Transcript 줄의 진동은 조화 진동인가?

7. 공명과 역학적 파동
우리의 생활은 태양 주위를 도는 지구의 공전과
비 오는 날에 호수에서 생기는 잔물결 등과 같은
되돌이로 가득 차 있다. 이러한 되돌이 운동은
물리법칙을 따르며, 우리가 시간과 공간 상으로
진행하고 있음을 알려준다. 시계, 악기, 바다
등의 면에서 되돌이 운동을 살펴보자.
7.1 시계
7.2 바이올린과 파이프 오르간
7.3 바다와 파도타기
7-1 시계
질문: 1. 시간이란 정확히 무엇인가?
2. 어떤 물체는 왜 앞뒤로 반복해서 흔들리는가?
3. 반복되는 운동을 이용해서 어떻게 시간을 재는가?
4. 물체가 흔들리는 비율을 어떻게 변화시킬 수 있는가?
5. 반복되는 운동은 보통 영원히 지속되지 않기 때문에 시계가 틀리지 않게 시간을 나타내게
하려면 어떻게 해야 하는가?
실험: 줄 끝에 작은 추를 매달고 줄의 다른 쪽 끝을 책상이나 문틀에 매달아서 전자 시계의 시간을
재는 부분을 만들 수 있다. 추를 가볍게 밀면 추가 앞뒤로 흔들린다. 추가 매우 규칙 바르게
반복되는 운동을 계속하는 것을 볼 수 있다.
/ 규칙 바른 운동을 제한하는 것은 무엇인가?
줄의 길이가 25cm 정도이면 1번 흔들림에 걸리는 시간이 거의 1초가 된다. 줄의 길이를
변경하여 주기가 어떻게 변하는지를 살펴보자.
/ 줄의 추의 무게가 주기에 영향을 준다고 생각하는가?
흔들림의 폭을 변화시키는 것이 주기에 어떤 영향을 미치는지 살펴보자.
/ 폭이 작은 흔들림과 폭이 큰 흔들림의 주기가 똑같을까?
흔들림에 맞추어 추를 밀어서 추가 계속 흔들리게 할 수 있음에 주목하자. 제 멋대로 밀면
흔들림이 지속되지 않으며 운동과 일치하여 추를 밀어야 한다.
/ 추가 더 크게 흔들리게 하려면 언제 밀어야 하는가?
/ 반대로 더 크게 흔들리게 하려면 언제 밀어야 하는가?
• 시간
–
공간과 시간에 대한 우리의 인식은 서로 관련되어 있으며 공간과 시간을 재는 것도 서로
연결되어 있다.
: 공간은 자로 시간은 시계로 잰다. 그렇다면, 자는 어떻게 만드는가? 차를 일정한 속도로
몰면서 1초마다 도로에 페인트로 표시하면 상당히 큰 자를 만들 수 있다. 시간상의
이동을 이용하여 공간을 잴 수 있다.
그렇다면, 어떻게 시계를 만드는가? 차를 일정한 속도로 앞에서 만든 거대한 자를 따라
몰면서 표시한 자리를 지날 때마다 횟수를 센다.
공간상의 이동을 이용하여 시간을 잴 수 있다.
• 자연공명
–
–
시계는 자연 공명이라고 부르는 특별한 형태의 반복되는 운동을 이용한다.
자연 공명에서는 고립된 물체나 물체 계의 에너지가 어떤 운동을 계속해서 반복
수행하도록 만든다.
• 단순 조화운동
복원력: 물체가 평형 상태로부터 벗어났을 때 물체를 평형 점으로
(k; 용수철 상수, 뻣뻣함)
:뻣뻣할수록 평형위치에서 벗어난 추에 더 큰 힘이 작용하고 주기가 짧아진다.
이 경우, 물체의 가속도는 등가속도가 아니다.
F  kx
d 2x
k
a 2  x
dt
m
• 단순 조화운동
반 시계 방향으로 등속원운동을 하는 구슬
Q를 광선에 의해 스크린에 투영했을 때, P에
나타나는 구슬의 그림자는 이상적 용수철에
달린 물체의 진동과 같은 운동을 한다.
