Transcript Μερικές ∆ιαφορικές Εξισώσεις - Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Μερικές ∆ιαφορικές Εξισώσεις
Ζούπας Ανδρέας,
Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών,
Πολυτεχνική Σχολή,
Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας,
Λεωφόρος Αθηνών,
Πεδίο ΄Αρεως, Βόλος 38334
18 Ιουνίου 2016
Περιεχόµενα
1 Εισαγωγή.
1.1 Γενικές Παρατηρήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Βασικοί Ορισµοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής.
2.1 Μαθηµατική Μοντελοποίηση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3 ∆ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως.
3.1 Εισαγωγή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4 Ταξινόµηση ∆ιαφορικών Εξισώσεων ∆εύτερης Τάξεως.
4.1 Εισαγωγή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ∆ιάχυσης. . . . .
4.2.1 Η κυµατική Εξίσωση. . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Η Εξισωση ∆ιάχυσης. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
6
7
5 Προβλήµατα Αρχικών Τιµών.
5.1 Εισαγωγή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής
5.2.1.ii Ενέργεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση. . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ∆ιάχυσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ∆ιάχυσης. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1.i Ενέργεια. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ∆ιάχυσης. . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2.i Η αρχή του Duhamel. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
10
12
17
19
30
30
37
37
38
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
Χωρισµού Μεταβλητών.
47
6.1 Εισαγωγή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Η Εξίσωση ∆ιάδοσης Θερµότητας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1.i Dirichlet ΣΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1.ii Neumann ΣΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.1.iii Περιοδικές ΣΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.1.iv Η Αρχή του Μεγίστου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.2 Κυµατική Εξίσωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.2.i Dirichlet ΣΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.2.ii Neumann ΣΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
ii
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
iii
6.2.2.iii Περιοδικές ΣΣ . . . . . . . .
6.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. . . . . . . .
6.3.1 Εξίσωση Laplace. . . . . . . . . . . .
6.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet. . . .
6.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά.
7 Σειρές Fourier
7.1 Σειρές Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier. . . .
7.2 Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης. . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Περιοδικές Συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 ΄Αρτιες και Περιττές Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα. . . . . . . . . . .
7.2.3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης. . . . . .
7.2.3.ii Η Σειρά Fourier Μίας ΄Αρτιας Συνάρτησης. . . . . . .
7.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Το Θεώρηµα Σύγκλισης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier. . . . . . . . .
7.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier. . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier. . . . . . . . . . . . . .
7.4 Σειρές Fourier σε ∆ιαστήµατα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων. . . . . . . . .
7.4.2.i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης. . . . . .
7.4.2.ii Η Σειρά Fourier της ΄Αρτιας Περιοδικής Επέκτασης. .
7.4.2.iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης.
7.4.2.iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier. . . . .
7.4.2.v Το Θεώρηµα Σύγκλισης. . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2.vi Σχεδίαση Σειρών Fourier. . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Η Συνέχεια της Σειράς Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4 Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ∆ιαστήµατα. . . . . . . . . . .
7.4.5 Ολοκλήρωση Σειράς Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.6 Το ϕαινόµενο Gibbs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier. . .
7.5.1 Ορθογωνιότητα και ΣΣ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
76
76
77
89
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
92
92
94
94
95
96
96
97
102
102
104
107
107
110
111
111
113
113
113
113
113
114
115
119
120
122
122
122
124
130
8 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις.
8.1 Εισαγωγή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Μη-Οµογενείς Μ∆Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
131
131
132
134
137
143
9 Θεωρία Sturm-Liouville.
9.1 Εισαγωγή. . . . . . .
9.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ. . .
9.3 Μη-Οµογενείς Μ∆Ε .
9.4 Τι να δω Γενικά. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
153
153
153
153
153
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10 Παράρτηµα
10.1 Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
154
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
iv
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και
Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
Χωρισµού Μεταβλητών.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
6.1 Εισαγωγή. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. . .
6.2.1 Η Εξίσωση ∆ιάδοσης Θερµότητας. . .
6.2.1.i Dirichlet ΣΣ . . . . . . . . .
6.2.1.ii Neumann ΣΣ . . . . . . . .
6.2.1.iii Περιοδικές ΣΣ . . . . . . .
6.2.1.iv Η Αρχή του Μεγίστου. . . . .
6.2.2 Κυµατική Εξίσωση. . . . . . . . . . .
6.2.2.i Dirichlet ΣΣ . . . . . . . . .
6.2.2.ii Neumann ΣΣ . . . . . . . . .
6.2.2.iii Περιοδικές ΣΣ . . . . . . . .
6.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. . . . . . . .
6.3.1 Εξίσωση Laplace. . . . . . . . . . . .
6.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet. . . .
6.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
49
49
49
58
64
70
70
70
74
76
76
76
77
89
6.1 Εισαγωγή.
Η µέθοδος που ϑα παρουσιάσουµε εδώ οφείλεται στον Fourier ο οποίος πρώτος την εφήρµοσε για
να επιλύσει την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας. Σηµειώνουµε δε, ότι ο Fourier όχι µόνο επέλυσε την
εξίσωση αλλά είταν και αυτός ο οποίος διατύπωσε τη ϐασική ϑεωρία για τη ϑερµική ϱοή. Η µέθοδος
λύσης του, οδήγησε τον Fourier να προτείνει την τολµηρή για την εποχή του ιδέα ότι οποιαδήποτε
πραγµατική συνάρτηση ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα µπορεί να αναπαρασταθεί ως µία σειρά
τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Η µέθοδος του Fourier στηρίζεται στην τεχνική η οποία είναι σήµεϱα γνωστή ως Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών(ΜΧΜ) και ϐρίσκει εφαρµογή σε πολλά άλλα
γραµµικά προβλήµατα εκτός της εξίσωσης διάδοσης ϑερµότητας.
47
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
48
Χωρισµού Μεταβλητών.
Σε ότι ακολουθεί ϑα λυθούν ¨κλασσικά¨ Προβλήµατα ϑεωρώντας ότι το ϕυσικό σύστηµα που περιγράφει η Μ∆Ε έχει πεπερασµένες χωρικές διαστάσεις, άρα σύµφωνα µε ότι έχουµε δει χρειάζεται
και η επιβολή Συνοριακών Συνθηκών. Θα µελετήσουµε, λοιπόν, προβλήµατα
α) Αρχικών-Συνοριακών Τιµών (ΠΑ-ΣΤ) και
ϐ) Συνοριακών Τιµών (ΠΣΤ)
για Μ∆Ε δύο µεταβλητών και σε Καρτεσιανές Συντεταγµένες. Για την ακρίβεια, ϑα µελετήσουµε
την Εξίσωση ∆ιάδοσης Θερµότητας (επί της ουσίας, την Εξίσωση ∆ιάχυσης (Εξ.∆.) ), την Κυµατική
Εξίσωση(Κ.Εξ.) και την Εξίσωση Laplace(Εξ.L.) για διάφορα είδη Συνοριακών Συνθηκών(ΣΣ).
Συνθήκες Εφαρµογής της Μεθόδου ΜΧΜ: Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται αποκλειστικά και µόνο
σε Γραµµικές Μ∆Ε και µία πρώτη απαίτηση που έχουµε για να είναι εφαρµόσιµη η µέθοδος, είναι η
εξής : η Μ∆Ε να είναι οµογενής και οι (ΣΣ) να είναι Γραµµικές Οµογενείς. Αν συµβολίσουµε την
άγνωστη συνάρτηση µε 𝑢(𝑥, 𝑡) και ϑεωρήσουµε ότι 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, τότε η πιο γενική µορφή, γραµµικών
οµογενών ΣΣ, για Μ∆Ε δεύτερης τάξης είναι η εξής :
𝑎1 𝑢(𝑎, 𝑡) + 𝑏1 𝑢(𝑏, 𝑡) + 𝛾1 𝑢𝑥 (𝑎, 𝑡) + 𝛿1 𝑢𝑥 (𝑏, 𝑡) = 0
και
(6.1.1)
𝑎2 𝑢(𝑎, 𝑡) + 𝑏2 𝑢(𝑏, 𝑡) + 𝛾2 𝑢𝑥 (𝑎, 𝑡) + 𝛿2 𝑢𝑥 (𝑏, 𝑡) = 0
Σε ότι ακολουθεί, ϑα ασχοληθούµε µε ΣΣ Dirichlet, Neumann, και περιοδικές. Τις περιοδικές ΣΣ τις
παρουσιάζουµε πρώτη ϕορά και είναι της µορφής,
𝑢(𝑎, 𝑡) = 𝑢(𝑏, 𝑡)
𝑢𝑥 (𝑎, 𝑡) = 𝑢𝑥 (𝑏, 𝑡)
Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι και οι τρεις κατηγορίες ΣΣ µε τις οποίες ϑα ασχοληθούµε αποτελούν
ειδικές περιπτώσεις των Γραµµικών Οµογενών ΣΣ για διάφορες τιµές των συντελεστών τους. Π.χ., οι
συνθήκες Neumann προκύπτουν για τις τιµές 𝑎1 = 𝑏1 = 𝛿1 = 0 και 𝑎2 = 𝑏2 = 𝛾1 = 0. Η επιλογή
αυτών των ΣΣ, έγινε µε ϐάση το ότι οδηγούν σε λύσεις οι οποίες δίνονται ως κλασσικές σειρές Fourier
και οι οποίες αποτελούν το κλασσικότερο και απλούστερο ίσως παράδειγµα της εξαιρετικά σηµαντικής
ϑεωρίας Sturm-Liouville µε την οποία ϑα σχοληθούµε στο κεφάλαιο (9). Ακριβώς επειδή οι ΣΣ Robin
µπορεί να οδηγήσουν και σε λύσεις οι οποίες δεν έίναι πάντοτε καλσσικές σειρές Fourier για αυτό το
λόγο κρίθηκε σκόπιµο η εξαιρετικά ενδιαφέρουσα µελέτη τους να αναβληθεί µέχρι το κεφάλαιο (9),
όπου πιστεύεται πως αρµόζει.
Τις γενικές συνθήκες που απαιτούνται για την εφαρµογή της (ΜΧΜ) ϑα τις διατυπώσουµε εκ των
υστέρων.
Βασική Ιδέα.
Σαν πρώτο ϐήµα ψάχνουµε λύσεις της οµογενούς Μ∆Ε της µορφής
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡)
οι οποίες ϑα πρέπει να ικανοποιούν και επιπλέον Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες. Με αυτό τον
τρόπο καταλήγουµε σε Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις (Σ∆Ε). Στη συνέχεια γενικεύουµε την αρχή της
επαλληλίας έτσι ώστε από τις χωριζόµενες λύσεις να προκύψει η γενική λύση της οµογενούς Μ∆Ε σε
µορφή άπειρης σειράς γινοµένων των χωριζοµένων λύσεων.
Τα προβλήµατα που ϑα µας απασχολήσουν για την Εξίσωση ∆ιάδοσης Θερµότητας και την Κυµατική Εξίσωση ϑα είναι Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών, ενώ για την εξίσωση Laplace ϑα
είναι µόνο Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. Στη µελέτη που ακολουθεί δεν ϑα ασχοληθούµε µε
ερωτήµατα σχετικά µε τη µοναδικότητα των λύσεων. Αυτή ϑα ϑεωρείται δεδοµένη και σχόλιο ϑα γίνει
µόνο αν κάτι πρέπει να προσεχθεί περισσότερο.
Το κεφάλαιο αυτό έχει επηρεαστεί από τους (Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein, 2005),(Haberman, Richard, 2004),(Snider, Arthur David, 1999),(Powers, David L., 2006).
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
49
6.2 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
Για ιστορικούς καθαρά λόγους ξεκινούµε µε την Εξ.∆.και η µελέτη της ενότητας (6.2.1.i) είναι ιδιαιτέρως σηµαντική διότι µε αυτή παρουσιάζουµε επί της ουσίας τη Μέθοδο Χωρισµού Μεταβλητών.
6.2.1
Η Εξίσωση ∆ιάδοσης Θερµότητας.
Θα λύσουµε την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας για τα εξής είδη ΣΣ: Dirichlet, Neumannκαι Περιοδικών. Η ενότητα αυτή είναι επηρεασµένη από την αντίστοιχη ενότητα των Pinchover, Yehuda, Jacob
Rubinstein, 2005. Ξεκινούµε µε τις ΣΣ Dirichlet
6.2.1.i
Dirichlet ΣΣ
Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ:
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
− 𝑘 2 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0
(ΣΣ)
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
(ΑΣ)
(6.2.1)
(6.2.2)
(6.2.3)
το οποίο εκφράζει την µετάδοση ϑερµότητας σε µία διάσταση και σε πεπερασµένο χωρικό διάστηµα
µήκους 𝐿. Η ϕυσική του ερµηνεία είναι ότι περιγράφει τη µετάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους
𝐿 της οποίας τα άκρα είναι σε επαφή µε (άπειρες)θερµικές δεξαµενές ϑερµοκρασίας µηδέν.
Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει
𝑓 (0) = 𝑓 (𝐿) = 0
διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες.
Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που (6.1) ακολουθεί.
Σχήµα 6.1: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ∆ιάχυσης µε ΣΣ Dirichlet.
Ξεκινούµε απαιτώντας οι λύσεις να είναι της µορφής
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡)
(6.2.4)
όπου οι 𝑋 και 𝑇 είναι συναρτήσεις των µεταβλητών 𝑥 και 𝑡 αντίστοιχα. Μία προφανής λύση της
οµογενούς εξίσωσης είναι η µηδενική λύση 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 αλλά αυτή δεν µας ενδιαφέρει δεδοµένου ότι
δεν µπορεί να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη αν 𝑓 (𝑥) ̸= 0, για 0 < 𝑥 < 𝐿. ΄Αρα, µας ενδιαφέρουν
συναρτήσεις 𝑋 και 𝑇 οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
50
Χωρισµού Μεταβλητών.
Αντικαθιστούµε τη χωριζόµενη µορφή για την 𝑢 στην εξίσωση (6.2.1) και παραγωγίζοντας µία ϕορά
ως προς την 𝑡 και δύο ϕορές ως προς την 𝑥 προκύπτει
𝑋𝑇𝑡 − 𝑘𝑋𝑥𝑥 𝑇 = 0 ⇒ 𝑋𝑇𝑡 = 𝑘𝑋𝑥𝑥 𝑇.
το επόµενο ϐήµα είναι απλό αλλά εξαιρετικής σηµασίας, διότι χωρίζουµε τις µεταβλητές. Φέρνουµε
στο ένα µέλος της εξίσωσης όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την 𝑡 και στο άλλο όλες τις
συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την 𝑥, οπότε προκύπτει η ισότητα
𝑋
𝑇𝑡
= 𝑥𝑥
𝑘𝑇
𝑋
(6.2.5)
στην οποία έχουµε δύο εκφράσεις ίσες µεταξύ τους αλλά η µία εξαρτάται από τη µεταβλητή 𝑡 µόνο και
η άλλη εξαρτάται από τη µεταβλητή 𝑥 µόνο. ∆εδοµένου ότι οι 𝑥 και 𝑡 είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους
δεν µπορεί παρά να υπάρχει µία σταθερά 𝜆, την οποία ονοµάζουµε και σταθερά χωρισµού έτσι ώστε
να ισχύει ότι
𝑋
𝑇𝑡
= 𝑥𝑥 = −𝜆
𝑘𝑇
𝑋
(6.2.6)
το ότι και τα δύο µέλη πρέπει να είναι σταθερά προκύπτει πολύ εύκολα αν για παράδειγµα παραγωγίσουµε και τις δύο εκφρασεις µε τη µεταβλητή 𝑡 οπότε
𝜕
𝜕𝑡
(︂
𝑋𝑥𝑥
𝑋
)︂
=0⇒
𝜕
𝜕𝑡
(︂
𝑇𝑡
𝑘𝑇
)︂
=0⇒
𝑇𝑡
= σταθ.
𝑘𝑇
Προσοχή. Τονίζουµε εδώ ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου
στο δεξί µέλος της (6.2.6). Αυτό είναι καθαρά ϑέµα σύµβασης και δεν αλλάζει σε τίποτε την ουσία της
µεθόδου.
