Transcript (1) 자연로그함수의 정의

1. 일반적인 지수
a  0일 때, a x  ?

x : 자연수  a x  a
a 
a


x개

x  0  a0  1

x   m ( m : 자연수)  a  m 

n
n
x
( m, n : 자연수)  a m 
m

x
2  a

x    a  ?
2
?
1
am
m
an
2. 자연로그함수
(1) 자연로그함수의 정의
1
ln x : 1 dt ( x  0)
t
x
(2) 자연로그함수의 미분과 적분
1 미적분학의 기본 정리에 의해
1
 d
(ln
x
)


 dx
x

  1 dx  ln | x | C

 x
2
u  ln x, dv  dx







v  x, du 
 ln xdx  x ln x   dx
 x ln x  x  C
1
dx
x
3. 지수함수
(1) 지수함수의 정의
d
1
x1
x  0 : ln x  1 dt 
(ln x)   0
t
dx
x
즉, y  ln x는 증가함수이므로 역함수가 존재한다.
y  f ( x)  ln x  x  g ( y) : e y : ln 의 역함수
y  ln x
e : e1  1
e
1
dt  1
t
def .

x  ey
(2) 지수함수의 미분과 적분
역함수의 미분법을 이용하면
d
1
1
(e y ) 

 x  ey
d
1
dy
(ln x)
dx
x
d x

x
(
e
)

e


  dx

 e x dx  e x  C 


(3) 자연로그함수와 지수함수의 성질
1
ln( xy )  ln x  ln y
2
e xey  e xy
let .
1
let .
f ( x )  ln( xy), g ( x )  ln x  ln y ( y는 상수
)
1
1
 '
f
(
x
)


y


xy
x




 g ' ( x)  1



x


 ln( xy)  ln x  ln y  C
x  y  1: ln 1  1
1
2
1
dt  0
t
C  0
Exercise! ( x  e y가 y  ln x의 역함수임을 이용! )
4. 일반적인 로그함수
a  0, x  0, a  1: log a x :
1
d
1 1
1
(log a x) 


dx
ln a x x ln a
2
 log a xdx  
3
loga ( xy)  loga x  loga y
ln x
ln a
ln x
1
dx 
( x ln x  x)  C
ln a
ln a
5. 일반적인 지수함수
(1) 일반적인 지수함수의 정의와 성질
a  0, a  1: a x : e x ln a
1
d x
(a )  e x ln a  ln a  a x ln a
dx
2
1 x
 a dx  ln a a  C
3
a x a y  e x ln a e y ln a
x
 e ( x  y ) ln a  a x  y
a
2
: e
2 ln a
(2) 일반적인 지수/로그함수의 관계
일반적인 지수함수 y  a x와 일반적인 로그함수
y  log a x는 서로 역함수이다. 즉,
y  a x  x  log a y
y  a x  e x ln a  x ln a  ln y
 x
ln y
 log a y
ln a
6. 일반적인 다항함수
d c ? c 1
x  0, c  R  x  e

( x )  cx
dx
d c
c
c
( x )  e c ln x   x c   cx c 1
dx
x
x
c
1
2
3
c ln a
x
x
d
( 2 )  2 ln 2
dx
d
( x 2 )  2 x 2 1
dx
d x
d
( x )  (e x ln x )
dx
dx
1

 e x ln x  ln x  x  
x

 x x (ln x  1)
7. 지수/로그함수의 극한
?
e  lim(1 x)
1
x
x 0
ln(1 h)
 1만 알면,
h 0
h
lim
1
x
lim(1  x)  lim e
x 0
1
ln(1 x )
x
x 0
 e1  e
1
x
ln(1  h)
ln(1  h)  ln 1
lim
 lim
h 0
h 0
h
h
 f ' (1)  1
let .
 f ( x)  ln x  f ' ( x) 
a x 1
[Exercise!] lim
?
x 0
x
단원의 정리
•
•
•
•
•
•
자연로그함수 y  ln x 의 정의와 성질
지수함수 y  e x 의 정의와 성질
일반적인 로그함수 y  loga x 의 정의와 성질
x
일반적인 지수함수 y  a 의 정의와 성질
c
일반적인 다항함수 y  x 의 도함수
지수/로그함수의 극한