이 경우,
x  A cos   A cos t
d 2x
k
a  2   2 x   x
dt
m


1
f 

2 2
T
1
m
 2
f
k
k
m
k
m
; 각 진동수
진동수: 단위 시간당 되돌이 횟수 , 1Hz=1cycle/s
주기: 진동자가 되돌이를 1번 마치는데 걸리는 시간
조화진동자의 특징:
/복원력이 뻣뻣할 수록 평형위치에서 벗어난 물체에 더 큰 힘이 작용하고 물체의 주기가
짧아진다.
/물체의 질량은 가속도에 저항하므로 질량이 클수록 주기가 길어진다.
/주기가 진폭, 즉 평형위치에서 멀리 벌어진 거리에 의존하지 않는다. 진폭이 크든 작든
조화진동자의 주기는 동일하다. 주기가 진폭에 무관하므로 진폭이 우연히 약간 변해도 시계가
빠르거나 느리게 가지 않기 때문에 조화 진동자는 시간을 재는데 적합하다.
• 진자
F  mg  mg
k
x
mg

x
L
L
mg
L
T  2
m
L
 2
k
g
/진자의 주기는 질량에 무관한 유별난 조화 진동자이다.
/진자의 질량을 증가시키면 복원력의 뻣뻣함도 커지며, 질량과 뻣뻣함의 변화가
상쇄되어 결국 주기는 변하지 않는다.
/진자의 주기는 줄의 길이와 중력에 의존한다.
진자시계:
/진자는 일정하게 흔들리지만, 진자 만으로는 완전한 시계가 아니다.
/진자의 꼭대기에 톱니바퀴의 회전을 조절하는 고정재가 있다.
/고정재가 제자리에 고정시키지 않을 경우, 톱니바퀴의 추에 감긴 추가, 달린 줄이 톱니바퀴에
힘을 가해서, 톱니바퀴를 붙잡는 구조를 하고 있다. 또한, 톱니 바퀴는 진자가 되돌이를 마칠
때마다 고정재를 살짝 밀어서 진자가 계속 움직이게 한다. 마찰과 공기저항으로 잃은 에너지를
추의 중력위치에너지를 내놓으면서 보충한다.
/진자의 진폭을 일정하게 유지해야 하는 이유: 진자가 평형위치에서 너무 많이 벌어지면, 비 조화
진동자가 되어, 주기가 진폭에 의존하기 때문.
균형시계:
/진자시계는 기울일 때 중력의 영향을 받는다.
/ 코일 용수철의 한쪽은 균형바퀴에 붙어있고, 다른 한 쪽은 본채에 고정되어 있어, 균형 바퀴를
어느 방향으로든 회전을 시키면, 용수철이 토크를 가해 균형바퀴가 원래의 평형 위치로
되돌아가도록 한다. 토크는 평형 위치로부터 얼마나 회전했는가에 비례하므로, 균형바퀴와 코일
용수철은 조화 진동자를 이룬다.
/ 시계의 에너지는 톱니바퀴에 일정한 토크를 가하는 주 용수철로 부터 나온다.
전자시계:
/수정결정은 굉장히 단단해서, 약간만 변형해도 복원력이 매우 크다. 따라서, 주기가 매우 짧고,
진동이 매우 빠르다.
/ 수정의 진동이 너무 빠르고 작아, 기계장치로 따라갈 수가 없기 때문에, 전자시계에 적합하다.
/ 수정결정 자체가 전기 자극에 대해 기계적으로 반응하고, 기계 자극에 대해 전기적으로
반응하는 압전 물질이다.
/ 시계회로에는 수정결정이 계속 진동하도록 하는 약한 전기 펄스가 사용된다. 결정이 진동할
때마다 일은 에너지는 매우 작으므로 진동을 계속 유지하는 데에 매우 작은 일만이 필요하다.
/ 시계는 또한 결정의 진동을 전기적으로 감지한다. 수정의 결정이 진동할 때마다 기계적인
자극을 받고 전기 펄스를 내보낸다. 이들 펄스는 시계바늘을 전진시키는 전동기를 조절하거나,
펄스를 세어서 시간을 재는 전자회로를 조절하는 데에 쓴다.
