Transcript 전산수학

제4장 함수 (Functions)
 함수의 정의
 함수의 그래프
 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수
 여러 가지 함수
 순열
 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할
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4.1 함수의 정의
두 집합 X와 Y에서 함수 f는 집합 X에서 Y로의 관계의 부분 집합
집합 X에 있는 모든 원소 x 는 집합 Y에 있는 원소 중 한 개와
관계
함수 f 의 표기
f : XY
f 의 정의역 (domain) : X
Dom (f) = {x | (x, y) f, x  X, y  Y}
f 의 공변역 (codomain) : Y
f 의 치역 (range)
Ran (f) = {y | (x, y) f, x  X, y  Y}
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<예제4.1>
예제 4.1
예제4.1
공
변
다음의 관계가 함수인지 아닌지를 구분하고, 함수일 경우 정의역,
역
(1)
치
,
{(1,
(2)
역
a),
을
(1,
{(a,
구
b),
a),
(2,
(b,
하
여
c),
b),
라
(3,
.
b)}
(c,
c)}
(3)
{(x,
y)
|
x,
y

Z,
y
-
x
=
1}
(4)
{(x,
y)
|
x,
y

N,
y
-
x
=
1}
<예제4.2>
예제 4.2
A = {-1, 0, 1}, B = {1, 2, 3, 4}에 대한 관계가 {(x, y) | x A, y B, x
+ 3 = y}일 때 이 관계가 함수인지를 판별하고,
A의 원소들에 대한
함수값을 구하여라.
<예제4.3>
예제 4.3
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A= {-2, -1, 0, 1, 2}이고 f :A A가 f(x)= |x|일 때 Ran(f)를 구하여라.
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4.2 함수의 그래프
<정의
4.2>
정의 4.2
함수 f : A  B에 대한 그래프 G는 x A이고 y = f(x)인 순서쌍 (x, y)의
집합을
나타낸다. 즉, G는
G
<예제4.4>
예제 4.4
=
{(x,
y)
|
x

다음과
A,
표시하여라.
모든
B,
y
=
f(x)}
함수
f : R  R이다.
(2) y = x2
(1) y = x + 2
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
표현한다.
다음 함수의 그래프를 순서쌍의 집합으로 표시하고, 좌표
도면상에
(3) y = |x|
y
같이
(4) y = 2x
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4.3 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수
<정의
4.3> 단사 함수 (Injective function)
정의 4.3
함수 f : A  B에서 ai , aj A에 대하여 f(ai ) = f(aj )이면 ai = aj일 경우,
함 수
f
를
단 사
 ai , aj  A, f(ai ) = f(aj )

함 수 라
한 다 .
ai = aj
 1대 1 함수 (one-to-one function)
 f : A  B에서 Ran(f)  B
 |A|  |B|
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<정의
4.4> 전사 함수 (Surjective function)
정의 4.4
함수 f : A  B에서 B의 모든 원소 b에 대하여 f(a) = b이 성립되는
a  A가 적어도 하나 존재할 때 함수 f 를 전사 함수라 한다.
 b B, a A, f(a) = b
 반영 함수 (onto function)
 Ran(f) = B
 |A|  |B|
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<정의
4.5> 전단사 함수 (Bijective function)
정의 4.5
함수 f : A  B에서 f 가 단사 함수인 동시에 전사 함수일 때, 함수
f를 전단사 함수라 한다.
 1 대 1 대응 함수 (one-to-one correspondence)
 |A| = |B|
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그림 4.1
(a) 단사 함수
(b) 전사 함수
(c)전단사 함수
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<예제
4.5> 함수 f1, f2, f3 가 다음과 같이 주어졌을 때, 이 함수가
예제 4.5
단사 함수,
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전사 함수,
전단사
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함수인지를
구별하여라.
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<예제
4.6> 다음의 함수식들이 R에서 R로의 함수일 때, 이 함수가
예제 4.6
단사, 전사, 전단사 함수인지를 구별하여라.
(1) f1(x) = sin x
(2) f2(x) = x2
(3) f3(x) = 2x
(4) f4(x) = x3 + 2x2
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4.4 여러 가지 함수
<정의4.6>
합성 함수 (composition function)
정의 4.6
두 함수 f : A  B, g : B  C에 대하여 두 함수 f 와 g 의 합성
함수는 집합 A에서 집합 C로의 함수, g  f : A  C를 의미하며
다
음
을
만
족
한
다
.
g  f = {(a, c) | a A, b B, c C, f(a) = b, g(b) = c}
그림 4.2
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<예제
4.8> f : A  B와 g : B  C이 아래의 그림과 같을 때, 두 함수
예제 4.8
f 와 g 의
합 성 함 수
g  f 를
구 하 여 라 .
예제 4.9
<예제
4.9> 두 함수 f 와 g가 각 각 f : R  R, f(x) = x + 3 이고,
g : R  R, g(x) = x2 - 1일 때, 합성 함수 f  g와 g  f 를 구하여라.
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<정리
4.1>
정리 4.1
두 함수 f 와 g의 합성 함수 g  f 에 대하여
(1) g와 f 가 단사 함수이면, g  f 도 단사 함수이다.
(2) g와 f 가 전사 함수이면, g  f 도 전사 함수이다.
(3) g와 f 가 전단사 함수이면, g  f 도 전단사 함수이다.
<예제
4.10> 함수 f 와 g가 다음과 같을 때 그의 합성 함수 g  f 가
예제 4.10
단사 함수,
f
전사 함수,
:
R
전단사

