X -1.96б에서 X+1.96б이다.
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◎ 모집단의 분산이 알려지지 않은 상태에서 모수를 추정하기 위해서는
n≥ 30 → Normal Distribution
n < 30 → t - distribution에 가깝다.
(표본 크기가 작을수록, 표본평균의 표본오차가 커지므로
X-X
t = ──────
S/√n
(4). 표본의 크기와 효율성
○ 표본의 크기가 증가할수록 표본의 평균 (X)들이 진정한 모집단 평균 ( μ )의 주위에 가깝게 분포한다.
○ 표본크기의 한계효과 (Marginal Effect)
: 표본의 크기가 커짐에 따라 표본 오차의 감소폭이 감소.
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(5). 표본크기의 결정
● (Step 1) 신뢰수준과 신뢰구간의 폭을 결정
- 마케팅 의사결정의 경우 95% 신뢰수준 사용.
- 신뢰구간 : 조사자의 결정
1) 모집단의 평균을 추정하기 위한 표본의 크기
Zχ . б
n = ( ────── )
E
n = 모집단 평균 추정을 위해 필요한 표본의 크기.
Z = 원하는 신뢰구간 χ에 해당하는 Z - 값.
б = 모집단 평균에서 추정된 표준편차의 값.
E = 수용 가능한 표본 오차의 값.
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● б 구하는 방법
① 유사시장, 유사제품에 관한 과거의 조사결과 이용
② 표본자료의 범위를 6으로 나눈 값을 표준편차의 추정치로 사용
(∵ Standard Normal Distribution에서 2~3이면 99.73 %가 포함됨)
③ 모집단으로부터 소규모의 시험표본을 추출하여 추정
2) 모집단의 비율을 추정하기 위한 표본의 크기
Zx
²
n = ( ─── ) p q
EP
P = 표본비율, q = 1 - P
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