Η εξίσωση (6.2.6) οδηγεί στο εξής σύστηµα Σ∆Ε
d2 𝑋
= −𝜆𝑋, 0 < 𝑥 < 𝐿
d𝑥2
d𝑇
= −𝜆𝑘𝑇, 𝑡 > 0
d𝑡
(6.2.7)
(6.2.8)
οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µόνο µέσω της σταθεράς χωρισµού 𝜆.
Πρόβληµα Ιδιοτιµών.
Για να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση 𝑢 τις ΣΣ ϑα πρέπει να ισχύει
𝑢(0, 𝑡) = 0 ⇒ 𝑋(0)𝑇 (𝑡) = 0,
𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 ⇒ 𝑋(𝐿)𝑇 (𝑡) = 0
εφόσον τώρα απαιτούµε να ισχύει 𝑢 ̸= 0 δεν µπορεί να ισχύει ότι 𝑇 (𝑡) = 0, ∀𝑡 οπότε αναγκαστικά ϑα
πρέπει
𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0
δηλαδή, η συνάρτηση 𝑋 ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ
d2 𝑋
= −𝜆𝑋, 0 < 𝑥 < 𝐿
d𝑥2
𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.9)
(6.2.10)
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
51
το οποίο ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Το πρόβληµα αυτό έχει µία προφανή λύση, την 𝑋 = 0,
η οποία όµως απορρίπτεται διότι ϑέλουµε 𝑢 ̸= 0. Θα δούµε σύντοµα ότι στο Πρόβληµα Ιδιοτιµών
δεν καθορίζεται µόνο η συνάρτηση 𝑋 αλλά και οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η σταθερά 𝜆
ακριβώς όπως συµβαίνει και κατά την επίλυση του προβλήµατος ιδιοτιµών ενός τετραγωνικού πίνακα
στην Γραµµική ΄Αλγεβρα. Μία µη-τετριµένη(δηλ., µη-µηδενική) λύση του προβλήµατος (6.2.9-6.2.10)
την ονοµάζουµε Ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή 𝜆. Για τα προβλήµατα ιδιοτιµών, τα οποία είναι ΠΣΤ
για τις Σ∆Ε, δεν µπορούµε να είµαστε ϐέβαιοι εκ των προτέρων ότι υπάρχει λύση για κάθε τιµή
του 𝜆(σε αντίθεση µε τα προβλήµατα αρχικών τιµών για τα οποία έχουµε ϑεωρήµατα µοναδικότητας
και ύπαρξης λύσεως). ΄Ετσι ϑα ακολουθήσουµε την εξής τακτική : ϑα δώσουµε τη γενική λύση της
(6.2.9) και µετά ϑα ελέγξουµε τις τιµές του 𝜆 (αν υπάρχουν κάποιες) για τις οποίες υπάρχει λύση που
ικανοποιεί τις ΣΣ (6.2.10).
Η εξίσωση (6.2.9) έιναι Συνήθης ∆ιαφορική Εξίσωση µε Σταθερούς Συντελεστές και επιλύεται
εύκολα. Το χαρακτηριστικό της πολυώνυµο είναι το
𝑘2 + 𝜆 = 0
από το οποίο προκύπτουν οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του 𝜆:
√
√
˜ cosh( −𝜆𝑥) + ˜𝑏 sinh( −𝜆𝑥)
1. 𝜆 < 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎e −𝜆𝑥 + 𝑏e− −𝜆𝑥 = 𝑎
√
√
2. 𝜆 = 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥
√
√
3. 𝜆 > 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎 cos( 𝜆𝑥) + 𝑏 sin( 𝜆𝑥)
µε 𝑎, 𝑏 αυθαίρετες σταθερές.
Εδώ, κάναµε την υπόθεση ότι η 𝜆 παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και παρόλο που δεν το αποδείξαµε τυγχάνει αυτή να είναι και η πραγµατικότητα. Αργότερα ϑα έχουµε την ευκαιρία να διατυπώσουµε
κάποια γενικά αποτελέσµατα για αυτού του είδους τα προβλήµατα ιδιοτιµών και ϑα δείξουµε ότι όντως
οι ιδιοτιµές τους είναι πάντα πραγµατικές.
Σκοπός µας είναι τώρα να διαπιστώσουµε για ποιές τιµές του 𝜆 µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ
(6.2.10). ΄Ετσι έχουµε
Αρνητικές Ιδιοτιµές (𝜆 < 0)
Βοηθά να χρησιµοποιήσουµε τη µορφή
√
√
𝑋(𝑥) = 𝑎
˜ cosh( −𝜆𝑥) + ˜𝑏 sinh( −𝜆𝑥)
της λύσης, διότι η συνάρτηση sinh 𝑤 έχει µία µοναδική ϱίζα στο σηµείο 𝑤 = 0, ενώ η cosh 𝑤 είναι
αυστηρά ϑετική συνάρτηση. ΄Αρα, η απαίτηση 𝑋(0) = 0 συνεπάγεται ότι 𝑎
˜ = 0, ενώ η απαίτηση
˜
𝑋(𝐿) = 0 συνεπάγεται ότι 𝑏 = 0. ∆ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη 𝑋(𝑥) = 0, που
σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές.
Μηδενική Ιδιοτιµή(𝜆 = 0)
Τότε η λύση είναι η
𝑋(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥
και η απαίτηση 𝑋(0) = 0 δίνει 𝑎 = 0 ενώ η απαίτηση 𝑋(𝐿) = 0 συνεπάγεται ότι 𝑏 = 0. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το σύστηµα δεν µπορεί να έχει τη µηδενική ιδιοτιµή ως λύση.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
52
Χωρισµού Μεταβλητών.
Θετικές Ιδιοτιµές(𝜆 > 0)
Τότε η λύση είναι η
√
√
𝑋(𝑥) = 𝑎 cos( 𝜆𝑥) + 𝑏 sin( 𝜆𝑥)
και η απαίτηση 𝑋(0) = 0 δίνει 𝑎 = 0 δεδοµένου ότι sin 0 = 0. ΄Αρα, η απαίτηση 𝑋(𝐿) = 0 συνεπάγεται
ότι
√
sin( 𝜆𝐿) = 0
που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές
√
𝜆𝐿 = 𝑛𝜋 ⇒ 𝜆 =
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
𝐿
, 𝑛 ακέραιος
΄Αρα, το 𝜆 είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν
𝜆=
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
𝐿
και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι
𝑎 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 ≡ 𝑎𝑋(𝑥).
𝐿
∆εδοµένου ότι για 𝑛 < 0 δεν αλλάζει η τιµή του 𝜆 (εξαρτάται από το 𝑛2 ) ενώ sin(−𝑥) = − sin(𝑥)
ϑεωρούµε µόνο 𝑛 > 0 διότι έτσι παίρνουµε το ίδιο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιµών µε το να
ϑεωρούσαµε και 𝑛 < 0. Επίσης, είναι προφανές ότι καµία ιδιοτιµή δεν επαναλαµβάνεται παραπάνω
από µία ϕορά, άρα όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις
εξαρτώνται από το 𝑛, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό
𝑎𝑛 𝑋𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
𝑥 , 𝜆𝑛 =
. 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
𝐿
𝐿
(6.2.11)
Χρονική Εξάρτηση. ΄Εχουµε τελειώσει µε το ΠΣΤ και µένει η λύση του προβλήµατος (6.2.8) η οποία
είναι εξαιρετικά απλή και µας δίνει
𝑇 (𝑡) = 𝐴e−𝑘𝜆𝑡
(6.2.12)
όπου ϐέβαια το 𝜆 είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και
(︀ )︀2
παίρνει µόνο συγκεκριµένες τιµές, 𝜆𝑛 = 𝑛𝜋
. ΄Αρα,
𝐿
𝑛𝜋 2
𝑇𝑛 (𝑡) = 𝐴𝑛 e−𝑘( 𝐿 )
𝑡
(6.2.13)
Μορφή Λύσης. Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (6.2.4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προκύπτει ότι για κάθε 𝑛 έχουµε τη µορφή
𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝑎𝑛 𝐴𝑛 𝑋𝑛 (𝑥)𝑇𝑛 (𝑡) ≡ 𝐵𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
(6.2.14)
όπου προφανώς λόγω γραµµικότητας και κάθε γραµµικός συνδυασµός
𝑢(𝑥, 𝑡) =
𝑁
∑︁
𝑛=1
𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) =
𝑁
∑︁
𝑛=1
𝐵𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
(6.2.15)
ϑα είναι λύση του προβλήµατος. ΄Αρα, λόγω της αρχής της υπέρθεσης µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι
η γενική λύση της εξίσωσης η οποία ικανοποιεί και τις ΣΣ, είναι η (6.2.15).
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
53
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Μένει όµως και η ΑΣ, (6.2.3), που πρέπει να ικανοποιείται για
να µπορούµε να µπορούµε να πούµε ότι έχουµε λύσει το πρόβληµα. Αν κρατήσουµε ως λύση τη
µορφη (6.2.15) που µόλις κατασκευάσαµε ϑα πρέπει να ισχύει ότι
𝑓 (𝑥) = 𝑢(𝑥, 0) =
𝑁
∑︁
𝐵𝑛 sin
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 , 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝐿
κάτι τέτοιο ϑα σήµαινε ότι µπορούµε κάθε συνάρτηση, 𝑓 (𝑥), να την αναπαραστήσουµε µε ένα πεπεϱασµένο γραµµικό συνδυασµό ηµιτόνων. Αυτό όµως είναι λάθος διότι, οι µόνες αρχικές συνθήκες
για τις οποίες µπορούµε να λύσουµε
)︀ αυτές οι οποίες είναι ήδη γραµµικός συνδυασµός ηµιτόνων
(︀ είναι
𝑥
! ΄Αρα, η λύση του προβλήµατος δεν µπορεί να είναι της
και µάλιστα µόνο της µορφής sin 𝑛𝜋
𝐿
µορφής που µόλις κατασκευάσαµε ! Τη διέξοδο σε αυτή τη δυσκολία έδωσε ο ίδιος ο Fourier µε την
υπόθεση, ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά:
𝑢(𝑥, 𝑡) =
∞
∑︁
𝐵𝑛 sin
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
(6.2.16)
πράγµα το οποίο οδηγούσε στην εξής απαίτηση για την αρχική συνθήκη
𝑓 (𝑥) = 𝑢(𝑥, 0) =
∞
∑︁
𝑛=1
𝐵𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 , 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝐿
(6.2.17)
Η µεγαλοφυής ιδέα του Fourier ήταν να ϑεωρήσει ότι, πράγµατι,
(︀ 𝑛𝜋 )︀ κάθε συνάρτηση 𝑓 (𝑥) µπορεί να
αναπαρασταθεί σε άπειρη σειρά ηµιτόνων της µορφής sin 𝐿 𝑥 . Με αυτή την υπόθεση (η οποία
στην αρχή αµφισβητήθηκε έντονα, πήρε κάποιο καιρό για να αποδειχθεί η ορθότητα της και η προσπάθεια απόδειξης της ορθότητάς της οδήγησε στη ϑεµελίωση σηµαντικών κλάδων των σύγχρονων
µαθηµατικών)θα ασχοληθούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Μία τέτοια σειρά ονοµάζεται Σειρά Fourier
της συνάρτησης 𝑓 (𝑥) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(6.2.1-6.2.3) ή αλλιώς Ηµιτονική Σειρά
Fourier. Οι συντελεστές 𝐵𝑛 ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης σειράς. Σύντοµα ϑα
γίνει κατανοητό ότι η γνώση των συντελεστών ισοδυναµεί µε τη γνώση της Σειράς Fourier και το Ϲητούµενο είναι ο τρόπος προσδιορισµού τους. Στον προσδιορισµό των συντελεστών ϑα προχωρήσουµε
όµως, αφότου σχολιάσουµε πρώτα το κατά πόσο η 𝑢(𝑥, 𝑦) όντως αποτελεί λύση του ΠΑ-ΣΤ(6.2.1-6.2.3).
Επαλήθευση Λύσης. Η επαλήθευση της λύσης είναι κάτι το οποίο δεν ϑα επιχειρήσουµε να κάνουµε
άµεσα. ∆ιότι για να δείξουµε ότι η 𝑢(𝑥, 𝑦) είναι όντως λύση του ΠΑ-ΣΤ(6.2.1-6.2.3) πρέπει να είµαστε
ϐέβαιοι ως προς τη διαφορισιµότητα των Σειρών Fourier (δεδοµένου ότι ϑέλουµε να ικανοποιούν τη
Εξ.∆. ως λύσεις της). Σκεφτείτε ότι ούτε καν έχουµε προσπαθήσει να δώσουµε απάντηση στο ποιές
συναρτήσεις µπορούν να αναπαρασταθούν ως Σειρές Fourier. Με αυτά τα Ϲητήµατα ϑα ασχοληθούµε
στο κεφάλαιο (7). Εσείς µπορείτε προσωρινά να ϑεωρείτε δεδοµένο ότι όντως η 𝑢(𝑥, 𝑦) αποτελεί λύση
η οποία ικανοποιεί και τις οµογενείς ΣΣ. Αν κάποιος προσπαθήσει να παραγωγίσει όρο προς όρο τη
Σειρά Fourier ϑα δείξει ότι όντως ικανοποιεί το ΠΣΤ(6.2.1-6.2.2) όµως αυτό δεν είναι ο γενικός κανόνας
µε τις Σειρές Fourier και µέχρι να τον διατυπώσουµε και να είµαστε ϐέβαιοι για το πως µπορούµε
να παραγωγίσουµε αποφεύγουµε να το κάνουµε. Μένει εποµένως µόνο να προσδιορίσουµε τους
συντελεστές 𝐵𝑛 έτσι ώστε να ικανοποιείται η ΑΣ.
Εύρεση Συντελεστών Fourier. Ας επανέλθουµε στον προσδιορισµό των συντελεστών 𝐵𝑛 του αναπτύγµατος κατά Fourier της 𝑓 (𝑥) όπου κι εδώ δεν ϑα ασχοληθούµε, προσωρινά, µε Ϲητήµατα αυστηϱότητας τα οποία ϑα µας απασχολήσουν στο επόµενο κεφάλαιο. Ο προσδιορισµός των 𝐵𝑛 στηρίζεται
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
54
Χωρισµού Μεταβλητών.
στο ολοκλήρωµα
∫︁𝐿
(︁ 𝑚𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
sin
𝑥 sin
𝑥 𝑑𝑥 =
𝐿
𝐿
{︃
0
0, 𝑚 ̸= 𝑛
𝐿
2, 𝑚 = 𝑛
(6.2.18)
΄Ασκηση
6.1. Να αποδειχθεί η σχέση (6.2.18).
(︂
Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα
1
sin 𝑎 sin 𝑏 = [cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏)]
2
)︂
Είναι προφανές, ως άµεση συνέπεια του τύπου (6.2.18), ότι
∫︁𝐿
sin
(︁ 𝑚𝜋 )︁2
𝐿
𝑥 𝑑𝑥 =
𝐿
2
(6.2.19)
0
Τέτοιου είδους ολοκληρώµατα ονοµάζονται Σχέσεις Ορθογωνιότητας και Κανονικοποίησης αντίστοιχα. Αποτελούν ένα από τα σηµαντικότερα συστατικά της µεθόδου του Fourier αλλά και της
γενίκευσης της που είναι η ϑεωρία των Sturm-Liouville µε την οποία ϑα ασχοληθούµε αναλυτικά στα
επόµενα κεφάλαια. Η σηµαντικότητα των δύο σχέσεων, (6.2.18) και (6.2.19) για τον προσδιορισµό
των συντελεστών Fourier ϕαίνεται αν πράξουµε ως εξής
∫︁𝐿
[︃ ∞
]︃
∫︁𝐿
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑚𝜋 )︁ ∑︁
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝐵𝑛 sin
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = sin
𝑥
𝑥 𝑑𝑥
sin
𝐿
𝐿
𝐿
𝑛=1
0
0
=
∞
∑︁
∫︁𝐿
𝐵𝑛
𝑛=1
sin
(︁ 𝑚𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 sin
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
0
∫︁𝐿
= 𝐵𝑚
sin
(6.2.20)
(︁ 𝑚𝜋 )︁2
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
0
𝐿
= 𝐵𝑚
2
όπου χρησιµοποιήσαµε τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης, (6.2.18) και (6.2.19), των
ηµιτόνων. ∆ηλαδή,
∫︀𝐿
𝐵𝑚 =
sin
0
∫︀𝐿
0
(︀ 𝑚𝜋 )︀
𝐿 𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
(︀
)︀2
sin 𝑚𝜋
𝐿 𝑥 𝑑𝑥
2
=
𝐿
∫︁𝐿
sin
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
𝐿
(6.2.21)
0
από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι οι συντελεστές Fourier της 𝑓 (𝑥) καθορίζονται µε µοναδικό τρόπο.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
55
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
Σύνοψη.
Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις
𝑢(𝑥, 𝑡) =
∞
∑︁
𝑛=1
∫︀𝐿
𝐵𝑛 sin
sin
𝐵𝑚 =
0
∫︀𝐿
0
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 , και
𝐿
(︀ 𝑚𝜋 )︀
𝐿 𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
(︀
)︀2
sin 𝑚𝜋
𝐿 𝑥 𝑑𝑥
2
=
𝐿
∫︁𝐿
sin
(6.2.22)
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
𝐿
(6.2.23)
0
αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ (6.2.1-6.2.3) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική συνϑήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής.
Αυµπτωτική Συµπεριφορά.
Επειδή οι συντελεστές Fourier δεν απειρίζονται (όπως ϑα δειχθεί στο
2
𝑛𝜋
επόµενο κεφάλαιο) είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι λόγω του όρου e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 η λύση ϑα ελλατώνεται µε την πάροδο του χρόνου και µάλιστα ϑα ισχύει
lim 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0
𝑡→∞
Ερµηνεία : Κάτι τέτοιο είναι συµβατό µε την εµπειρία µας αν σκεφτούµε τη ϕυσική σηµασία του
ΠΑ-ΣΤ που µόλις λύσαµε. Η αρχική συνθήκη µας λέει ότι τη χρονική στιγµή 𝑡 = 0 δίνουµε σε κάθε
σηµείο της ϱάβδου µία τιµή ϑερµοκρασίας (αυτό σηµαίνει το 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥)) και µετά εξατάζουµε
πως µεταβάλεται η ϑερµοκρασία αυτή αν το κάθε άκρο της ϱάβδου το ϕέρουµε σε επαφή µε άπειρη
ϑερµική δεξαµενή ϑερµοκρασίας ίσης µε µηδέν. Σύµφωνα µε ότι ξέρουµε η ϑερµότητα ϑα αρχίσει να
ϱέει από τη ϱάβδο προς τη δεξαµενή (από το ϑερµότερο ως το ψυχρότερο δηλαδή) µέχρι να έρθουν όλα
τα συστήµατα σε ϑερµική ισορροπία. Επειδή όµως η δεξαµενή είναι άπειρη, ϑα παραµένει πάντα σε
ϑερµοκρασία ίση µε µηδέν άρα ϑα έχουµε ϑερµική ισορροπία µόνο όταν η ϑερµοκρασία της ϱάβδου
γίνει ίση µε µηδέν !
Παράδειγµα 6.1 (Παράδειγµα 5.1 Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein, 2005):
Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ,
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
− 𝑘 2 = 0,
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝜋, 𝑡) = 0,
0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0
𝑡≥0
{︂
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥) =
𝜋
2
𝑥
0≤𝑥<
𝜋 − 𝑥 𝜋2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
(6.2.24)
(ΣΣ)
(6.2.25)
(ΑΣ)
(6.2.26)
Λύση.
Για τη λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών, δεν έχουµε παρά να αντικαταστήσουµε στην έκφραση (6.2.16)
για 𝐿 = 𝜋 . ΄Ετσι η λύση είναι η
𝑢(𝑥, 𝑡) =
∞
∑︁
2𝑡
𝐵𝑛 sin (𝑛𝑥) e−𝑘𝑛
(6.2.27)
𝑛=1
µε τους συντελεστές 𝐵𝑛 να προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες µέσω της σχέσης
2
𝐵𝑛 =
𝜋
∫︁𝜋
0
𝜋
2
sin(𝑛𝑥)𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
∫︁2
2
sin(𝑛𝑥)𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 +
𝜋
0
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
∫︁𝜋
sin(𝑛𝑥)𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
(6.2.28)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
56
Χωρισµού Μεταβλητών.
όπου σπάσαµε το ολοκλήρωµα εξ΄ αιτίας του ορισµού της 𝑓 (𝑥) και έτσι προκύπτει
𝜋
2
𝐵𝑛 =
𝜋
∫︁2
2
sin(𝑛𝑥)𝑥𝑑𝑥 +
𝜋
∫︁𝜋
sin(𝑛𝑥)(𝑥 − 𝜋)𝑑𝑥
(6.2.29)
𝜋
2
0
δεδοµένου ότι
𝜋
2
𝜋
∫︁2
𝜋
2
𝑥 sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑛𝜋
0
∫︁2
𝑥𝑑 cos(𝑛𝑥)
0
𝜋
]︃ 𝜋
=−
2
2
𝑥 cos(𝑛𝑥)
𝑛𝜋
+
0
2
𝑛𝜋
∫︁2
cos(𝑛𝑥)𝑑𝑥
(6.2.30)
0
]︃ 𝜋
]︃ 𝜋
2
2
2
𝑥 cos(𝑛𝑥) + 2 (sin(𝑛𝑥))
𝑛𝜋
𝑛 𝜋
0
]︃ 𝜋
[︃
2 −𝑥 cos(𝑛𝑥) sin(𝑛𝑥) 2
+
=
𝜋
𝑛
𝑛2
2
=−
0
0
µπορούµε τότε να πούµε ότι
2
𝜋
∫︁𝜋
∫︁𝜋
(𝜋 − 𝑥) sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 2
𝜋
2
2
sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥 −
𝜋
∫︁𝜋
𝑥 sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
𝜋
2
]︃𝜋
[︃
2
2 −𝑥 cos(𝑛𝑥) sin(𝑛𝑥)
= − cos(𝑛𝑥) −
+
𝑛
𝜋
𝑛
𝑛2
𝜋
2
[︃
]︃𝜋
2 −(𝜋 − 𝑥) cos(𝑛𝑥) sin(𝑛𝑥)
=
−
𝜋
𝑛
𝑛2
𝜋
]︃𝜋
(6.2.31)
𝜋
2
2
άρα η έκφραση, (6.2.29), για τους συντελεστές 𝐵𝑛 γίνεται
[︃
]︃ 𝜋
[︃
]︃𝜋
2 −𝑥 cos(𝑛𝑥) sin(𝑛𝑥) 2
2 −(𝜋 − 𝑥) cos(𝑛𝑥) sin(𝑛𝑥)
+
+
−
𝜋
𝑛
𝑛2
𝜋
𝑛
𝑛2
𝜋
0
2
[︃
[︃
2
]︃𝜋
2 sin(𝑛𝑥)
𝜋
𝑛2
𝜋
0
2
{︃
0
𝑛
= 2𝑘
4
𝑛𝜋
= 2 sin( ) = 4(−1)𝑘+1
𝑛 = 2𝑘 − 1
𝑛 𝜋
2
(2𝑘−1)2 𝜋
=
2 sin(𝑛𝑥)
𝜋
𝑛2
]︃ 𝜋
−
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.32)
57
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
άρα η λύση είναι
𝑢(𝑥, 𝑡) =
∞
4 ∑︁ (−1)𝑘+1
2
sin [(2𝑘 − 1)𝑥] e−(2𝑘−1) 𝑡
2
𝜋
(2𝑘 − 1)
(6.2.33)
𝑘=1
από τη µορφή της λύσης είναι προφανές ότι οι συντελεστές Fourier παραµένουν πεπερασµένοι,
οπότε επαληθεύεται η ασυµπτωτική συµπεριφορά
lim 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0
𝑡→∞
2
η οποία οφείλεται στον όρο e−(2𝑘−1) 𝑡 .
Παράδειγµα 6.2:
Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ,
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
− 𝑘 2 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0
(ΣΣ)
15𝜋
𝑢(𝑥, 0) = sin(
𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
(ΑΣ)
𝐿
(6.2.34)
(6.2.35)
(6.2.36)
Λύση.
Απλώς ϑα εφαρµόσουµε τους τύπους (6.2.22) και (6.2.23). Για τον προσδιορισµό των συντελεστών 𝐵𝑛
έχουµε
2
𝐵𝑛 =
𝐿
∫︁𝐿
𝑛𝜋
2
sin( 𝑥)𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =
𝐿
𝐿
0
∫︁𝐿
sin(
𝑛𝜋
15𝜋
𝑥) sin(
𝑥)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
0
{︃
⇒ 𝐵𝑛 =
0 𝑛 ̸= 15
1 𝑛 = 15
(6.2.37)
µε άλλα λόγια επιβιώνει µόνο ο όρος για 𝑛 = 15, δηλαδή ο 𝐵15 που σηµαίνει ότι η λύση µας είναι η
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐵15 sin(
15𝜋 2
15𝜋 2
15𝜋
15𝜋
𝑥)e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 = sin(
𝑥)e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
𝐿
(6.2.38)
Είδαµε την ειδικά απλή µορφή που παίρνει η λύση αν η αρχική συνθήκη είναι µία από τις
ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ.
΄Ασκηση 6.2. Να λυθεί το παρακάτω ΠΑ-ΣΤ µε 0 < 𝑥 < 𝐿,
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
− 𝑘 2 = 0, 𝑡 > 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0
για
{︂
(𝑎) 𝑢(𝑥, 0) = 100
(𝑏) 𝑢(𝑥, 0) = cos( 3𝜋
𝐿 𝑥)
Για το πρόβληµα (𝑏) χρησιµοποιείστε το τύπο (10.1.20). Επίσης, για το ίδιο πρόβληµα σχολιάστε για το
κατά πόσο η αρχική συνθήκη είναι συµβατή.
Ας προχωρήσουµε τώρα στη λύση του ΠΑ-ΣΤ µε ΣΣ Neumann.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
58
Χωρισµού Μεταβλητών.
ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Παρατηρείστε, ότι χωρίς την απαίτηση της αρχικής συνθήκης το
πρόβληµα που µένει, το οποίο είναι πλέον µόνο ΠΣΤ δεν έχει µοναδική λύση. Αυτό είναι πολύ απλό
να το διαπιστώσει κανείς, αν ανατρέξει στην έκφραση, (6.2.22), της λύσης του ΠΣΤ και στην οποία
για κάθε τιµή του 𝑛 υπάρχουν άπειρα 𝐵𝑛 που την ικανοποιούν. Με άλλα λόγια, η έκφραση για
τους συντελεστές 𝐵𝑛 , (6.2.23), προσδιορίζει από την απειρία συντελεστών που ικανοποιούν το ΠΣΤ
αυτούς που ικανοποιούν και το ΠΑΤ. Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή σε όλα τα ΠΣΤ και δεν αποτελεί
χαρακτηριστικό των ειδικών ΣΣ του προβλήµατος που µόλις λύσαµε, όπως ϑα έχουµε την ευκαιρία να
διαπιστώσουµε και παρακάτω.
6.2.1.ii
Neumann ΣΣ
Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ:
𝜕2𝑢
𝜕𝑢
− 𝑘 2 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0
(ΣΣ)
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
(ΑΣ)
(6.2.39)
(6.2.40)
(6.2.41)
το πρόβληµα αυτό περιγράφει τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους 𝐿 µε µονωµένα άκρα
(δηλ., άκρα που δεν επιτρέπουν ανταλλαγές ϑερµοκρασίας.)
Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει
𝑓𝑥 (0) = 𝑓𝑥 (𝐿) = 0
διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες.
Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα (6.2)που ακολουθεί.
Σχήµα 6.2: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ∆ιάχυσης µε ΣΣ Neumann.
Πάλι, απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡)
(6.2.42)
όπου οι 𝑋 και 𝑇 είναι συναρτήσεις των µεταβλητών 𝑥 και 𝑡 αντίστοιχα και όπου για λόγους εντελώς
αντίστοιχους µε αυτούς της προηγούµενης ενότητας (6.2.1.i) µας ενδιαφέρουν µόνο συναρτήσεις 𝑋
και 𝑇 οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά.
Η όλη διαδικασία αντικατάστασης της χωριζόµενης µορφής της λύσης στην εξίσωση (6.2.39) δεν
αλλάζει σε σχέση µε την ενότητα (6.2.1.i) και έτσι καταλήγουµε στο ίδιο σύστηµα εξισώσεων,
d2 𝑋
= −𝜆𝑋, 0 < 𝑥 < 𝐿
d𝑥2
d𝑇
= −𝜆𝑘𝑇, 𝑡 > 0
d𝑡
(6.2.43)
(6.2.44)
όπου τονίζεται πάλι, ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί
µέλος της (6.2.43) οπότε αν χρειαστεί κάνετε τις απαραίτητες διορθώσεις.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
Πρόβληµα ιδιοτιµών.
59
Η απαίτηση να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση 𝑢 τις ΣΣ µας δίνει
𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 0 ⇒ 𝑋𝑥 (0)𝑇 (𝑡) = 0,
𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡) = 0 ⇒ 𝑋𝑥 (𝐿)𝑇 (𝑡) = 0
και εφόσον απαιτούµε να ισχύει 𝑢 ̸= 0 δεν µπορεί να ισχύει ότι 𝑇 (𝑡) = 0, ∀𝑡 οπότε αναγκαστικά ϑα
πρέπει
𝑋𝑥 (0) = 𝑋𝑥 (𝐿) = 0
δηλαδή, η συνάρτηση 𝑋 ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ
d2 𝑋
= −𝜆𝑋, 0 < 𝑥 < 𝐿
d𝑥2
𝑋𝑥 (0) = 𝑋𝑥 (𝐿) = 0
(6.2.45)
(6.2.46)
το οποίο επίσης, ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Αναζητούµε πάλι, και τις τιµές του 𝜆 για τις
οποίες έχουµε λύση, δηλαδή τις Ιδιοτιµές αλλά και τις µη τετριµµένες λύσεις του προβλήµατος
(6.2.45-6.2.46) δηλαδή, τις ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές 𝜆.
Η επίλυση της εξίσωσης (6.2.45) δεν αλλάζει σε σχέση µε αυτή της (6.2.9) και έτσι προκύπτουν
πάλι οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του 𝜆:
√
√
1. 𝜆 < 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎e −𝜆𝑥 + 𝑏e− −𝜆𝑥 = 𝑎
˜ cosh( −𝜆𝑥) + ˜𝑏 sinh( −𝜆𝑥)
√
√
2. 𝜆 = 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥
√
√
3. 𝜆 > 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎 cos( 𝜆𝑥) + 𝑏 sin( 𝜆𝑥)
µε 𝑎, 𝑏 αυθαίρετες σταθερές.
Υποθέτουµε ξανά (προσωρινά πάντα) ότι η 𝜆 παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και εξετάζουµε για
ποιές τιµές του 𝜆 µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (6.2.46). ΄Ετσι έχουµε
Αρνητικές Ιδιοτιµές (𝜆 < 0).
Τότε,
√
√
𝑋(𝑥) = 𝑎
˜ cosh( −𝜆𝑥) + ˜𝑏 sinh( −𝜆𝑥)
√
√
√
√
⇒ 𝑋𝑥 (𝑥) = 𝑎
˜ −𝜆 sinh( −𝜆𝑥) + ˜𝑏 −𝜆 cosh( −𝜆𝑥)
Η απαίτηση 𝑋𝑥 (0) = 0 συνεπάγεται ότι ˜
𝑏 = 0, ενώ η απαίτηση 𝑋𝑥 (𝐿) = 0 συνεπάγεται ότι 𝑎
˜ = 0.
∆ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη 𝑋(𝑥) = 0, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται
αρνητικές ιδιοτιµές.
Μηδενική Ιδιοτιµή(𝜆 = 0)
Τότε η λύση είναι η
𝑋(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 ⇒ 𝑋𝑥 (𝑥) = 𝑏
και οι δύο απαιτήσεις, 𝑋𝑥 (0) = 𝑋𝑥 (𝐿) = 0 είναι συµβατές µε τη συνθήκη 𝑏 = 0, άρα, σε αντίθεση
µε την περίπτωση των ΣΣ Dirichlet έχουµε τη µηδενική ιδιοτιµή, 𝜆 = 0, ως λύση µε ιδιοσυνάρτηση
την
𝑋(𝑥) = 𝑎, δηλαδή, µία σταθερά.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.47)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
60
Χωρισµού Μεταβλητών.