R,
함수인지를
f(x)
구별하여라.
=
-x
g : R  R, g(x) = x - 1
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<정리 4.2
두
함수
정
리
f 와
g의
4.2>
합성 함수
g  f 에
대하여
(1) g  f 가
단사 함수이면,
f 는
단사 함수이다.
(2) g  f 가
전사 함수이면,
g는
전사 함수이다.
(3) g  f 가 전단사 함수이면, f 는 단사 함수이고 g는 전사 함수
이
다
.
<정리 4.3
정
리
4.3>
세 함수 f, g, h를 각 각 f : A  B, g : B  C, h : C  D라 하였을 때,
그들의 합성 함수는 다음과 같은 결합 법칙 (associative law)이
성
립
한
다
.
h  (g  f) = (h  g)  f
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<예제4.11>
예제 4.11 집합 A = {a, b, c}, B = {x, y, z}, C = {1, 2, 3}, D = {p, q, r}
이고 그들 사이의 함수가 아래 그림과 같을 때 g  f,

f),
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(h

g)

f
생능출판사
를
h  g,
h  (g
구 하 여 라 .
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항등 함수, 역함수
<정의
4.7> 항등 함수 (Identity function)
정의 4.7
집합 A에 대한 함수 f 가 f : A  A, f(a) = a일 때 함수 f 를 항등
함수라 하고 IA로 표기  a A, IA(a) = a
<정의4.8>
역함수 (Inverse function)
정의 4.8
함수 f : A  B가 전단사함수일 때 f 의 역함수는 f -1 : B  A로 표기
 a A,  b B, f(a) = b  f -1(b) = a
 함수 f 가 전단사 함수일 경우에만 역함수 f -1이 존재
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<예제4.12>
집합 A = {-1, 0, 1} 이고
예제 4.12
함수 f : A  A, f(x) = x3 일 때,
함수 f는 항등 함수인가?
<예제4.13>
함수 f : {1, 2, 3}  {a, b, c} 이고
예제 4.13
f(1) = b, f(2) = c,
f(3) = a일 경우 f 의 역함수 f -1이 존재하는가? 존재한다면 f -1을
구하여라.
-1
<예제4.14>
예제 4.14 함수 f : Z  Z 이 f(x) = x - 1일 때 f 을 구하여라.
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<정리
4.4>
정리 4.4
(1) f : A  B가 전단사 함수이면, 그의 역함수 f -1 : B  A 역시
전단사 함수이다.
(2) 함수 f 의 역함수 f -1 이 존재할 때, (f -1)-1 = f 이다.
(3) f : A  B 가 전단사 함수이면, f -1  f = IA이고,
f  f -1 = IB이다.
<예제4.15>
예제 4.15 집합 A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}이고, A에서 B로의 함수
f = {(1, a), (2, c), (3, b)}일 때 (f -1)-1, f -1  f,
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f  f -1 을 구하여라.
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상수 함수, 특성 함수
<정의
정의 4.9>
4.9 상수 함수 (Constant function)
함수 f : A  B 에서 집합 A의
원소와
대응할

a
때
A,
모든
원소가
함수 f 를

b
집합 B 의 오직 한
상수 함수라
B,
f(a)
한다.
=
b
<정의
4.10> 특성 함수 (Characteristic function)
정의 4.10
전체 집합 U의 부분 집합 A의 특성 함수 fA : U  {0, 1}는 다음과 같이
정
의
한
다
.
fA(x)
=
0,
x
A
1,
x A
{
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 특성 함수의 성질
(1) fA B(x) = fA(x) fB(x)
(2) fA B(x) = fA(x) + fB(x) – fA(x) fB(x)
(3) fA B(x) = fA(x) + fB(x) – 2 fA(x) fB(x)
<예제4.16>
예제 4.16 U = {a, b, c, d, e}이고 A = {a, b, c}, B = {c, d, e} 일 경우
fA B(c), fA B(c), fA B (c), 를 구하여라.
<예제4.17>
예제 4.17 U = {x R | 0  x  2}이고 A = {x R | 1/2  x  3/2}일 때,
특성 함수 fA를 그래프로 나타내어라.
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<정의4.11>
정의 4.11 올림 함수, 내림 함수
올림 함수 (ceiling function)
x R에 대한 올림 함수는 x보다 크거나 같은 정수값 중 가장
작은값을 나타내며, x로 표기
내림 함수 (floor function)
x R에 대한 내림 함수는 x보다 작거나 같은 정수값 중 가장
큰값을 나타내며, x로 표기
 3.5 = 4, 3.5 = 3, 2 = 2 = 2
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4.5 순열 (Permutations)
f : A  A인 전단사 함수이고 A = {a1, a2, ..., an} 일 때 집합 A의 순열
P = a1
a2 ...
an
f(a1) f(a2) ...
f(an)
P의 역
P -1 = f(a1) f(a2) ...
f(an)
a1
a2 ...
an
항등 순열
IA =
a1
a2 ...
an
a1
a2 ...
an
n개의 원소를 가진 집합의 순열 개수 : n!
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<예제4.18>
예제 4.18 집합 A = {1, 2, 3}에 대하여 A의 순열의 수를 구하고 각
순열을 표시하여라.
순열의 곱 : 두 순열 P1과 P2의 곱  P1 P2
-1
<예제4.19>
예제
4.18의
순열을
이용하여
P
예제 4.19
2 , P1 P4, P4 P1 을
구하여라.
순열의 곱은 교환 법칙이 성립하지 않음
P1 P2  P2  P1
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순회 순열 (cyclic permutation)
 순열에서 순회를 이루는 원소의 일련적인 순서
<예제4.20>
집합 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대한 순열이 다음과 같을 때
예제 4.20
순
회
순
열
을
구
하
여
라
.
P
=
1
2
3
4
5
6
3 4 5 1 2 6
<예제4.21>
집합 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대한 순회 순열의 곱
예제 4.21
(2, 3, 5, 1)(4, 2, 6)와 (4, 2, 6)(2, 3, 5, 1)을 구하여라.
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순열 P : 서로 소인 순회 순열의 곱으로 표시
치환 (transposition)
 길이가 2인 순회 순열
 (b1, b2, ..., br) = (b1, b2)·(b1, b3)· ··· ·(b1, br)
 우순열 : 순열 P가 짝수 개의 치환의 곱일 때
기순열 : 순열 P가 홀수 개의 치환의 곱일 때
<예제4.22>
예제 4.22 집합 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 에 대한 순열 P 가 다음과
같을 때 P가 우순열인지 기순열인지를 판별하여라.
P =
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1 2 3 4 5 6 7 8
3 7 4 6 2 8 5 1
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4.6 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할
부프로그램 (subprogram)
 논리적으로 독립적 계산을 할 때
 동일한 수행을 반복할 때
함수 (function)
 정의역에 있는 매개 변수값을 받아 하나의 값을 되돌려 줌
 예제
main( )
{
...
sum = 0;
for (i = -5; i < 6; i++)
sum += is_positive(i);
...
}
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
int is_positive (int num)
{
if (num >= 0) return 1;
else
return 0;
}
 함수 is_positive의 정의역과 공변역은 모두 정수
 치역은 {0, 1}
 함수 is_positive는 11번 호출됨
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