7-2 바이올린과 파이프 오르간
질문: 1. 바이올린에서 왜 낮은 음의 줄이 높은 음의 줄 보다 굵은가.
2. 줄을 지판에 대고 누르면 왜 높 낮이가 변하는가?
3. 줄을 손가락으로 퉁길 때와 활로 켤 때 소리가 왜 다른가?
4. 바이올린의 몸통은 어떤 역할을 하는가?
5. 파이프 오르간의 내부에서 무엇이 떠는가?
6. 오르간의 관들이 길이가 다른 이유는 무엇인가?
실험: 바이올린 또는 기타를 준비하거나 고정된 지지대 사이에 질긴 줄을 팽팽히 치고, 손가락으로
줄을 퉁겨서 나는 소리를 들어보자. 진폭이 서서히 줄어들지만 줄이 특정 높낮이로, 즉
진동수로 앞뒤로 진동한다.
/ 이러한 거동은 어떤 종류의 진동자 인가?
줄의 장력이나 길이를 변화시켜서 줄의 진동수를 변화시켜보자.
/ 줄을 짧게 하거나 줄의 일부분을 움직이지 못하게 하면 어떻게 되는가?
/ 줄을 더 팽팽히 당겨서 장력을 크게 하면 어떻게 되는가?
/ 줄에 테이프를 감아 줄의 질량을 늘리면, 이 변화가 높낮이에 어떠한 영향을 미치는가?
병 주둥아리, 또는 빨대 끝을 가로질러 부드럽게 불어서 파이프 오르간을 흉내 낼 수 있다.
적당히 잘 하면 병 안의 공기가 위 아래로 주기적으로 진동해서 소리를 낼 수 있다.
/ 병 안에 물을 붓거나 빨대를 여러 곳에서 자르면 높낮이가 어떻게 되는가?
/ 병이나 빨대에서 나오는 소리와 내는 소리의 높낮이가 똑같을 때에도 다르게 들리는 이유는
무엇인가?
• 소리와 음악
소리: /공기 중에서 소리는 압력이 낮은 영역(소)과 높은 영역(밀)의 배열이 음원에서 멀어지는
방향으로 소리속도로 전달 되는 압력 파동으로 이루어져 있다.
/소리가 지나갈 때 귀의 공기 압력이 정상의 기압 근처에서 위아래로 요동한다.
이 요동의 진폭이 백 만분의 1보다 작지만 귀는 소리로 인식한다.
/ 음의 높낮이는 요동의 진동수로 정의되며, 사람이 들을 수 있는 범위는 대략 30Hz20,000Hz 정도이다.
음정: /서로 다른 두 음 사이의 진동수 비율 이며, 2/1 음정을 옥타브라고 부른다.
진동수의 비율이 2 인 음들은 매우 비슷하게 들린다.
• 바이올린 줄의 작용
/ 바이올린이 만드는 음은 줄의 진동으로 시작한다. (줄의 진동은 조화 진동인가?)
/ 바이올린 줄이 직선일 때, 줄의 각 조각에 인접한 조각이 작용하는 알짜 힘은 0 이고, 줄은
평형 상태에 있다.
/ 줄이 굽어 있을 때 각 조각은 약한 알짜 힘을 받는다. 이 경우의 힘은 줄이 곧게 펴지도록
작용하는 복원력이며, 실제로 줄의 복원력이 줄의 굽은 정도에 비례하므로 줄은 조화진동자
이다.
/ 줄은 여러 가지 다른 방식으로 진동할 수 있으며 각 방식은 제각기 주기가 다를 수 있다.
그럼에도 불구하고, 각 진동방식의 주기가 진폭에 무관 해야 하는 조화진동자의 가장 중요한
특성을 지닌다. 줄의 높낮이는 줄의 얼마나 세게 진동하는가에 무관하다.
/ 기본 진동 방식의 경우, 단일한 조화 진동자처럼 움직인다. 즉, 줄의 진동 주기는 줄의 질량과
복원력의 뻣뻣함에만 의존한다. 줄의 질량을 늘리면 진동이 느려지고, 줄을 뻣뻣하게 하면
진동이 빨라진다. 바이올린의 4줄의 기본음 은G3(196Hz), D4 (293Hz), A4(440Hz), E5(660Hz)
이다. G3 줄의 질량이 가장 크다.
/ 줄의 뻣뻣함은 장력과 길이에 의존한다. 줄을 팽팽하게 하면, 줄의 각 조각에 작용하는 바깥
방향의 힘이 증가하고, 그에 따라 굽을 때 느끼는 힘을 증가시켜서 뻣뻣해진다. 줄의 길이도
기본 높낮이에 영향을 미친다. 줄을 짧게 하면, 줄이 굽을 때 곡률을 증가시켜 각 조각들이
받는 알짜 힘이 커지고 줄이 뻣뻣해진다. 줄을 짧게 하면 질량도 줄어서, 음이 높아진다.
• 바이올린 줄의 배음
/ 줄의 작은 부분들이 엇갈리는 방향으로 떠는 고차의 진동 방식이 가능하다.
/ 두 고정 점 사이에서 2 배음과 3 배음으로 떠는 줄. 줄이 2 부분 또는 3 부분으로 나뉘어 각각
기본 진동수의 2 배 또는 3 배로 진동한다. 기본 높낮이의 정수배인 진동수를 배음이라고
한다. ( 줄에서의 정상파)
• 바이올린 줄을 켜고 튕기기
/ 놀이터에서 그네를 타고 있는 어린이를 약하지만 적절한 때에 밀면, 점점 높게 흔들리게 할 수
있듯이, 활로 줄을 약하지만 적절한 때에 밀면, 바이올린 줄을 힘차게 진동하게 할 수 있다.
: 공명에너지 전달
/ 각 진동 방식에 활이 전달할 수 있는 에너지의 양은 활이 바이올린 줄을 가로지르는 자리에
의존한다. 줄의 중간 근처를 켜면 줄의 곡률이 감소하고 배음 진동이 약해져 더 부드러운
소리가 난다. 줄의 가장자리 근처를 켜면 줄의 곡률이 증가하고, 배음이 강해져서 더 맑은
소리가 난다.
• 줄의 진동을 소리로 바꾸기
/ 바이올린 줄은 폭이 좁아 공기를 효과적으로 밀지 못하므로 바이올린 소리는 줄에 서 나온
것이 아니다.
/ 활로 켠 줄이 앞판을 가로 질러 진동하면 버팀 막대를 축으로 줄 받침에 토크를 가한다.
줄 받침이 앞 뒤로 회전하고, 이에 따라 저음 울림 대와 앞 판이 안팎으로 움직인다. 앞판의
운동에 의해 대부분의 바이올린 소리가 난다.
줄 받침
버팀 막대
저음 울림 대
• 오르간 관의 소리
/ 파이프 오르간의 진동은 공기 자체에서 일어난다. (진동은 조화진동인가?)
/ 기본진동 방식에서는 용수철에 매단 나무토막처럼 공기가 관의 중앙으로, 또는 중앙에서
멀리 움직인다. 공기가 관의 중앙으로 이동할 때에 중앙의 밀도가 높아지고, 압력이 불균형
해진다. 관 중앙의 압력이 양쪽 끝 보다. 높으므로 공기가 바깥쪽으로 이동한다. 공기가 관의
중앙에서 멀리 이동함에 따라 중앙의 밀도가 낮아지고, 압력이 반대로 불균형 해진다. 관
중앙의 압력이 양쪽 끝보다 낮으므로 공기가 안쪽으로 이동하며 되돌이 과정이 반복된다.
/ 오르간 관 안의 공기는 조화 진동 자처럼 행동하며, 균일한 공기밀도와 기압의 안정 평형을
중심으로 진동한다. 진동하는 공기의 운동에너지는 평형상태를 막 지나칠 땡 가장 크고,
위치에너지 (공기의 압력 위치 에너지)는 공기가 이동 방향을 바꾸려고 잠시 멈 출 때 가장
크다. 진동의 주기와 진동수는 진동하는 공기의 질량과 공기가 받는 복원력의 뻣뻣함에
의존한다.
/ 진동하는 공기의 질량과 복원력의 뻣뻣함은 모두 오르간의 관의 길이에 의존한다. 관이
짧으면 관 안의 공기가 적을 뿐만 아니라, 공기가 안팎으로 이동하는 것을 더 뻣뻣하게
저항하게 된다. 즉, 짧은 관의 경우, 안의 공기가 적어서 안의 압력이 빨리 오르내려, 이동하는
공기에 작용하는 힘이 뻣뻣하다. 그 결과로 짧은 관 안의 공기는 긴 관에서보다 더 빨리
진동한다.
/ 오르간은 공명 에너지 전달을 이용하여 관 안의 공기를 진동하게 한다. 만일 관 안의 공기가
진동하고 있다면, 새로 들어온 공기는 완전히 동기 되어 뒤 따르고 진동을 더 강하게 한다.
/ 바이올린 줄처럼, 오르간의 관도 하나 이상의 진동 방식으로 진동할 수 있다.
/ 오르간의 관의 모양과 공기를 부는 자리에 따라 배음의 내용과 독특한 소리가 달라진다.
7-3 바다와 파도타기
질문: 1. 왜 조석은 곳에 따라 높이가 다른가?.
2. 왜 호수나 수영장에는 뚜렷한 조석이 없는가?
3. 왜 만조는 12시간 마다 일어나는가?
4. 바닷물의 파동에서 이동하는 것은 무엇인가?
5. 모든 파동이 똑같은 속력으로 이동하는가?
6. 바닷가 근처에서 파도가 왜 부서지는가?
실험: 바다가 잔잔할 때 바다는 평탄한 평형 형태를 취한다.
/바람이 해면에 어떤 영향을 끼치는가?
파도가 지날 때 떠 있는 물체를 움직임을 지켜 보자.
/ 그 물체가 파도와 함께 이동하는가?
/ 교란이 일정하게 이동하지만 교란을 나르는 물질은 이동하지 않고, 뒤에 남는 경우를
생각해 낼 수 있는가?
파도가 바닷가 근처에서 부서지는 것을 관찰해 보자. 어떤 경우에는 파도가 포말을 일으키며
부서지지만 다른 경우에는 마루가 앞의 물위로 떨어진다.
/ 바닷가나 물의 어떤 성질을 가지고 이 차이를 설명할 수 있는가?
조석
• 조석 간만의 차
• 조석의 원인달의 인력
• 지구상 각 위치에서의 달의
중력과 달 중력의 평균값의
차이가 조석력(tidal force)
유발
• 바닷물의 표면파동
/ 바닷가에 앉아있으면 파도가 끊임없이 다가와서 부서지는 것을 보게 된다육지 쪽으로
이동하는 물마루들.

표면파동 (surface wave)

파동: 골, 마루, 파장,
/ 파동의 종류:
서있는 파동 (standing wave):
 물 표면이 위/아래로 움직인다.
 마루와 골은 항상 반대 방향으로 이동, 마루는 골이
되고 골은 마루가 된다.
진행파동 (traveling wave):
 마루와 골의 배열이 물 표면을 따라 이동
 배열이 이동하는 속도가 일정파동속도(wave velocity)
• 표면 파동의 구조
-
바닷물의 표면파는 진행 파동이 표면을 따라 일정 속도, 파장, 진동수로 이동한다.
파동이 진행할 때 물 자체의 운동
바닷물 표면에 떠있는 병의 운동을 보면 알 수 있다.
파동이 지나칠 때 병은 마루와 골과 함께 위/아래로 움직이며 원을 그린다.
전체적으로 병은 이동하지 않는다.
-
원운동은 표면 가까이에서만 발생
깊어질수록 원운동 감소
표면파동이 멈추는 깊이반파장
깊이
• 파도
-
파도가 바닷가에 접근하는 경우
바다의 깊이가 파동의 파장보다 작은경우물의 원운동 변형
타원운동 발생
 파동의 속도 감소, 마루가 모이기 시작
이해도 확인 4
테니스에 있어서 가장 어려우면서 가장 효과적인
스트로크는 볼을 높이 올려놓고 스핀을 거는 일이다.
테니스 선수가 볼의 위쪽으로부터 아래 쪽으로 스핀을
건다면 이 볼의 양력은 어느 방향으로 생기는가?
HW
• 연습문제: 10, 14,37,38