Θετικές Ιδιοτιµές(𝜆 > 0)
Τότε η λύση είναι η
√
√
𝑋(𝑥) = 𝑎 cos( 𝜆𝑥) + 𝑏 sin( 𝜆𝑥)
√
√
√
√
⇒ 𝑋𝑥 (𝑥) = −𝑎 𝜆 sin( 𝜆𝑥) + 𝑏 𝜆 cos( 𝜆𝑥)
και η απαίτηση 𝑋𝑥 (0) δίνει 𝑏 = 0 δεδοµένου ότι sin 0 = 0. ΄Αρα, η απαίτηση 𝑋𝑥 (𝐿) = 0 συνεπάγεται
ότι
√
sin( 𝜆𝐿) = 0
που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές
√
𝜆𝐿 = 𝑛𝜋 ⇒ 𝜆 =
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
𝐿
, 𝑛 ακέραιος
΄Αρα, το 𝜆 είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν
𝜆=
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
𝐿
και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι
𝑏 cos
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 ≡ 𝑏𝑋(𝑥)
𝐿
Παρατηρούµε ότι έχουµε τις ίδιες ιδιοτιµές αλλά διαφορετικές ιδιοσυναρτήσεις σε σχέση µε την ενότητα
(6.2.1.i) όταν 𝜆 > 0. Για τους ίδιους λόγους µε αυτούς της ενότητας (6.2.1.i) ϑεωρούµε µόνο 𝑛 > 0 και
είναι προφανές ότι όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις
εξαρτώνται από το 𝑛, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό
𝑎𝑛 𝑋𝑛 = 𝑎𝑛 cos
Χρονική Εξάρτηση.
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 , 𝜆𝑛 =
. 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
𝐿
𝐿
(6.2.48)
Η λύση του προβλήµατος (6.2.44) είναι όπως και του προβλήµατος (6.2.8), η
𝑇 (𝑡) = 𝐴e−𝑘𝜆𝑡
(6.2.49)
όπου ϐέβαια το 𝜆 είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και
(︀ )︀2
, 𝑛 = 1, 2, . . . , και έτσι για τις λύσεις τις χρονικής
παίρνει µόνο τις τιµές, 𝜆0 = 0 και 𝜆𝑛 = 𝑛𝜋
𝐿
εξέλιξης προκύπτει,
𝑛𝜋 2
𝑇0 = 𝐵0 , 𝑇𝑛 (𝑡) = 𝐵𝑛 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 , 𝑛 = 1, 2, . . . ,
Μορφή Λύσης.
κύπτει
(6.2.50)
Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (6.2.42), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προ-
𝑢0 (𝑥, 𝑡) = 𝑎𝐵0 ≡ 𝐴0 ,
(6.2.51)
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝑏𝑛 𝐵𝑛 𝑋𝑛 (𝑥)𝑇𝑛 (𝑡) ≡ 𝐴𝑛 cos
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,
𝐿
(6.2.52)
Λόγω της συζήτησης που προηγήθηκε κατά τη µελέτη του ΠΑ-ΣΤ Dirichlet ϑεωρούµε τη γενικευµένη
αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴0 +
∞
∑︁
𝑛=1
𝐴𝑛 cos
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.53)
61
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
όπου παρατηρείστε ότι η λύση µπορεί να γραφεί και στην ενιαία µορφή
𝑢(𝑥, 𝑡) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 cos
𝑛=0
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
(6.2.54)
αλλά εµείς προτιµήσαµε την προηγούµενη γραφή διότι δείχνει ότι έχουµε συνεισφορά των δύο διαϕορετικών περιπτώσεων, 𝜆 = 0 και 𝜆 > 0. Η λύση αυτή από κατασκευής ικανοποιεί τις ΣΣ.
Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης.
Για την αρχική συνθήκη απαιτούµε να ισχύει
𝑓 (𝑥) = 𝑢(𝑥, 0) = 𝐴0 +
∞
∑︁
𝐴𝑛 cos
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 , 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝐿
και ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο ότι η 𝑓 (𝑥) µπορεί να αναπτυχθεί και ως προς αυτή τη σειρά, η
οποία ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης 𝑓 (𝑥) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(6.2.396.2.41) ή αλλιώς Συνηµιτονική Σειρά Fourier. Αντίστοιχα, οι συντελεστές 𝐵𝑛 ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης συνηµιτονικής σειράς και το Ϲητούµενο είναι ο προσδιορισµός τους.
Εύρεση Συντελεστών Fourier.
ότητας,
∫︁𝐿
0
Ο προσδιορισµός των 𝐵𝑛 στηρίζεται πάλι σε Σχέσεις Ορθογωνι-
⎧
⎨0, 𝑚 ̸= 𝑛
(︁ 𝑚𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
cos
𝑥 cos
𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿2 , 𝑚 = 𝑛 ̸= 0
⎩
𝐿
𝐿
𝐿, 𝑚 = 𝑛 = 0
(6.2.55)
και Κανονικοποίησης,
∫︁𝐿
cos
(︁ 𝑚𝜋 )︁2
𝐿
𝑥 𝑑𝑥 = , 𝑚 ̸= 0.
𝐿
2
(6.2.56)
0
οι οποίες είναι άµεση συνέπεια των (6.2.55). Αναλυτικά µε αυτές ϑα ασχοληθούµε στα επόµενα
κεφάλαια.
΄Ασκηση
6.3. Να αποδειχθεί η σχέση (6.2.55).
(︂
Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα
1
cos 𝑎 cos 𝑏 = [cos(𝑎 − 𝑏) + cos(𝑎 + 𝑏)]
2
)︂
Είναι εύκολο να δειχθεί µε τη ϐοήθεια των δύο σχέσεων, (6.2.55) και (6.2.56) ότι
1
𝐴0 =
𝐿
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
(6.2.57)
0
𝐴𝑚 =
2
𝐿
∫︁𝐿
0
∫︀𝐿
(︁ 𝑚𝜋 )︁
cos
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =
𝐿
cos
0
∫︀𝐿
0
(︀ 𝑚𝜋 )︀
𝐿 𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
(6.2.58)
(︀
)︀2
cos 𝑚𝜋
𝐿 𝑥 𝑑𝑥
από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι οι συντελεστές Fourier της 𝑓 (𝑥) καθορίζονται µε µοναδικό τρόπο.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
62
Χωρισµού Μεταβλητών.
Σύνοψη.
Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴0 +
∞
∑︁
𝐴𝑛 cos
𝑛=1
1
𝐴0 =
𝐿
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 , και
𝐿
(6.2.59)
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
(6.2.60)
0
𝐴𝑚 =
2
𝐿
∫︁𝐿
∫︀𝐿
(︁ 𝑚𝜋 )︁
cos
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =
𝐿
0
cos
0
∫︀𝐿
0
(︀ 𝑚𝜋 )︀
𝐿 𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
(6.2.61)
(︀
)︀2
cos 𝑚𝜋
𝐿 𝑥 𝑑𝑥
αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ (6.2.39-6.2.41) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική
συνθήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής.
Ασυµπτωτική Συµπεριφορά. Παρατηρώντας τη µορφή της λύσης και µε την υπόθεση ότι οι συντελεστές 𝐵𝑛 δεν απειρίζονται (στο επόµενο κεφάλαιο ϑα δειχθεί και αυτό) ϐλέπουµε ότι υπάρχει µία
ουσιώδης διαφορά µεταξύ των λύσεων για 𝜆 = 0 και 𝜆 > 0. Οι λύσεις για 𝜆 > 0 ϕθίνουν εκθετικά
𝑛𝜋 2
λόγω του όρου e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 µε αποτέλεσµα να τείνουν στο µηδέν για 𝑡 → ∞ ενώ δεν συµβαίνει το ίδιο
για τη λύση 𝐵0 που αντιστοιχεί στο 𝜆 = 0, η οποία είναι σταθερή. ΄Αρα,
1
lim 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴0 =
𝑡→∞
𝐿
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = σταθ.
(6.2.62)
0
Το ενδιαφέρον µε την ασυµπτωτική µορφή της λύσης δεν είναι τόσο το ότι είναι σταθερή (και όχι κατ΄
ανάγκη ίση µε το µηδέν) αλλά το ότι είναι ίση µε τη µέση τιµή (χωρική) της αρχικής κατανοµής
ϑερµοκρασίας. Αυτό είναι συνέπεια των µονωτικών συνοριακών συνθηκών οι οποίες δεν επιτρέπουν
την ανταλλαγή ϑερµότητας µε το περιβάλλον και έχουν ως αποτέλεσµα τη διατήρηση της συνολικής
ϑερµικής ενέργειας της ϱάβδου. Πράγµατι, αν ανατρέξουµε στην κατασκευή της Εξ.∆. και ειδικότερα
στη σελίδα (ΠΡ-5) ϐλέπουµε ότι ισχύει ο τύπος
∫︁𝐿
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑒
𝑑𝑥 = Φ(0, 𝑡) − Φ(𝐿, 𝑡) = −𝑘 (0, 𝑡) + 𝑘 (𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(6.2.63)
0
αφού, ϑεωρούµε ότι δεν έχουµε πηγές ϑερµότητας (λύνουµε το οµογενές πρόβληµα !) ΄Οµως, εξαιτίας
των συνοριακών συνθηκών
𝜕𝑢
𝜕𝑢
(0, 𝑡) =
(𝐿, 𝑡) = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑥
άρα
∫︁𝐿
𝜕𝑒
𝑑𝑥 = 0
𝜕𝑡
0
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.64)
63
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
δηλαδή διατηρείται η συνολική ϑερµική ενέργεια. ΄Αρα, η αρχική ϑερµική ενέργεια η οποία είναι ίση
µε
∫︁𝐿
𝑘
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥, δεδοµένου ότι 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥)
(6.2.65)
0
ϑα πρέπει να είναι ίση µε την τελική ϑερµική ενέργεια για 𝑡 → ∞. ∆ηλαδή, να είναι ίση µε
∫︁𝐿
∫︁𝐿
𝑢(𝑥, ∞)𝑑𝑥 = 𝑘
𝑘
0
𝐴0 𝑑𝑥 = 𝑘𝐴0 𝐿
(6.2.66)
0
Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις προκύπτει η έκφραση για την ασυµπτωτική τιµή, (6.2.62), της λύσης.
Βλέπουµε δηλαδή πως ακόµη και αν δεν ξέραµε τη σειρά Fourier για την αρχική συνθήκη, ϑα
µπορούσαµε να προβλέψουµε την λύση ισορροπίας για το συγκεκριµένο πρόβληµα από την απαίτηση
και µόνο να διατηρείται η ϑερµική ενέργεια και η λύση να δίνεται από την έκφραση (6.2.22). Αυτό
είναι εύκολο να διαπιστωθεί και µε άλλο τρόπο ο οποίος σας δίνεται ως άσκηση.
΄Ασκηση 6.4 (Εναλλακτικός Προσδιορισµός Λύσης Ισορροπίας).
Για το ΠΑ-ΣΤ (6.2.39-6.2.41) ακολουθήστε τα παρακάτω ϐήµατα για να για να ϐρείτε τη λύση ισορροπίας :
• Απαιτείστε 𝜕𝑢
𝜕𝑡 (𝑥, 𝑡) = 0 και λύστε το ΠΣΤ που προκύπτει(είναι η Laplace σε µία διάσταση).
• Με τη χρήση της διατήρησης της ϑερµικής ενέργειας προσδιορίστε µοναδικά τη λύση και δείξτε
ότι έχει τη µορφή (6.2.62). Για ποιό λόγο δεν µπορείτε να προσδιορίσετε τη λύση, απλώς από την
απαίτηση να ισχύει η αρχική συνθήκη ;
Παράδειγµα 6.3:
Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ,
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
− 𝑘 2 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0
(ΣΣ)
10𝜋
𝑢(𝑥, 0) = cos(
𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
(ΑΣ)
𝐿
(6.2.67)
(6.2.68)
(6.2.69)
Λύση.
Απλώς ϑα εφαρµόσουµε τους τύπους (6.2.59) ως (6.2.61). Για τον προσδιορισµό των συντελεστών 𝐴𝑛
έχουµε
1
𝐴0 =
𝐿
∫︁𝐿
cos(
10𝜋
𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 0
𝐿
(6.2.70)
0
∫︁𝐿
𝑛𝜋
2
cos( 𝑥)𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =
𝐿
𝐿
0
⎧
⎨0 𝑛 ̸= 0, 10
⇒ 𝐴𝑛 = 0 𝑛 = 0
⎩
1 𝑛 = 10
2
𝐴𝑛 =
𝐿
∫︁𝐿
cos(
𝑛𝜋
10𝜋
𝑥) cos(
𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 ̸= 0
𝐿
𝐿
0
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.71)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
64
Χωρισµού Μεταβλητών.
µε άλλα λόγια επιβιώνει µόνο ο σταθερός όρος και ο όρος για 𝑛 = 10, δηλαδή ο 𝐵10 που σηµαίνει ότι
η λύση µας είναι η
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴10 cos(
10𝜋 2
10𝜋
𝑥)e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
(6.2.72)
΄Ασκηση 6.5. Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ µε 0 < 𝑥 < 𝐿:
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
− 𝑘 2 = 0, 𝑡 > 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0
για
{︂
0 𝑥 < 𝐿2
(𝑎) 𝑢(𝑥, 0)
1 𝑥 > 𝐿2
(𝑏) 𝑢(𝑥, 0) = −2 sin( 𝐿𝜋 𝑥)
Για το πρόβληµα (𝑏) χρησιµοποιείστε το τύπο (10.1.20). Επίσης, για το ίδιο πρόβληµα σχολιάστε για το
κατά πόσο η αρχική συνθήκη είναι συµβατή.
6.2.1.iii
Περιοδικές ΣΣ
Θα λύσουµε τώρα το εξής ΠΑ-ΣΤ
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
− 𝑘 2 = 0, −𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢(−𝐿, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡),
𝑡≥0
(ΣΣ − 1)
𝑢𝑥 (−𝐿, 𝑡) = 𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡),
𝑡≥0
(ΣΣ − 2)
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥), −𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
(ΑΣ)
(6.2.73)
(6.2.74)
(6.2.75)
(6.2.76)
το οποίο αντιστοιχεί στη διάχυση ϑερµότητας σε ένα λεπτό κυκλικό δαχτυλίδι(I) . Για λόγους ευκολίας
παίρνουµε το µήκος του να είναι 2𝐿 (αντί για 𝐿) και ϑεωρούµε ότι το µήκος τόξου, 𝑥, µεταβάλεται από
το −𝐿 ως το 𝐿 (αντί από 0 ως 2𝐿). Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται
στο σχήµα που ακολουθεί Επειδή τόσο το 𝐿 όσο και το −𝐿 αντιστοιχούν, επί της ουσίας, στην ίδια
Σχήµα 6.3: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ∆ιάχυσης µε περιοδικές ΣΣ.
διατοµή είναι λογικό να υποθέσουµε ότι τόσο η ϑερµοκρασία όσο και η ϱοή ϑερµότητας ϑα πρέπει,
ως συναρτήσεις του 𝑥, να είναι συνεχείς εκεί. ∆ηλαδή, ϑα πρέπει να ισχύουν οι ΣΣ (6.2.74, 6.2.75).
Η διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος που µόλις ϑέσαµε είναι η ίδια µε τα δύο προηγούµενα
προβλήµατα, οπότε ϑα είµαστε πιο περιληπτικοί και ελπίζουµε ότι κάποιος µπορεί να ανατρέξει σε
αυτά, σε περίπτωση απορίας.
Πάλι, απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡)
(6.2.77)
(I)
Απαιτούµε να είναι λεπτό το δαχτυλίδι, έτσι ώστε να µπορούµε µε υποθέσουµε πως η ϑερµοκρασία είναι σταθερή σε όλη
την επιφάνεια κάθε διατοµής του.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
65
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
όπου οι 𝑋 και 𝑇 είναι συναρτήσεις των µεταβλητών 𝑥 και 𝑡 αντίστοιχα και µας ενδιαφέρουν µόνο
συναρτήσεις 𝑋 και 𝑇 οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά.
Η αντικατάσταση της χωριζόµενης µορφής της λύσης στην εξίσωση (6.2.73) µας δίνει το σύστηµα
εξισώσεων,
d2 𝑋
= −𝜆𝑋,
d𝑥2
d𝑇
= −𝜆𝑘𝑇,
d𝑡
−𝐿<𝑥<𝐿
(6.2.78)
𝑡>0
(6.2.79)
όπου τονίζεται πάλι, ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί
µέλος της (6.2.78) οπότε αν χρειαστεί κάνετε τις απαραίτητες διορθώσεις.
Πρόβληµα ιδιοτιµών.
Η απαίτηση να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση 𝑢 τις ΣΣ µας δίνει
𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑢(−𝐿, 𝑡) ⇒ 𝑋(𝐿)𝑇 (𝑡) = 𝑋(−𝐿)𝑇 (𝑡),
𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡) = 𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡) ⇒ 𝑋𝑥 (𝐿)𝑇 (𝑡) = 𝑋𝑥 (−𝐿)𝑇 (𝑡)
οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει
𝑋(𝐿) = 𝑋(−𝐿)
𝑋𝑥 (𝐿) = 𝑋𝑥 (−𝐿)
δηλαδή, η συνάρτηση 𝑋 ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ ή ισοδύναµα Πρόβληµα Ιδιοτιµών:
d2 𝑋
= −𝜆𝑋, −𝐿 < 𝑥 < 𝐿
d𝑥2
𝑎) 𝑋(𝐿) = 𝑋(−𝐿)
𝑏) 𝑋𝑥 (𝐿) = 𝑋𝑥 (−𝐿)
(6.2.80)
(6.2.81)
Αναζητούµε πάλι, τόσο τις Ιδιοτιµές δηλαδή, τις τιµές του 𝜆 για τις οποίες το πρόβληµα έχει λύση,
όσο και τις Ιδιοσυναρτήσεις, δηλαδή τις µη-τετριµµένες λύσεις του προβλήµατος (6.2.80-6.2.81),
που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές 𝜆.
Η επίλυση της εξίσωσης (6.2.80), δίνει τις εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του 𝜆:
√
√
1. 𝜆 < 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎e −𝜆𝑥 + 𝑏e− −𝜆𝑥 = 𝑎
˜ cosh( −𝜆𝑥) + ˜𝑏 sinh( −𝜆𝑥)
√
√
2. 𝜆 = 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥
√
√
3. 𝜆 > 0 Τότε 𝑋(𝑥) = 𝑎 cos( 𝜆𝑥) + 𝑏 sin( 𝜆𝑥)
µε 𝑎, 𝑏 αυθαίρετες σταθερές.
Υποθέτουµε ξανά (προσωρινά πάντα) ότι η 𝜆 παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και εξετάζουµε για
ποιές τιµές του 𝜆 µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (6.2.81). ΄Ετσι έχουµε
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
66
Χωρισµού Μεταβλητών.
Αρνητικές Ιδιοτιµές (𝜆 < 0).
Τότε,
√
√
𝑋(𝐿) = 𝑋(−𝐿) ⇒ 𝑎
˜ cosh( −𝜆𝐿) + ˜𝑏 sinh( −𝜆𝐿)
√
√
=𝑎
˜ cosh( −𝜆𝐿) − ˜𝑏 sinh( −𝜆𝐿)
√
⇒ 2˜𝑏 sinh( −𝜆𝐿) = 0 ⇒ ˜𝑏 = 0
διότι sinh 𝑤 ̸= 0, για 𝑤 ̸= 0.
√
√
√
√
𝑋𝑥 (𝐿) = 𝑋𝑥 (−𝐿) ⇒ 𝑎
˜ −𝜆 sinh( −𝜆𝐿) + ˜𝑏 −𝜆 cosh( −𝜆𝐿)
√
√
√
√
= −˜
𝑎 −𝜆 sinh( −𝜆𝐿) + ˜𝑏 −𝜆 cosh( −𝜆𝐿)
√
√
⇒ 2˜
𝑎 −𝜆 sinh( −𝜆𝐿) = 0 ⇒ 𝑎
˜=0
διότι sinh 𝑤 ̸= 0, για 𝑤 ̸= 0.
΄Αρα, οι ΣΣ συνεπάγονται ότι ˜
𝑏=𝑎
˜ = 0. ∆ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη 𝑋(𝑥) = 0,
που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές.
Μηδενική Ιδιοτιµή(𝜆 = 0)
Τότε,
𝑋(𝐿) = 𝑋(−𝐿) ⇒ 𝑎 + 𝑏𝐿 = 𝑎 − 𝑏𝐿 ⇒ 2𝑏𝐿 = 0 ⇒ 𝑏 = 0.
𝑋𝑥 (𝐿) = 𝑋𝑥 (−𝐿) ⇒ 𝑏 = 𝑏
∆ηλαδή, οι ΣΣ συνεπάγονται απλώς 𝑏 = 0 και αφήνουν το 𝑎 απροσδιόριστο άρα, έχουµε τη µηδενική
ιδιοτιµή, 𝜆 = 0, ως λύση µε ιδιοσυνάρτηση την
𝑋(𝑥) = 𝑎, δηλαδή, µία σταθερά.
Θετικές Ιδιοτιµές(𝜆 > 0)
(6.2.82)
Τότε,
√
√
𝑋(𝐿) = 𝑋(−𝐿) ⇒ 𝑎 cos( 𝜆𝐿) + 𝑏 sin( 𝜆𝐿)
√
√
= 𝑎 cos( 𝜆𝐿) − 𝑏 sin( 𝜆𝐿)
√
⇒ 2𝑏 sin( 𝜆𝐿) = 0
√
√
√
√
𝑋𝑥 (𝐿) = 𝑋𝑥 (−𝐿) ⇒ −𝑎 𝜆 sin( 𝜆𝐿) + 𝑏 𝜆 cos( 𝜆𝐿)
√
√
√
√
= 𝑎 𝜆 sin( 𝜆𝐿) + 𝑏 𝜆 cos( 𝜆𝐿)
√
⇒ 2𝑎 sin( 𝜆𝐿) = 0
άρα και οι δύο ΣΣ ικανοποιούνται αν απλώς
√
sin( 𝜆𝐿) = 0
που σηµαίνει πως το 𝜆 είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν
𝜆=
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
𝐿
, 𝑛 ακέραιος
όπου καταλαβαίνουµε πλέον ότι ϑεωρήσαµε το µήκος να είναι 2𝐿, έτσι ώστε να πάρουµε τους ίδιους
τύπους για τις ιδιοτιµές.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
67
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
Οι σταθερές 𝑎, 𝑏 δεν έχουν κανένα περιορισµό. Και οι δύο παραµένουν αυθαίρετες, οπότε οι
αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι
𝑏 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 , 𝑎 cos
𝑥
𝑛 = 1, 2, 3, . . .
𝐿
𝐿
όπου πάλι ϑεωρούµε µόνο 𝑛 > 0 και είναι προφανές
είναι απλές. Για την
)︀
(︀ 𝑛𝜋 )︀ότι όλες (︀οι𝑛𝜋ιδιοτιµές
ακρίβεια, και κάθε Γραµµικός Συνδυασµός των cos 𝐿 𝑥 και sin 𝐿 𝑥
𝑏 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 + 𝑎 cos
𝑥
𝑛 = 1, 2, 3, . . .
𝐿
𝐿
είναι ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή 𝜆. Λαµβάνοντας υπόψιν την εξάρτηση από το 𝑛, γράφουµε για την
πιο γενική ιδιοσυνάρτηση,
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 + 𝑏𝑛 sin
𝑥 , 𝜆𝑛 =
. 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
(6.2.83)
𝐿
𝐿
𝐿
𝑋0 = 𝑎0 , 𝜆0 = 0. 𝑛 = 0.
(6.2.84)
)︀
(︀ 𝑛𝜋 )︀
(︀
όπου δε ξεχνάµε ότι και η κάθε µία από τις cos 𝑛𝜋
𝐿 𝑥 , sin 𝐿 𝑥 ξεχωριστά αποτελούν ιδιοσυναρ𝑋𝑛 = 𝑎𝑛 cos
τήσεις του προβλήµατος.
ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Παρατηρείστε ότι στο περιοδικό πρόβληµα έχουµε µία ουσιώδη διαϕορά σε σχέση µε τα προηγούµενα δύο προβλήµατα, όσον αφορά το πεδίο ορισµού της µεταβλητής
𝑥. Εδώ, η µόνη απαίτηση είναι η λύση και η παράγωγος της να παίρνουν την ίδια τιµή για 𝑥 = 𝐿 και
𝑥 = −𝐿 και από εκεί και πέρα δεν υπάρχει κάποιος άλλος περιορισµός : η µεταβλητή 𝑥 µπορεί να
πάρει οποιαδήποτε τιµή από −∞ ως ∞!
Χρονική Εξάρτηση.
Η λύση του προβλήµατος (6.2.79) είναι
𝑇 (𝑡) = 𝐴e−𝑘𝜆𝑡
(6.2.85)
(︀ )︀2
µε το 𝜆 ως λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών να παίρνει µόνο τις τιµές, 𝜆0 = 0 και 𝜆𝑛 = 𝑛𝜋
, 𝑛=
𝐿
1, 2, . . . , και έτσι,
𝑛𝜋 2
𝑇0 = 𝐴0 , 𝑇𝑛 (𝑡) = 𝐴𝑛 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 , 𝑛 = 1, 2, . . . ,
Μορφή Λύσης.
προκύπτει
(6.2.86)
Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (6.2.77), που απαιτήσαµε να έχει η λύση,
𝑢0 (𝑥, 𝑡) = 𝑎𝐴0 ≡ 𝐴0 ,
𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑋𝑛 (𝑥)𝑇𝑛 (𝑡)
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋 2
𝑛𝜋 2
≡ 𝐴𝑛 cos
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 + 𝐵𝑛 sin
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,
𝐿
𝐿
(6.2.87)
(6.2.88)
Λόγω της συζήτησης που προηγήθηκε κατά τη µελέτη του ΠΑ-ΣΤ Dirichlet ϑεωρούµε τη γενικευµένη
αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴0 +
∞
∑︁
𝑛=1
∞
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
∑︁
2
𝑛𝜋 2
𝑡
−𝑘( 𝑛𝜋
)
𝐿
𝐴𝑛 cos
𝑥 e
+
𝐵𝑛 sin
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
𝐿
𝑛=1
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.89)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
68
Χωρισµού Μεταβλητών.
πάλι, η λύση µπορεί να γραφεί και στην ενιαία µορφή
𝑢(𝑥, 𝑡) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 cos
𝑛=0
∞
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
∑︁
𝑛𝜋 2
𝑛𝜋 2
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡 +
𝐵𝑛 sin
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
𝐿
(6.2.90)
𝑛=1
αλλά εµείς προτιµήσαµε την προηγούµενη γραφή διότι δείχνει ότι έχουµε συνεισφορά των δύο διαϕορετικών περιπτώσεων, 𝜆 = 0 και 𝜆 > 0. Η λύση αυτή από κατασκευής ικανοποιεί τις ΣΣ.
Για την αρχική συνθήκη απαιτούµε, εποµένως, να ισχύει
Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης.
𝑓 (𝑥) = 𝑢(𝑥, 0) = 𝐴0 +
∞
∑︁
𝑛=1
∞
(︁ 𝑛𝜋 )︁ ∑︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝐴𝑛 cos
𝑥 +
𝑥 , 𝑥 ∈ (−∞, ∞)
𝐵𝑛 sin
𝐿
𝐿
𝑛=1
και ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο ότι η 𝑓 (𝑥) µπορεί να αναπτυχθεί και ως προς αυτή τη σειρά, η
οποία ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης 𝑓 (𝑥) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(6.2.736.2.76) ή αλλιώς Πλήρης Σειρά Fourier. Αντίστοιχα, οι συντελεστές 𝐵𝑛 ονοµάζονται Συντελεστές
Fourier της αντίστοιχης πλήρους σειράς και το Ϲητούµενο είναι ο προσδιορισµός τους.
Εύρεση Συντελεστών Fourier.
ϑογωνιότητας,
∫︁𝐿
−𝐿
Ο προσδιορισµός των 𝐴𝑛 και 𝐵𝑛 στηρίζεται πάλι σε Σχέσεις Ορ-
⎧
𝑚 ̸= 𝑛
⎨0,
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝑥 cos
𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿, 𝑚 = 𝑛 ̸= 0
cos
⎩
𝐿
𝐿
2𝐿, 𝑚 = 𝑛 = 0
∫︁𝐿
{︂
(︁ 𝑚𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
0, 𝑚 ̸= 𝑛
sin
𝑥 sin
𝑥 𝑑𝑥 =
𝐿, 𝑚 = 𝑛 ̸= 0
𝐿
𝐿
(6.2.91)
(6.2.92)
−𝐿
∫︁𝐿
sin
(︁ 𝑚𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 cos
𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝐿
𝐿
(6.2.93)
−𝐿
και Κανονικοποίησης(οι οποίες είναι άµεση συνέπεια των σχέσεων (6.2.94)-(6.2.93) )
∫︁𝐿
cos
(︁ 𝑚𝜋 )︁2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿, 𝑚 ̸= 0
𝐿
(6.2.94)
sin
(︁ 𝑚𝜋 )︁2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿, 𝑚 ̸= 0
𝐿
(6.2.95)
−𝐿
∫︁𝐿
−𝐿
µε τις οποίες, επίσης, ϑα ασχοληθούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
69
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
Είναι εύκολο να δειχθεί µε τη χρήση των πιο πάνω σχέσεων, ότι
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥) cos
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
𝐿
∫︁𝐿
𝑑𝑥 = 𝐴𝑚
−𝐿
cos2
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
sin2
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
𝑑𝑥
(6.2.96)
𝑑𝑥
(6.2.97)
𝐿
−𝐿
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥) sin
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
𝐿
∫︁𝐿
𝑑𝑥 = 𝐵𝑚
−𝐿
𝐿
−𝐿
άρα,
∫︁𝐿
1
𝐴0 =
2𝐿
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
(6.2.98)
−𝐿
∫︀𝐿
𝐴𝑚 =
𝑓 (𝑥) cos
∫︀𝐿
cos2
∫︀𝐿
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
𝐿
𝑓 (𝑥) sin
2
Σύνοψη.
𝐿
sin
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
𝐿
−𝐿
𝑑𝑥
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
−𝐿
∫︀𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
−𝐿
𝐵𝑚 =
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥) cos
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
𝐿
𝑑𝑥
(6.2.99)
𝑑𝑥
(6.2.100)
−𝐿
𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
=
𝐿
1
=
𝐿
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥) sin
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
𝐿
−𝐿
Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴0 +
𝐴0 =
1
2𝐿
∞
∑︁
𝑛=1
∫︁𝐿
∞
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
∑︁
2
𝑛𝜋 2
−𝑘( 𝑛𝜋
𝑡
)
𝐿
𝐴𝑛 cos
𝑥 e
+
𝐵𝑛 sin
𝑥 e−𝑘( 𝐿 ) 𝑡
𝐿
𝐿
(6.2.101)
𝑛=1
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
(6.2.102)
−𝐿
∫︀𝐿
𝐴𝑚 =
𝑓 (𝑥) cos
𝐿
−𝐿
∫︀𝐿
cos2
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
𝐿
−𝐿
∫︀𝐿
𝐵𝑚 =
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
𝑓 (𝑥) sin
∫︀𝐿
−𝐿
2
sin
𝑑𝑥
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
𝐿
−𝐿
(︀ 𝑚𝜋𝑥 )︀
𝐿
𝑑𝑥
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥) cos
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
𝐿
𝑑𝑥
(6.2.103)
𝑑𝑥
(6.2.104)
−𝐿
𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
=
𝐿
1
=
𝐿
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥) sin
(︁ 𝑚𝜋𝑥 )︁
𝐿
−𝐿
αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ (6.2.73-6.2.76) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική
συνθήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
70
Χωρισµού Μεταβλητών.
6.2.1.iv
Η Αρχή του Μεγίστου.
Η ασυµπτωτική συµπεριφορά των λύσεων της Εξίσωσης ∆ιάχυσης, όπως είδαµε στις ενότητες που
προηγήθηκαν, αποτελεί παράδειγµα και ειδική περίπτωση της γενικότερης συµπεριφοράς των λύσεων
αυτής. Μπορεί να δειχθεί ότι, οι λύσεις της Εξ.∆. ικανοποιούν την Αρχή του Μεγίστου η οποία
διατυπώνεται ως εξής :
Αρχή του Μεγίστου. Αν η 𝑢(𝑥, 𝑡) ικανοποιεί την Εξ.∆. σε ένα ορθογώνιο στο χώρο και στο χρόνο,
έστω (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ), τότε η µέγιστη τιµή της 𝑢(𝑥, 𝑡) πραγµατοποιείται είτε αρχικώς (για
𝑡 = 0, δηλαδή) είτε στις πλευρές (𝑥 = 0 ή 𝑥 = 𝐿).
Η ελάχιστη τιµή έχει την ίδια ιδιότητα, και είναι συνέπεια της εφαρµογής της αρχής του µεγίστου
στην [−𝑢(𝑥, 𝑡)].
Οι αρχές αυτές συµβαδίζουν απόλυτα µε την εµπειρία µας σχετικά µε τη διάδοση ϑερµότητας
σε µία ϱάβδο. Αν δεν έχουµε εσωτερικές πηγές (αν έχουµε δηλαδή µόνο την οµογενή Εξ.∆.) τότε το
πιο Ϲεστό και το πιο κρύο σηµείο της ϱάβδου, εµφανίζονται είται αρχικά, είτε στα άκρα της ϱάβδου.
΄Εκφραση αυτού αποτελεί και το γεγονός, που είδαµε, ότι ασυµτωτικά η λύση είναι σταθερή και ίση
µε τη µέση τιµή της αρχικής ϑερµοκρασίας : όσο περνά ο χρόνος, το µέγιστο κατεβαίνει, το ελάχιστο
ανεβαίνει και έτσι η διαφορική εξίσωση οµαλοποιεί τη λύση µε την παροδο του χρόνου.
6.2.2
6.2.2.i
Κυµατική Εξίσωση.
Dirichlet ΣΣ
Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ:
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐2 𝑢𝑥𝑥 = 0,
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0,
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥),
𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 𝑔(𝑥),
0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝑡≥0
(ΣΣ)
0≤𝑥≤𝐿
(ΑΣ)
0≤𝑥≤𝐿
(ΑΣ)
(6.2.105)
(6.2.106)
(6.2.107)
(6.2.108)
το οποίο περιγράφει την ταλάντωση µονοδιάστατης χορδής, µε πακτωµένα τα δύο άκρα. Για να
υπάρχει λύση απαιτείται να ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες
𝑓 (0) = 𝑓 (𝐿) = 𝑔(0) = 𝑔(𝐿) = 0
Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί.
Σχήµα 6.4: Το ΠΑ-ΣΤ για την Κυµατική Εξίσωση µε ΣΣ Dirichlet.
Απαιτούµε λύσεις της µορφής
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡)
(6.2.109)
από την αντικατάσταση των οποίων στην (6.2.105) προκύπτει η
𝑋(𝑥)
d2 𝑋
d2 𝑇
2
=
𝑐
𝑇
(𝑡)
d𝑡2
d𝑥2
(6.2.110)
και µε χωρισµό των µεταβλητών
1 d2 𝑇
1 d2 𝑋
=
= −𝜆
𝑐2 𝑇 (𝑡) d𝑡2
𝑋(𝑥) d𝑥2
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.111)
71
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
όπου διαιρέσαµε το χρονικό µέρος µε το 𝑐2 έτσι ώστε το χωρικό µέρος να έχει την ίδια µορφή µε το
πρόβληµα διάχυσης. Το ότι τα δύο µέρη της ισότητας πρέπει να είναι ίσα µε κάποια σταθερά είναι
αποτέλεσµα του χωρισµού µεταβλητών όπως είδαµε σε όλες τις περιπτώσεις για την εξίσωση διάχυσης
και η επιλογή του προσήµου είναι καθαρά ϑέµα σύµβασης. Προκύπτει δηλαδή, το σύστηµα
d2 𝑋
= −𝜆𝑋(𝑥)
d𝑥2
d2 𝑇
= −𝜆𝑐2 𝑇 (𝑡)
d𝑡2
0<𝑥<𝐿
(6.2.112)
𝑡>0
(6.2.113)
Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Πολύ εύκολα µπορεί να διαπιστωθεί ότι η απαίτηση να ικανοποιούνται οι
συνοριακές συνθήκες, µας οδηγεί στο ΠΣΤ
d2 𝑋
= −𝜆𝑋, 0 < 𝑥 < 𝐿
d𝑥2
𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0
(6.2.114)
(6.2.115)
το οποίο είναι ακριβώς το ίδιο µε το ΠΣΤ Dirichlet, (6.2.9), της Εξ.∆.και έτσι µπορούµε να ϑεωρήσουµε
δεδοµένη τη λύση του :
𝑑𝑛 𝑋𝑛 (𝑥) = 𝑑𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 , 𝜆𝑛 =
. 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
𝐿
𝐿
(6.2.116)
όπου απλώς υπενθυµίζουµε ότι οι ιδιοτιµές είναι µόνο ϑετικές (𝜆 > 0).
Χρονική Εξάρτηση. Η εξίσωση της χρονικής εξάρτησης είναι και αυτή δεύτερης τάξεως και πολύ
εύκολα µπορεί να δειχθεί ότι ανάλογα µε το πρόσηµο του 𝜆, οι λύσεις της είναι
√
√
1. 𝜆 < 0 Τότε 𝑇 (𝑡) = 𝑎e𝑐 −𝜆𝑡 + 𝑏e−𝑐 −𝜆𝑡 = 𝑎
˜ cosh(𝑐 −𝜆𝑡) + ˜𝑏 sinh(𝑐 −𝜆𝑡)
√
√
2. 𝜆 = 0 Τότε 𝑇 (𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡
√
√
3. 𝜆 > 0 Τότε 𝑇 (𝑡) = 𝑎 cos(𝑐 𝜆𝑡) + 𝑏 sin(𝑐 𝜆𝑡)
δεδοµένου ότι 𝑐 > 0. Λόγω όµως, της λύσης του προβλήµατος ιδιοτιµών αποδεκτή είναι µόνο η
περίπτωση 𝜆 > 0 και έτσι έχουµε
𝑇𝑛 (𝑡) = 𝑎𝑛 cos
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
𝑡 + 𝑏𝑛 sin
𝑡 , 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,
𝐿
𝐿
(6.2.117)
Μορφή Λύσης. Αποτέλεσµα των πιο πάνω είναι ότι για κάθε 𝑛 και εφόσον απαιτούµε 𝑢 = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡),
η λύση ϑα έχει τη µορφή
𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
𝑥 cos
𝑡 + 𝐵𝑛 sin
𝑥 sin
𝑡 , 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
(6.2.118)
και έτσι σύµφωνα µε τη γενικευµένη αρχή της επαλληλίας ϑεωρούµε την άπειρη σειρά
𝑢(𝑥, 𝑡) =
∞ [︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁]︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
∑︁
𝐴𝑛 cos
𝑡 + 𝐵𝑛 sin
𝑡 sin
𝑥
𝐿
𝐿
𝐿
𝑛=1
η οποία ικανοποιεί τις ΣΣ.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.2.119)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
72
Χωρισµού Μεταβλητών.
Ικανοποίηση Αρχικών Συνθηκών.
Οι ΑΣ, (6.2.107) και (6.2.108) ικανοποιούνται αν
𝑓 (𝑥) =
∞
∑︀
𝑔(𝑥) =
𝑛=1
∞
∑︀
𝑛=1
(︀
)︀
𝐴𝑛 sin 𝑛𝜋
𝐿 𝑥
𝐵𝑛 𝑛𝜋𝑐
𝐿 sin
⎫
⎪
⎪
⎬
(︀ 𝑛𝜋 )︀ ⎪ 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
⎪
𝐿 𝑥 ⎭
(6.2.120)
Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν αν ϑέσουµε 𝑡 = 0 στη γενική λύση και αν υπολογίσουµε την παράγωγο
ως προς το χρόνο της γενικής λύσης για 𝑡 = 0, παραγωγίζοντας την άπειρη σειρά όρο προς όρο
(υποθέτοντας πάντα ότι κάτι τέτοιο µπορούµε να το κάνουµε). Από τις σχέσεις ορθογωνιότητας και
κανονικοποίησης της ηµιτονικής σειράς Fourier προκύπτει έυκολα ότι
∫︀𝐿
𝐴𝑚 =
sin
0
∫︀𝐿
(︀
)︀2
sin 𝑚𝜋
𝐿 𝑥 𝑑𝑥
0
∫︀𝐿
𝑚𝜋𝑐
=
𝐵𝑚
𝐿
sin
0
∫︀𝐿
0
(︀ 𝑚𝜋 )︀
𝐿 𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
2
=
𝐿
∫︁𝐿
sin
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
𝐿
(6.2.121)
sin
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
𝐿
(6.2.122)
0
(︀ 𝑚𝜋 )︀
𝐿 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
(︀
)︀2
sin 𝑚𝜋
𝑥
𝑑𝑥
𝐿
2
=
𝐿
∫︁𝐿
0
Οι τύποι (6.2.119, 6.2.121), και (6.2.122) αποτελούν τη µία και µοναδική λύση του ΠΑ-ΣΤ
(6.2.105-6.2.108).
Φυσική Ερµηνεία. Τι σηµαίνει όµως για τη συµπεριφορά της χορδής η µορφή της λύσης που µόλις
παρουσιάσαµε ; Καταρχάς διαπιστώνουµε ότι υπάρχει µία σηµαντική διαφορά µεταξύ της Κ.Εξ.και
της Εξ.∆., όσον αφορα τη χρονική εξέλιξη. Στην κυµατική εξίσωση δεν έχουµε πλέον τον ϕθίνοντα
εκθετικό παράγοντα ο οποίος είναι υπεύθυνος για την ¨οµαλοποίηση¨ των λύσεων της κυµατικής
εξίσωσης ασυµπτωτικά στο χρόνο όπως διαπιστώσαµε κατά τη σχετική µελέτη. Η χρονική εξέλιξη
καθορίζεται πλέον από ένα τριγωνοµετρικό µη-ϕθίνοντα παράγοντα χαρακτηριστικό Φαινοµένων
Ταλάντωσης. Η κάθετη αποµάκρυνση 𝑢(𝑥, 𝑡) είναι ένας γραµµικός συνδυασµός (γενικευµένος έστω)
γινοµένων της µορφής
𝑁𝑛 (𝑥, 𝑡) = sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁ (︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁)︁
𝑥 𝐴𝑛 cos
𝑡 + 𝐵𝑛 sin
𝑡
𝐿
𝐿
𝐿
Ο κάθε ένας τέτοιος παράγοντας ονοµάζεται Κανονικός Τρόπος (Normal Mode) της ταλάντωσης και
µε τη χρήση της ταυτότοτητας,
𝐴𝑛 cos
(︁ 𝑛𝜋𝑐
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁ √︁
)︁
𝐴
𝑡 + 𝐵𝑛 sin
𝑡 = 𝐴2𝑛 + 𝐵𝑛2 sin
𝑡 + 𝜑 , 𝜑 = tan−1 ( 𝑛 )
𝐿
𝐿
𝐿
𝐵𝑛
προκύπτει πως
(︁ 𝑛𝜋𝑐
(︁ 𝑛𝜋 )︁ √︁
)︁
𝑥
𝐴2𝑛 + 𝐵𝑛2 sin
𝑡+𝜑
𝐿
𝐿
από την έκφραση αυτή, καταλαβαίνουµε
ότι
αντιστοιχεί σε
(︀
)︀ √︀για συγκεκριµένο 𝑥, ο Κανονικός Τρόπος
2 + 𝐵 2 , γωνιακής ταχύτητας, 𝜔 = 𝑛𝜋𝑐 (II) και Αρχικής
Αρµονική Ταλάντωση πλάτους sin 𝑛𝜋
𝑥
𝐴
𝑛
𝑛
𝑛
𝐿
𝐿
𝑁𝑛 (𝑥, 𝑡) = sin
(II)
δηλαδή συχνότητας 𝑓𝑛 =
𝑛𝑐
2𝐿
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
73
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
𝐴
𝑛𝑐
Φάσης 𝜑 = tan−1 ( 𝐵𝑛 ). Τις Συχνότητες 2𝐿
τις ονοµάζουµε Φυσικές Συχνότητες. Στη ϕυσική, οι
𝑛
λύσεις 𝑁𝑛 (𝑥, 𝑡) είναι γνωστές ως Στάσιµα Κύµατα, η έκφραση 𝑛𝜋
𝐿 ≡ 𝑘𝑛 είναι ο κυµατάριθµος για
δεδοµένο 𝑛 και συνδέεται µε το µήκος κύµατος 𝜆𝑛 µέσω της σχεσης 𝑘𝑛 = 𝜆2𝜋 . ∆ηλαδή,
𝑛
𝜆𝑛 =
2𝐿
𝑛
΄Αρα, κατά τη δηµιουργία στάσιµων κυµάτων το µήκος κύµατος δεν µπορεί να πάρει οποιεσδήποτε
τιµές, παρά µόνο το µισό των ακέραιων πολλαπλασίων του συνολικού µήκους 𝐿 της χορδής.
Αν σκεφτούµε ότι η χορδή αυτή µπορεί
√︀ να είναι χορδή ενός µουσικού οργάνου τότε η ένταση του
ήχου που παράγεται είναι ανάλογη της
𝐴2𝑛 + 𝐵𝑛2 και ο ήχος αυτός είναι υπέρθεση ενός απείρου
πλήθους ϕυσικών συχνοτήτων. Ο κανονικός τρόπος για 𝑛 = 1 ονοµάζεται Πρώτη ή Θεµελιώδης
Αρµονική ενώ
√︀ο κανονικός τρόπος 𝑛-οστής τάξης ονοµάζεται συνήθως 𝑛-οστή Αρµονική. Αν ϑυµηθούµε ότι 𝑐 = 𝑇 /𝜌, τότε για να κουρδίσουµε π.χ., το όργανο σε κάποια επιθυµητή τιµή ϑεµελιώδους
συχνότητας 𝑓0 , ϑα πρέπει
𝑐
= 𝑓0
2𝐿
όπου για να γίνει αυτό ϑα πρέπει ή το 𝐿 να µεταβάλλουµε ή την ταχύτητα 𝑐. ΄Οµως, το µήκος 𝐿 της
χορδής παραµένει σταθερό κατά το κούρδισµα, άρα µπορούµε να µεταβάλλουµε µόνο τη 𝑐 και επειδή
η χορδή ϑεωρείται οµογενής και µε σταθερή πυκνότητα τελικά µπορούµε να µεταβάλλουµε µόνο την
Τάση που ασκούµε στη χορδή. ΄Ετσι προκύπτει ο κλασσικός τρόπος κουρδίσµατος των έγχορδων
µουσικών οργάνων.
΄Ενα πολύ ενδιαφέρον χαρακτηριστικό των στάσιµων κυµάτων είναι το εξής : υπάρχουν σηµεία της
χορδής στα οποία το πλάτος της ταλάντωσης είναι για κάθε χρονική στιγµή ίσο µε µηδέν. Είναι
προφανές, ότι τα σηµεία αυτά αντιστοιχούν στις τιµές του 𝑥, για τις οποίες ισχύει
sin(𝑘𝑛 𝑥) = 0 ⇒ 𝑘𝑛 𝑥 = 𝑚𝜋, ⇒ 𝑥 =
𝑚𝜋
𝑚
⇒ 𝑥 = 𝐿, 𝑚 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛 = 1, 2, 3 . . . ,
𝑘𝑛
𝑛
µε µοναδική δέσµευση ότι ϑα πρέπει να ισχύει 𝑥 ≤ 𝐿. Αν Ϲητήσουµε τα σηµεία µηδενισµού, µόνο στο
εσωτερικό της χορδής, δηλαδή αν εξαιρέσουµε τις τιµές 𝑚 = 𝑛 και 𝑚 = 0 οι οποίες δίνουν 𝑥 = 𝐿 και
𝑥 = 0 αντίστοιχα και απλώς επιβεβαιώνουν τις ΣΣ Dirichlet, τότε για 𝑛 = 1 προκύπτει ότι δεν έχουµε
µηδενισµό στο εσωτερικό για τη ϑεµελιώδη συχνότητα, ενώ π.χ., για 𝑛 = 2, παίρνουµε 𝑥 = 𝐿
2 . Τα
σηµεία µηδενικού πλάτους ταλάντωσης των στάσιµων κυµάτων τα ονοµάζουµε ∆εσµούς και από τον
πιο πάνω τύπο προκύπτει ότι για δεδοµένο 𝑛, έχουµε 𝑛 − 1 δεσµούς.
Κάποιος µπορεί να παρατηρήσει ότι η ταλάντωση που αντιστοιχεί στη δεύτερη αρµονική µοιάζει
µε τη ταλάντωση δύο ταυτόσηµων χορδών µήκους 𝐿
2 µε την κάθε µία ταλαντούµενη µε τη ϑεµελιώδη
συχνότητα. Αυτή η οµοιότητα προχωράει και σε ϐάθος διότι είναι εύκολο να δειχθεί, ότι η ϑεµελιώδης
συχνότητα για µήκος 𝐿′ = 𝐿
2 είναι ίση µε τη συχνότητα της δεύτερης αρµονικής για µήκος χορδής 𝐿.
𝑐
𝑐
2𝑐
𝑐
′
′
Πράγµατι, η πρώτη είναι 𝑓1 = 2𝐿
′ = 𝐿 , ενώ για τη δεύτερη περίπτωση 𝑓2 = 2𝐿 = 𝐿 = 𝑓1 .
΄Ασκηση 6.6 ().
∆είξτε ότι αν οι αρχικές συνθήκες µίας χορδής µήκους 𝐿, είναι οι
𝑚𝜋
𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝐿
𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0,
0≤𝑥≤𝐿
𝑢(𝑥, 0) = sin(
τότε η κίνηση της χορδής δεν µπορεί παρά να περιγράφεται από τη 𝑚-οστή αρµονική.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
74
Χωρισµού Μεταβλητών.
6.2.2.ii
Neumann ΣΣ
Το πρόβληµα Neumann για την κυµατική εξίσωση διατυπώνεται ως εξής :
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐2 𝑢𝑥𝑥 = 0,
𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 𝑢𝑥 (𝐿, 𝑡) = 0,
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓 (𝑥),
𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 𝑔(𝑥),
0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝑡≥0
(ΣΣ)
0≤𝑥≤𝐿
(ΑΣ)
0≤𝑥≤𝐿
(ΑΣ)
(6.2.123)
(6.2.124)
(6.2.125)
(6.2.126)
το οποίο περιγράφει την ταλάντωση µονοδιάστατης χορδής, τα άκρα της οποίας είναι ελεύθερα να
κινούνται (χωρίς τριβές). Για να υπάρχει λύση απαιτείται να ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες
d𝑓
d𝑓
d𝑔
d𝑔
(0) =
(𝐿) =
(0) =
(𝐿) = 0
d𝑥
d𝑥
d𝑥
d𝑥
Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί.
Σχήµα 6.5: Το ΠΑ-ΣΤ για την Κυµατική Εξίσωση µε ΣΣ Neumann.
Η εύρεση της λύσης του ΠΑ-ΣΤ (6.2.123-6.2.126) αφήνεται ως άσκηση.
΄Ασκηση 6.7 (Λύση του ΠΑ-ΣΤ (6.2.123-6.2.126)).
Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ (6.2.123-6.2.126) µε τη µέθοδο ΜΧΜ ακολουθώντας τα παρακάτω ϐήµατα
• Απαιτείστε χωριζόµενη λύση και καταλήξτε στο ΠΣΤ και στο πρόβληµα χρονικής εξέλιξης. Παρατηρείστε ότι το ΠΣΤ είναι ταυτόσηµο µε το ΠΣΤ (6.2.45-6.2.46) οπότε µπορείτα να χρησιµοποιήσετε
άµεσα τις λύσεις του.
• Λύστε την εξίσωση χρονικής εξέλιξης (Προσοχή διότι πλέον έχουµε ως ιδιοτιµή και την 𝜆 = 0).
• ∆είξτε ότι η λύση δίνεται από την έκφραση
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴0 + 𝐵0 𝑡 +
∞ (︁
∑︁
𝐴𝑛 cos
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁
(︁ 𝑛𝜋𝑐 )︁)︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑡 + 𝐵𝑛 sin
𝑡 cos
𝑥
𝐿
𝐿
𝐿
(6.2.127)
• ∆είξτε ότι η απαίτηση να ικανοποιούνται οι ΑΣ, µας οδηγεί στις σχέσεις,
𝑓 (𝑥) = 𝐴0 +
𝑔(𝑥) = 𝐵0 +
∞
∑︁
𝑛=1
∞
∑︁
𝑛=1
𝐴𝑛 cos
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 , 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝐿
(6.2.128)
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋𝑐
𝐵𝑛
cos
𝑥 , 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝐿
𝐿
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
75
6.2. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.
• Από τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης δείξτε ότι
1
𝐴0 =
𝐿
𝐵0 =
1
𝐿
∫︁𝐿
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
(6.2.129)
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
(6.2.130)
0
∫︁𝐿
0
𝐴𝑚 =
2
𝐿
∫︁𝐿
cos
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
𝐿
(6.2.131)
0
2
𝐵𝑚 =
𝑚𝜋𝑐
∫︁𝐿
cos
(︁ 𝑚𝜋 )︁
𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, 𝑚 = 1, 2, . . . ,
𝐿
(6.2.132)
0
Παράδειγµα 6.4 (Παράδειγµα-5.2 Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein, 2005):
Να λυθεί το παρακάτω ΠΑ-ΣΤ στο διάστηµα 0 < 𝑥 < 1,
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐2 𝑢𝑥𝑥 = 0, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0
𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 𝑢𝑥 (1, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0
(ΣΣ)
2
𝑢(𝑥, 0) = cos (𝜋𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
2
𝑢𝑡 (𝑥, 0) = sin (𝜋𝑥) cos(𝜋𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
(6.2.133)
(6.2.134)
(ΑΣ)
(6.2.135)
(ΑΣ)
(6.2.136)
Λύση.
Είναι προφανές, ότι πρόκειται για πρόβληµα µε ΣΣ Neumann του οποίου η λύση δίνεται από την
έκφραση (6.2.127). Η απαίτηση να ικανοποιούνται οι ΑΣ δίνει,
2
cos (𝜋𝑥) = 𝐴0 +
sin2 (𝜋𝑥) cos(𝜋𝑥) = 𝐵0 +
∞
∑︁
𝑛=1
∞
∑︁
𝐴𝑛 cos (𝑛𝜋𝑥) , και
𝐵𝑛 (𝑛𝜋𝑐) cos (𝑛𝜋𝑥)
𝑛=1
όπου µε τη χρήση των ταυτοτήτων,
cos2 (𝜋𝑥) =
προκύπτει
1 1
+ cos(2𝜋𝑥),
2 2
sin2 (𝜋𝑥) cos(𝜋𝑥) =
1
1
cos(𝜋𝑥) − cos(3𝜋𝑥)
4
4
∞
∑︁
1 1
+ cos(2𝜋𝑥) = 𝐴0 +
𝐴𝑛 cos (𝑛𝜋𝑥)
2 2
𝑛=1
και
∞
∑︁
1
1
cos(𝜋𝑥) − cos(3𝜋𝑥) = 𝐵0 +
𝐵𝑛 (𝑛𝜋𝑐) cos (𝑛𝜋𝑥)
4
4
𝑛=1
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
76
Χωρισµού Μεταβλητών.
Σηµαντική Τεχνική Παρατήρηση. Παρατηρείστε τώρα ότι το αριστερό µέλος και των δύο πιο πάνω
εξισώσεων έχει τη µορφή αναπτύγµατος Fourier και δεδοµένου ότι οι συντελεστές Fourier είναι
µοναδικοί µπορούµε να τους ¨διαβάσουµε¨ άµεσα συγκρίνοντας τα δύο µέλη της εξίσωσης. ΄Ετσι
προκύπτει,
1
1
𝐴0 = , 𝐴2 = , 𝐴𝑛 = 0, 𝑛 ̸= 0, 2
2
2
1
−1
𝐵1 = , 𝐵 3 =
, 𝐵𝑛 = 0, 𝑛 ̸= 1, 3
4
12𝜋𝑐
Ο τρόπος µε τον οποίο προσδιορίσαµε τους συντελεστές Fourier στο παράδειγµα που προηγήθηκε
διευκολύνει αφάνταστα όταν οι αρχικές συνθήκες δίνονται ως συνδυασµοί τριγνοµετρικών συναρτήσεων. Σε αυτή την περίπτωση µε τη χρήση τριγονωµετρικών ταυτοτήτων µπορούµε να γράψουµε τις
αρχικές συνθήκες ως γραµµικό συνδυασµό συναρτήσεων της µορφής cos(𝑛𝑥), sin(𝑚𝑥) και έτσι να
προσδιορίσουµε άµεσα τους συντελεστές Fourier.
6.2.2.iii
Περιοδικές ΣΣ
Με τις περιοδικές ΣΣ δεν ϑα ασχοληθούµε, δεδοµένου ότι η µόνη δυσκολία που ϑα αντιµετωπίσει κανείς ϑα είναι σε τεχνικό επίπεδο. Από την µέχρι τώρα εµπειρία µας, περιµένουµε ότι για το πρόβληµα
ιδιοτιµών ϑα έχουµε την πλήρη σειρά Fourier, σε αντιστοιχία µε το πρόβληµα ιδιοτιµών (6.2.80-6.2.81)
της εξίσωσης διάχυσης, ενώ η λύση της χρονικής εξέλιξης ϑα είναι ίδια µε αυτή της περίπτωσης των
ΣΣ Neumann. Τα υπόλοιπα, είναι απλώς ϑέµα επιβολής των αρχικών συνθηκών και πράξεων στηριϹόµενοι στις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης. Απλώς, ϑα πρέπει να παρατηρήσουµε, σε
πλήρη αντιστοιχία µε το περιοδικό πρόβληµα για την εξίσωση διάχυσης ϑερµότητας, ότι η µεταβλητή
𝑥 δεν περιορίζεται ως προς το διάσηµα ορισµού της το οποίο είναι το (−∞, ∞).
΄Ασκηση 6.8 (Η Μορφή της Λύσης της Κυµατικής Εξίσωσης).
Το πρώτο πράγµα που δείξαµε κατά την επίλυση της κυµατικής εξίσωσης είναι ότι η λύση της είναι πάντα
της µορφής
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐹 (𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝐺(𝑥 − 𝑐𝑡)
(6.2.137)
Με τη ϐοήθεια των τύπων (10.1.7-10.1.10) του κεφαλαίου (10) δείξτε ότι οι εκφράσεις (6.2.119) και
(6.2.127) έχουν όντως αυτή τη µορφή.
(Υπόδειξη : ΄Ισως οι όροι 𝐴0 + 𝐵0 𝑡 σας δυσκολέψουν λίγο στη (6.2.127). Σκεφτείτε όµως π.χ., ότι ο
όρος 𝐴0 µπορεί να προκύψει ως εκφυλισµένη περίπτωση των τύπων (10.1.7-10.1.10), ενώ για τον όρο
𝐵0 𝑡 δεν χρειάζεται να ανατρέξετε στους τύπους αυτούς.)
6.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.
6.3.1
Εξίσωση Laplace.
΄Οπως έχουµε αναφέρει η εξίσωση Laplace(Εξ.L.) είναι εξίσωση ελλειπτικού τύπου και ως τέτοια επιδέχεται προβλήµατα συνοριακών τιµών µόνο. Σε ότι ακολουθεί ϑα λυθεί το πρόβληµα Dirichlet
µόνο, αλλά όπως ϑα γίνει κατανοητό, η µέθοδος που ϑα αναπτυχθεί σε συνδυασµό µε τη µέχρι τώρα
εµπειρία µας από τις προηγούµενες δύο ενότητες, είναι ικανή να λύσει τόσο το πρόβληµα Neumann
όσο και προβλήµατα µε µικτές ΣΣ. Η περίπτωση των Περιοδικών ΣΣ αφήνεται για αργότερα όπου ϑα
έχουµε την ευκαιρία να µιλήσουµε για τις ιδιότητες της Εξίσωσης Laplace και τη µορφή που αυτή
παίρνει, αν αλλάξουµε σύστηµα συντεταγµένων. ΄Ετσι ϑα δούµε ότι το Περιοδικό Πρόβληµα σε δύο
διαστάσεις, είναι καταλληλότερο να αντιµετωπιστεί µε τη χρήση πολικών συντεταγµένων.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
77
6.3. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.
6.3.1.i
Το Πρόβληµα Dirichlet.
Τώρα ϑα λύσουµε το ΠΣΤ-Dirichlet για τη Laplace σε δύο διαστάσεις και σε καρτεσιανές συντεταγµένες. ΄Ετσι, ϑεωρούµε ότι έχουµε ένα ορθογώνιο µε πλευρές (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐻 ) και ότι για
παράδειγµα, σε αυτό το ορθογώνιο προσπαθούµε να προσδιορίσουµε τη λύση ισορροπίας είτε της Κυµατικής Εξίσωσης σε δύο χωρικές διαστάσεις, είτε της Εξίσωσης ∆ιάχυσης σε δύο χωρικές διαστάσεις.
Εποµένως, έχουµε να λύσουµε το εξής πρόβληµα
𝑢𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0,
𝑢(0, 𝑦) = 𝑔1 (𝑦),
𝑢(𝐿, 𝑦) = 𝑔2 (𝑦),
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓1 (𝑥),
𝑢(𝑥, 𝐻) = 𝑓2 (𝑥),
0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝐻
0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐻,
(ΣΣ − 1)
0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐻,
(ΣΣ − 2)
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿,
(ΣΣ − 3)
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿,
(ΣΣ − 4)
(6.3.1)
(6.3.2)
(6.3.3)
(6.3.4)
(6.3.5)
Το ερώτηµα που µπορεί εύλογα να τεθεί, είναι το κατά πόσο µπορούµε να λύσουµε το συγκεκριµένο πρόβληµα µε τη µέθοδο ΜΧΜ, αφού οι ΣΣ δεν είναι οµογενείς ! Αυτή τη δυσκολία µπορούµε να
τη παρακάµψουµε αν χρησιµοποιήσουµε τη γραµµικότητα της εξίσωσης Laplace µε τον εξής τρόπο :
Γραµµικότητα ως Προς τις Συνοριακές Συνθήκες : Η λύση της εξισωσης Laplace µποϱεί να παρασταθεί ως ένα άθροισµα τεσσάρων λύσεων, κάθε µία από τις οποίες ικανοποιεί
ένα ΠΣΤ µε τρείς οµογενείς και µία µη-οµογενή ΣΣ
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑢1 (𝑥, 𝑦) + 𝑢2 (𝑥, 𝑦) + 𝑢3 (𝑥, 𝑦) + 𝑢4 (𝑥, 𝑦)
Θυµηθείτε, ότι κάτι αντίστοιχο χρησιµοποιήσαµε για να επαληθεύσουµε τη λύση του µη-οµογενούς
ΠΑΤ της κυµατικής εξίσωσης, στις σελίδες ΠΑΤ-21 ως ΠΑΤ-23 των χειρόγραφων σηµειώσεων, 04 _
PAT _ Meros _1 που έχουν αναρτηθεί στην ιστοσελίδα του µαθήµατος Ζούπας, 2011.
΄Ετσι, ¨σπάµε¨ το πρόβληµα, στα εξής τέσσερα υποπροβλήµατα :
Πίνακας 6.1: Υποπροβλήµατα της Laplace σε Ορθογώνιο
Η Laplace σε Ορθογώνιο : 𝑢𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿,
0<𝑦<𝐻
Υποπρόβληµα-I
Υποπρόβληµα-II
Υποπρόβληµα-III
Υποπρόβληµα-IV
΄Ορια
𝑢1 (0, 𝑦) = 0
𝑢2 (0, 𝑦) = 0
𝑢3 (0, 𝑦) = 0
𝑢4 (0, 𝑦) = 𝑔1 (𝑦)
0≤𝑦≤𝐻
𝑢1 (𝐿, 𝑦) = 0
𝑢2 (𝐿, 𝑦) = 𝑔2 (𝑦)
𝑢3 (𝐿, 𝑦) = 0
𝑢4 (𝐿, 𝑦) = 0
0≤𝑦≤𝐻
𝑢1 (𝑥, 0) = 𝑓1 (𝑥)
𝑢2 (𝑥, 0) = 0
𝑢3 (𝑥, 0) = 0
𝑢4 (𝑥, 0) = 0
0≤𝑥≤𝐿
𝑢1 (𝑥, 𝐻) = 0
𝑢2 (𝑥, 𝐻) = 0
𝑢3 (𝑥, 𝐻) = 𝑓2 (𝑥)
𝑢4 (𝑥, 𝐻) = 0
0≤𝑥≤𝐿
όπου η αρίθµηση είναι καθαρά τυχαία. Απαιτώντας, κάθε µία από τις 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑢4 να είναι λύση
της οµογενούς Laplace, παρατηρούµε ότι το άθροισµα τους ικανοποιεί τόσο την οµογενή Laplace,
(6.3.1), όσο και τις αντίστοιχες ΣΣ. ΄Ετσι, για παράδειγµα, είναι προφανές ότι
𝑢1 (𝑥, 0) + 𝑢2 (𝑥, 0) + 𝑢3 (𝑥, 0) + 𝑢4 (𝑥, 0) = 𝑓1 (𝑥) + 0 + 0 + 0 = 𝑓1 (𝑥) = 𝑢(𝑥, 0)
και έτσι ικανοποιείται η ΣΣ−3, (6.3.4). Με εντελώς αντίστοιχο τρόπο επαληθεύουµε ότι ικανοποιούνται
όλες οι συνοριακές συνθήκες.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
78
Χωρισµού Μεταβλητών.
Παρατήρηση. Τονίζουµε, ότι η µέθοδος που παρουσιάζουµε δεν είναι η µοναδική µέθοδος επίλυσης
τέτοιου είδους προβληµάτων. Σύντοµα ϑα δούµε ότι παρόµοιας λογικής προβλήµατα µπορούν να
λυθούν µε τη µέθοδο αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις την οποία παρουσιάζουµε στο κεφάλαιο (8).
Σε αυτό το Ϲήτηµα ϑα επανέλθουµε στο τέλος της ενότητας µετά το παράδειγµα (6.9).
΄Οπως ϑα δούµε άµεσα, για κάθε υποπρόβληµα υπάρχει ένα ακριβώς οµογενές ΠΣΤ ως προς τη
µία από τις δύο µεταβλητές. Από αυτό το ΠΣΤ ϑα ξεκινάµε τη λύση κάθε ϕορά για να προσδιορίσουµε
ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις. Στην παράγραφο που ακολουθεί ϑα λύσουµε, πλήρως και αναλυτικά,
πρώτα το Υποπρόβληµα-II χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι το ξεχωρίζουµε ως προς τη σπουδαιότητα
του από τα υπόλοιπα Υποπροβλήµατα. ΄Οσον αφορά τις λύσεις των Προβληµάτων Ιδιοτιµών των
άλλων Υποπροβληµάτων ϑα δούµε ότι αυτές προκύπτουν µέσα από απλούς µετασχηµατισµούς των
µεταβλητών από αυτή του Υποπροβλήµατος-II.
Επίλυση Υποπροβλήµατος-II µε τη ΜΧΜ.
𝑢𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0,
𝑢2 (0, 𝑦) = 0,
𝑢2 (𝐿, 𝑦) = 𝑔2 (𝑦),
𝑢2 (𝑥, 0) = 0,
𝑢2 (𝑥, 𝐻) = 0,
Το Υποπρόβληµα-II είναι το εξής,
0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝐻
0≤𝑦≤𝐻
0≤𝑦≤𝐻
0≤𝑥≤𝐿
0≤𝑥≤𝐿
(6.3.6)
(ΣΣ − 1)
(ΣΣ − 2)
(ΣΣ − 3)
(ΣΣ − 4)
(6.3.7)
(6.3.8)
(6.3.9)
(6.3.10)
Αναζητούµε χωριζόµενες λύσεις απαιτώντας ως συνήθως
𝑢2 (𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌 (𝑦)
(6.3.11)
Για να προσδιορίσουµε το Πρόβληµα Ιδιοτιµών µε το οποίο ϑα ξεκινήσουµε, διατυπώνουµε πρώτα τις
ΣΣ που πρέπει να ικανοποιούν οι χωριζόµενες λύσεις. Πολύ εύκολα, δεδοµένου ότι δε ϑέλουµε τη
τετριµµένη λύση 𝑢 = 0, προκύπτει για τις οµογενείς ΣΣ:
𝑢2 (0, 𝑦) = 0 ⇒ 𝑋(0)𝑌 (𝑦) = 0 ⇒ 𝑋(0) = 0
𝑢2 (𝑥, 0) = 0 ⇒ 𝑋(𝑥)𝑌 (0) = 0 ⇒ 𝑌 (0) = 0
𝑢2 (𝑥, 𝐻) = 0 ⇒ 𝑋(𝑥)𝑌 (𝐻) = 0 ⇒ 𝑌 (𝐻) = 0
(6.3.12)
(6.3.13)
(6.3.14)
Είναι ϕανερό ότι µόνο η 𝑌 (𝑦), ικανοποιεί οµογενείς ΣΣ και στα δύο άκρα οπότε αυτή ϑα µας δώσει
το πρόβληµα ιδιοτιµών. Τέλος, η µη οµογενής ΣΣ δίνει
𝑢2 (𝐿, 𝑦) = 𝑋(𝐿)𝑌 (𝑦) = 𝑔2 (𝑦)
για την οποία δεν µπορούµε τίποτε περισσότερο και δεν ϑα σχοληθούµε και µαζί της επί της ουσίας.
Απλώς, ϑα τη χειριστούµε εντελώς ανάλογα µε την αρχική συνθήκη στα ΠΑ-ΣΤ!
Εφαρµόζουµε τώρα τη χωριζόµενη µορφή στην εξίσωση (6.3.11) και προκύπτει µετά το χωρισµό
των µεταβλητών
1 d2 𝑋
1 d2 𝑌
=−
2
𝑋(𝑥) d𝑥
𝑌 (𝑦) d𝑦 2
(6.3.15)
Προφανώς ϑα πρέπει κάθε µία από τις δύο παραστάσεις να είναι ίση µε µία σταθερά, για να µπορεί
να ισχύει η παραπάνω ισοτητα. Τώρα, επειδή το πρόβληµα ιδιοτιµών ικανοποιείται από την 𝑌 (𝑦)
και για να µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε έτοιµα τα αποτελέσµατα των προηγούµενων ενοτήτων,
αποφασίζουµε να χρησιµοποιήσουµε την εξής σύµβαση για το πρόσηµο της σταθεράς χωρισµού, την
οποία ονοµάζουµε ως συνήθως 𝜆,
1 d2 𝑋
1 d2 𝑌
=
−
=𝜆
𝑋(𝑥) d𝑥2
𝑌 (𝑦) d𝑦 2
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.3.16)
79
6.3. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.
Πρόβληµα Ιδιοτιµών.
΄Αρα το πρόβληµα ιδιοτιµών είναι το
d2 𝑌
= −𝜆𝑌 (𝑦), 0 < 𝑦 < 𝐻
d𝑦 2
𝑌 (0) = 𝑌 (𝐻) = 0
(6.3.17)
(6.3.18)
Τη λύση αυτού του προβλήµατος την έχουµε έτοιµη στον Πίνακα-(6.2), και είναι η
𝑑𝑛 𝑌𝑛 (𝑦) = 𝑑𝑛 sin
Εξίσωση ως προς 𝑥.
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁2
𝑦 , 𝜆𝑛 =
. 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
𝐻
𝐻
(6.3.19)
Η εξίσωση ως προς 𝑥 είναι η
d2 𝑋
= 𝜆𝑋(𝑥)
d𝑥2
(6.3.20)
Επειδή δεν έχουµε µηδενικές ΣΣ όλες οι επιλογές είναι καταρχήν ανοικτές. ΄Ετσι, έχουµε
√
√
𝑎1 cosh( 𝜆𝑥) + 𝑎2 sinh( 𝜆𝑥), 𝜆 > 0
𝑏1 + 𝑏2 𝑥,
𝜆=0
√
√
𝑐1 cos( −𝜆𝑥) + 𝑐2 sin( −𝜆𝑥), 𝜆 < 0
Σηµαντική Παρατήρηση ! Παρατηρείστε ότι εδώ στο 𝜆 > 0 αντιστοιχεί η λύση της περίπτωσης 𝜆 < 0
των εξισώσεων των προβληµάτων ιδιοτιµών που έχουµε λύσει ως τώρα και αντίστοιχα η λύση για το
𝜆 < 0 αντιστοιχεί σε αυτή του 𝜆 > 0 των προβλήµάτων ιδιοτιµών. Αυτό οφείλεται στο ότι στο αριστερό
µέλος της εξίσωσης µας έχουµε 𝜆 αντί για −𝜆 όπως είχαµε στις εξισώσεις των προβληµάτων ιδιοτιµών.
Τέτοιου είδους συµπεριφορά είναι τυπική όταν εφαρµόζουµε τη ΜΧΜ στην εξίσωση Laplace.
Παρατηρούµε τώρα, ότι επειδή η λύση είναι το γινόµενο της 𝑋(𝑥) µε την 𝑌 (𝑦) είναι λογικό πως
για κάθε πρόσηµο του 𝜆 ϑα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε τις αντίστοιχες λύσεις µεταξύ τους. Από το
πρόβληµα ιδιοτιµών επιβιώνει µόνο η λύση για 𝜆 > 0, έτσι εξαιτίας αυτής της επιλογής του προσήµου
στην επίλυση του προβλήµατος ιδιοτιµών η µόνη λύση της εξίσωσης µας είναι η
√
√
𝑎1 cosh( 𝜆𝑥) + 𝑎2 sinh( 𝜆𝑥)
Επιβάλλοντας, την οµογενή ΣΣ
𝑋(0) = 0
συµπεραίνουµε ότι 𝑎1 = 0, και λαµβάνοντας υπόψιν µας και τις ιδιοτιµές 𝜆𝑛 η λύση είναι τελικά,
√︀
𝑛𝜋
𝑎2 sinh( 𝜆𝑛 𝑥) = 𝑎2 sinh( 𝑥)
𝐻
΄Αρα,
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋
𝑦 sinh( 𝑥)
𝐻
𝐻
(︀
)︀
Παρατηρείστε ότι ο ένας όρος του γινοµένου ταλαντώνεται (ο sin 𝑛𝜋
𝑦
) ενώ, ο άλλος όρος όχι. Αυτή
𝐻
𝑢2,𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑛 sin
η συµπεριφορά είναι συνήθης στην εξίσωση Laplace και σύµφωνα µε την παρατήρηση πιο πάνω,
οφείλεται στο γεγονός ότι εξαιτίας της µορφής της, οι δύο διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν από
το χωρισµό µεταβλητών, έχουν αντίθετο πρόσηµο όπως ξεκάθαρα ϕαίνεται και από την (6.3.15).
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
80
Χωρισµού Μεταβλητών.
Μη-Οµογενείς ΣΣ. Τώρα, ενεργώντας σαν να είχαµε να ικανοποιήσουµε µία αρχική συνθήκη σε
κάποιο από τα ΠΑ-ΣΤ τα οποία λύσαµε στις προηγούµενες δύο ενότητες, ϑα χρησιµοποιήσουµε τη
γενικευµένη αρχή της επαλληλίας για να εκφράσουµε τη γενική λύση ως ένα άπειρο άθροισµα των
𝑢2𝑛 (𝑥, 𝑦):
𝑢2 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 sin
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋
𝑦 sinh( 𝑥)
𝐻
𝐻
(6.3.21)
(όπου µπορεί εύκολα να δειχθεί(I) ότι η λύση αυτή, ικανοποιεί τόσο την Εξ.L. όσο και τις οµογενείς
ΣΣ) και να απαιτήσουµε την ισχύ της µη-οµογενούς ΣΣ ϑέτοντας 𝑢2 (𝐿, 𝑦) = 𝑔2 (𝑦), δηλαδή,
∞
∞
∑︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁ ∑︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋
𝑦 ≡
𝐵𝑛 sin
𝑦 ,
𝑔2 (𝑦) = 𝑢2 (𝐿, 𝑦) =
𝐴𝑛 sinh( 𝐿) sin
𝐻
𝐻
𝐻
𝑛=1
𝑛=1
𝑛𝜋
𝐵𝑛 ≡ 𝐴𝑛 sinh( 𝐿)
𝐻
(6.3.22)
(6.3.23)
∆ιαπιστώνουµε ότι έχουµε πάλι καταλήξει σε µία άπειρη Ηµιτονική Σειρά Fourier, τους συντελεστές
𝐵𝑛 της οποίας µπορούµε πολύ εύκολα να υπολογίσουµε από τον τύπο
2
𝐵𝑛 =
𝐻
∫︁𝐻
sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑦 𝑔2 (𝑦)𝑑𝑦 ⇒
𝐻
(6.3.24)
0
2
𝐴𝑛 =
𝐻 sinh( 𝑛𝜋
𝐻 𝐿)
∫︁𝐻
sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑦 𝑔2 (𝑦)𝑑𝑦, 𝑛 = 1, 2, . . . ,
𝐻
0
΄Αρα, έχουµε την πλήρη λύση του Υποπροβλήµατος-II και σε ότι ακολουθεί ϑα δούµε πως µπορεί η
γνώση αυτής της λύσης να διευκολύνει αρκετά τη λύση των υπόλοιπων Υποπροβληµάτων.
Επίλυση Υποπροβλήµατος-III. Παρατηρούµε ότι το Πρόβληµα Ιδιοτιµών του Υποπροβλήµατος-III
προκύπτει από το Πρόβληµα Ιδιοτιµών του Υποπροβλήµατος-II µε την ανταλλαγή, 𝑥 ↔ 𝑦 και 𝐻 ↔ 𝐿.
∆ηλαδή,
𝑢3,𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋
𝑥 sinh( 𝑦)
𝐿
𝐿
(6.3.25)
οπότε,
𝑢3 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 sin
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋
𝑥 sinh( 𝑦)
𝐿
𝐿
(6.3.26)
και η απαίτηση της ικανοποίησης της Μη-οµογενούς ΣΣ δίνει,
𝑓2 (𝑥) = 𝑢3 (𝑥, 𝐻) =
∞
∑︁
𝑛=1
𝐴𝑛 sinh(
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋
𝐻) sin
𝑥
𝐿
𝐿
(6.3.27)
΄Ετσι, οι συντελεστές 𝐴𝑛 δίνονται από τη σχέση
2
𝐴𝑛 =
𝐿 sinh( 𝑛𝜋
𝐿 𝐻)
∫︁𝐿
sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 𝑓2 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 1, 2, . . . ,
𝐿
(6.3.28)
0
Χωρίς να είµαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί σε Ϲητήµατα µαθηµατικής αυστηρότητας. Ζητήµατα, για τα οποία ϑα µιλήσουµε
στο κεφάλαιο των Σειρών Fourier.
(I)
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
81
6.3. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.
Επίλυση Υποπροβλήµατος-IV. Παρατηρούµε ότι το Πρόβληµα Ιδιοτιµών του Υποπροβλήµατος-IV
προκύπτει από το Πρόβληµα Ιδιοτιµών του Υποπροβλήµατος-II µε την αλλαγή, 𝑦 ↔ 𝑦 και 𝑥 → 𝐿 − 𝑥.
Η αλλαγή των µεταβλητών 𝑥 και 𝐿 − 𝑥 εκφράζει απλώς το γεγονός ότι στο Υποπρόβληµα-II η οµογενής
συνθήκη, ως προς το 𝑥 είναι στο 𝑥 = 0, ενώ στο Υποπρόβληµα-IV η οµογενής συνθήκη ως προς 𝑥
είναι στο 𝑥 = 𝐿. ΄Αρα,
(︁
)︁
(︁
)︁
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑦 sinh
(𝑥 − 𝐿)
𝐻
𝐻
𝑢4𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑛 sin
΄Αρα,
𝑢4 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 sin
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋
)︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑦 sinh
(𝑥 − 𝐿)
𝐻
𝐻
(6.3.29)
και
𝑔1 (𝑦) = 𝑢4 (0, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 sinh
𝑛=1
)︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(−𝐿) sin
𝑦
𝐻
𝐻
(︁ 𝑛𝜋
(6.3.30)
και έτσι,
𝐴𝑛 =
𝐻 sinh
2
(︀ 𝑛𝜋
𝐻
∫︁𝐻
(−𝐿)
sin
)︀
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑦 