Transcript 제 1 장 수학적 논리

제 4 장 논리와 증명
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간단한 수학적 논리
복잡한 논리구조 형성
하드웨어와 소프트웨어의 기본단위
응용 :
–
–

하드웨어의 설계
–

컴퓨터 회로 설계
프로그램 제작
명제논리(Proposition Logic)를 응용
명제논리
–
Gate나 회로의 정확한 동작을 정의, 관리하는 이론
1
4.1 명제와 연결자

[정의4.1] 명제
–
–

참이나 거짓 중에서 어느 하나를 표현하는 설명문
일반적으로 p, q, r 등으로 표현
[예제]
p : 서울은 대한민국의 수도이다.
q : 나고야는 일본의 수도이다.
r : 1+1=2
s: 3+5=7
2
명제 논리

[예제]
–
–
–
–

지금은 몇 시인가?
이 책을 꼭 읽어 보아라.
x+1=2
x+y=z
[예제]
–
–
–
–
정수 값 중에서 특정 n에 대해
x-y = y-x
1994년 겨울은 몹시 추웠다
2
모든 A에 대해 A  0 이면
X
X
X
X
2n  n 2 이 성립한다
A  0 이다
O
X
X
O
3
명제 해석
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





논리연산자(Logical Operator) - 단순명제로부터
합성명제 도출
진리표(Truth Table) - 합성명제의 진리값을 보여준다
진리값 - True(T, 참),
False(F, 거짓)
부정(Negation, NOT) : 
논리곱(Conjunction, AND) :
논리합(Disjunction, OR) :
배타적 합(Exclusive OR) :
p
pq
pq
pq
4
명제 해석

부정 :
p

논리곱
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
p
T
F
F
T
5
명제 해석

논리합 :

배타적 합
p
q
pq
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
6
명제 해석

[예제]
p : 7은 양수이다
q : -2는 음수이다
 p
: 7은 양수가 아니다.
pq
: 7은 양수이고, -2는 음수이다.
pq
: 7은 양수이거나, -2는 음수이다
7
명제 해석

포함, 함축(Implication) :
pq
p implies q, p는 q를 함축한다, p이면 q이다
p : 가정, 전제조건, 충분조건
q : 결과, 필요조건

진리표 :
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
8
예제

예4.5 :
p : 2+1 = 3
q : (2+1) + 5 = 3 + 5
p  q : if 2+1 = 3, then (2+1) + 5 = 3 + 5
T
T
T
p :2+1=3
q : (2+1) + 5 = 4 + 5
p  q : if 2+1 = 3, then (2+1) + 5 = 4 +5
T
F
F
9
예제

예4.5 (Cont’d):
p :2+1=4
q : (2+1) + 5 = 3 + 5
p  q : if 2+1 = 4, then (2+1) + 5 = 3 + 5
F
T
T
p :2+1=4
q : (2+1) + 5 = 4 + 5
p  q : if 2+1 = 4, then (2+1) + 5 = 4 +5
F
F
T
10
명제 해석

p : 오늘 날씨가 좋다
q : 우리는 해변에 가겠다
p  q : 오늘 날씨가 좋으면, 우리는 해변에 가겠다
[예제]
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
11
추이적 관계



R = {(a,b)} : 추이적 관계이다.
정의 : (a, b)  R  (b, c)  R  (a, c)  R 이면 추이적
즉, (a, b)  R  (b, c)  R  (a, c)  R 이 T이면
추이적
(a, b)  R  (b, c)  R  (a, c)  R
T

F
F


F
F :
T
12
명제 해석

쌍방조건(Bidirectional) , 동치 : p  q
필요충분조건(Necessary and Sufficient Condition)
–
–
–

p, q가 모두 참값을 갖거나, 모두 거짓일 경우에 참이다.
p  q 도 참이고, q  p 도 참일 때만 참이다.
( p  q)  (q  p)
진리표 :
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
13
명제 해석

명제 p  q 의 역(converse) :

명제 p  q 의 대우(contrapositive) : q  p

명제
p  q 의 이(inverse) :
q p
p  q
14
명제 해석

NAND, NOR
진리표 :
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
p NAND q p NOR q
F
T
T
T
F
F
F
T
15
4.2 항진명제와 명제 대수

[예4.11]
( p  q)  p NAND q
p
q
pq
(p  q)
p
q
p NAND q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
16

pq r q
[예4.12]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
pq
T
T
T
T
T
T
F
F
rq
T
T
T
F
T
T
T
F
pq  rq
T
T
T
F
T
T
T
T
17
연산순서

pq r q
:
( p  q)  (r  q)
p  (q  r )  q
p  ( q  (r  q) )

우선순위:
부정
논리곱(왼쪽에서 오른쪽으로)
논리합(왼쪽에서 오른쪽으로)
포함
동치
18
항진명제


[정의4.7] 어떤 식이 가지고 있는 변수의 모든 가능한
값에 대하여 항상 참일 때 그 식을 항진명제라 한다.
[예4.13]
p
q
pq
qpq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
p(qpq)
T
T
T
T
19
논리적 동치




p  q 가 항진명제 : 논리수식에서 중요한 역할
p 와 q 는 논리적 동치(Logically Equivalent)
p 와 q 는 같은 의미를 가진다.
p 대신
q 로 대체할 수 있다.
20
항진명제

[예4.15]
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
( p  q)  (q  p) 는 항진명제
pq q p qp (pq)(qp)
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
21
항진명제

( p  q )  (p  q ) 는 항진명제
[예4.16]
p
q
pq
p
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
pq (pq)(pq)
T
F
T
T
T
T
T
T
22
명제에 대한 대수 법칙

교환법칙 :
pq  q p
pq  q p

결합법칙 :
p  (q  r )  ( p  q)  r
p  (q  r )  ( p  q)  r
23
명제에 대한 대수 법칙

분배법칙 :
p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )

논리합과 논리곱에 대한 항등원 :
p F  p
p T  p
24
명제에 대한 대수 법칙

부정의 특성 :
p  p  F
p  p  T
(p )  p

멱등원 법칙 :
p p  p
p p  p
25
명제에 대한 대수 법칙

De Morgan 의 법칙 :
( p  q )  p  q
( p  q )  p  q
26
De Morgan’s Law

증명 :
( p  q )  p  q
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq (pq) p q
T
F
F
F
F
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
pq
F
T
T
T
27
논리적 동치

복잡한 구조를 가진 합성명제를 동일한 진리값을 갖는
간단한 명제로 대치
–

합성명제내의 한 부분이 언제나 참이거나 거짓일 경우
이 부분을 생략가능
–



논리회로를 설계할 때 동일한 기능을 갖는 다른 소재로 대치
논리회로 설계를 간단히 할 수 있다
항진명제(Tautology) - 언제나 참
모순명제(Contradiction) - 언제나 거짓
사건명제(Contingency)
–
항진명제도 아니고, 모순명제도 아닌 명제
28
4.3 수학적 증명 방법

증명 기술 : 직접증명, 간접증명

직접증명(Direct Proof) : 가정으로부터 결론을 유도
(예4.25)
x | a  x | b 이면 x | (b  a ) 임을 증명
x u  a 이고 x v  b 이므로
b  a  x v  x u  x (v  u )
따라서 x | (b  a ) 이다.
이다.
29
간접증명(Indirect Proof)



모순에 의한 증명 (Contradiction)
p 를 증명하기 위해 p 임을 가정하고 모순을 유도
즉, r  r 의 형태의 문장을 유도
[ p  (r  r ) ]  p 는 항진명제
대우에 의한 증명 (Contrapositive)
p  q 를 증명하기 위해 q  p 를 증명
반례 (Counter Example)
30
4.4 명제 함수


[정의4.10] 집합 X 에서의 명제함수 P (x ) 는 영역이 X
이고 치역이 명제의 집합인 함수이다.
명제함수를 술어(Predicate)라고도 부른다.
[예4.31]
X  {1,2,3} 일 때
P (1)  “Chicago is the capital of Illinois”
P ( 2)  “1 + 1 = 2”
P (3)  “½ is an integer”
31
명제 함수

[예4.32] 집합 : Z ,
명제함수 : Q( x)  " 2 x  3  7 "
Q(15)  " 2  15  3  7 "  F
Q(5)  " 2  5  3  7 "  T

[예4.33] 집합 :  , 명제함수 : P( x)  " ( x  2)  ( x  6) "
P (5)  T
P(8)  F
32
진리집합




[정의4.11]
명제함수의 진리집합은 함수에 의하여 참인 값을
가지는 명제들에 해당되는 영역에 있는 원소들의
모임이다.
즉, P ( x)  T 인 x 들의 집합이 진리집합이다.
[예4.31] 진리집합 : {2}
[예4.32] 진리집합 : {5}
[예4.33] 진리집합 : 구간 (2,6)
33
명제 함수의 결합

[정의4.12] P 와 Q 가 집합 X 에서의 명제함수 이면,
P, P  Q, P  Q 는 명제함수이며 다음과 같이
정의된다.
(P)( x)  P( x)
( P  Q)( x)  P( x)  Q( x)
( P  Q)( x)  P( x)  Q( x)
34
명제 함수의 결합

[Thm4.1] P와 Q 가 집합 X 에서의 명제함수라 하면
P 의 진리집합은 P의 진리집합의 여집합이다.
P  Q 의 진리집합은 P 와 Q 의 진리집합의 교집합
이다.
P  Q 의 진리집합은
이다.
P 와 Q의 진리집합의 합집합
35