Transcript 전산수학

제8장 부울 대수 (Boolean Algebra)
 부울식(Boolean Expression)
 부울식의 표현 (Representation of Boolean Expressions)
 부울식의 간소화 (Minimization of Boolean Functions)
 논리 회로 설계 (Design of Logic Circuit)
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1
8.1 부울식 (Boolean Expression)
기본 연산


+
:
·
:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1· 0=0


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:
1· 1=1
1= 0
0´= 1
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
2
<예제
예 제
8.18.1>
다 음
부 울 식 의
결 과
(4) (1 · 0 + 0 · 1)  + 0 · 0
(3) (1 + 0) · 1
부
8.1
(1) 상 수 0 과 1,
구 하 라 .
(2) 0 · 0 + 1 · 0
(1) 0 + 1
정
정의의8.1
값 을
그리고
부울
울
식
의
변수는
정
의
부울식이다.
(2) f1과 f2가 부울식일 때 f1, f1+f2, f1·f2, (f1) 역시 부울식이다.
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3
부울식의 법칙 (표 8.1)
 p, q , r 을 부울 변수라 한다.
1. p + p = p
pp=p
멱등 법칙(idempotent law)
2. p + 0 = p
p1=p
항등 법칙 (identity law)
3. p + q = q + p
pq=q  p
교환 법칙(commutative law)
4. p + (q + r) = (p + q) + r
p  (q  r) = (p  q )  r
결합 법칙(associative law)
5. p + (q  r ) = (p + q)  (p + r)
p  (q + r ) = (p  q) + (p  r)
분배 법칙 (distributive law)
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4
6. p + (p  q) = p
p  (p + q) = p
흡수 법칙 (absorption law)
7. p + p =1
p  p =0
역 법칙 (inverse law)
8. (p  )  = p
보 법칙 (complement law)
9. p + 1 = 1
p0= 0
우등법칙(dominance law)
10. ( p+ q )  = p   q 
( p  q)  = p  + q 
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드모르간 법칙(Demorgan’s law)
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8.2 부울식의 표현
부울 함수 (Boolean function)
 n 개 의 부 울 변 수 x1, x2, ..., xn 에
f(x1, x2, ..., xn)
 예
제
8.3
의
부
(1)
f(x,
y)
=
(2)
f(x,
y,
w,
z)
=
wy
+
대한
부울
함수
함
수
xy
xz
울
x
xy
+
+
wz
+
정의8.2
8.2
정의
최소항 (Minterm)
n개 부울 변수로 만들어지는 진리표에서 변수의 각 조항을 최소항이라
한다.
 n걔의 변수  2n 개의 최소항
 각 최소항들은 n개의 부울 변수의 곱으로 나타낸다.
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6
<예제8.6>
x =1, y = 0, z = 1일 때 부울 함수 f(x, y, z)의 값은 1이 되고,
예제 8.6
다른 경우에는 0의 값을 갖는다. 그럴 경우, 그 부울 함수에 대한
진리표를 구하고, f(x, y, z) = 1인 최소항을 부울 변수의 곱으로
나
부
타
내
어
울
라
.
함
수
최소항들 중에서 1의 값을 갖는 최소항들의 부울합을 식으로
표현하는 함수 (곱의 합, sum of products)
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7
<예제8.7>
부울 변수에 대한 진리표가 다음과 같을 때 부울 함수 f(x, y,
예제 8.7
z)
를
구
하
여
라
.
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
z
0
0
1
1
0
0
1
1
f(x, y, z)
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
<풀이>
부 울
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함 수 는
f(x, y, z) = 1 인 최 소 항 들 의
f(x, y, z) = xyz + xyz + xyz 이다.
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합 이 므 로
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8
예제 8.8
<예제8.8>
(1)
다음의 부울 함수를 부울 변수의 곱의 합으로 나타내어라.
f(x,
y)
x
=
+
y
<풀 이>
부울 함수를 부울 변수에 대한 진리표로 나타내고, 그 진리표에서 부울
변수에
대한 곱의
f(x, y) = x
합의
+ y에
x
표현으로
대한
부울 함수를
진리표를
나타내면
x
y
나타내면 된다.
다음과
같다 .
x
+ y
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
위 의 진 리 표 에 서 x + y 의 값 이 1 인 최 소 항 들 을 곱 의 합 으 로
나타내면 f(x, y) = xy + x y + xy이 된다.
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8.3 부울식의 간소화
부울식의 기본 법칙
부울 대수의 기본 성질(표 8.1) 이용
<예제8.9>
예제 8.9
하
f(x,
다음 부울 함수를 부울식의 기본 법칙을 이용하여 간단히
여
y,
< 풀 이 >
z)
f(x,
=
y,
z)
라
xyz
=
x
xyz
+
y
z
+
x
.
+
xyz
yz
+
xy
= x z (y + y) + xz (y + y)
+
xyz
z
+xyz
분배 법칙
= x z ·1 + xz  ·1
역법칙
= x z + xz
항등 법칙
= (x + x)z
분배 법칙
= 1·z
역법칙
= z
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항등 법칙
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카노우맵 (Karnaugh map)
부울 변수들에 대한 최소항들을 도표로 표현
최소항들을 서로 묶어서 간소화
n
n 개의 부울 변수  2 개의 사각형
인접한 사각형끼리는 한 변수만 변화 가능
두
변 수 에
xy
대 한
0
1
0
xy
xy
1
xy
xy
xy
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카 노 우 맵
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( 그 림
8.1)
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f(x, y) = x y + x y + xy 의
카노우맵
(그림
8.2)
카노우맵의 예
(그림 8.3)
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<예제8.10>
예제 8.10 다음 부울 함수에 대한 카노우맵을 그리고 간소화하여라.
(1)
f(x,
y)
=
xy
+
xy
(2)
f(x,
y)
=
xy
+
xy
+
xy
<풀 이>
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세 변수에 대한 카노우맵
카
노
우
맵
(
그
림
8.4)
f(x, y, z) = z의 카노우맵 (그림 8.5)
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<예제8.11>
예제 8.11 다음의 진리표를 보고 카노우맵을 사용하여 부울 함수를
간소화하여라.
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x
y
z
f(x,y,z)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
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<
예제
8.12> 다 음 부 울 식 을 카 노 우 맵 을 사 용 하 여 간 소 화 하 여 라 .
예제
8.12
xyz
+
xyz
+
xyz
+
xyz
<풀 이>
네 개를 하나로 묶을 수 있으므로 부울식의 결과는 x 이다.
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네 변수에 대한 카노우맵
카
노
우
zw
맵
그
(
8.6)
00
x y z w
01
xy
x y z w
01
x yz w
x yz w
x yzw
11
xyz w
xyz w
xyzw
10
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00
림
xy z w
xy z w
xy zw
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11
10
x y zw
x y zw
x yzw
xyzw
xy zw
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<예제8.13>
예제 8.13 카노우맵을 사용하여 다음 부울 함수를 간소화하여라.
f(x, y, z, w) = xyzw + xyzw + xyzw + xyzw + xyzw
+
xyzw
+
xyzw
+
xyzw
<풀 이>
가운데 있는 4개는 하나로 묶어서 yw가 되고, 양쪽 구석의 것들도 서로
인접하고 있다고 생각하므로 하나로 묶을 수 있다. 그러므로 4개를
하나로 묶으면 yw 이 된다. 따라서, f(x, y, z, w) = yw + yw
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<예제8.14>
다음의 진리표에 나타난 부울 함수를 간소화하여라.
예제 8.14
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x
y
z
w
f(x,y,w)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
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8.4 논리 회로 설계 (Design of Logic Circuit)
논리 회로 설계시 부울 함수식 사용
 입 력 : 부울 변수
 출 력 : 부울 함수
 게이트(gate) : 부울 연산자
논리 게이트의 기호 (그림 8.8)
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NAND와 NOR 게이트의 다른 표현 (그림 8.9)
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<예제
예제
8.15>
8.15
다음
부울식을
논리
회로로
표현하여라.
(1)
yz
(2)
xyz
풀
<
y
z
(2)
xyz
+
이
>
(1)
yz
x
y
z
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xyz+xyz
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<예제8.16>
예제 8.16 다음 부울 함수를 간소화하고 간소화된 함수의 논리
회
로
f(x,
y,
를
z)
그
=
xyz
+
xyz
려
+
라
xyz
.
xyz
+
<풀이>
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<예제8.17>
예제 8.17 다음 논리
회로에
해당하는
부울 함수를
구하여라.
x
y
f(x,y)
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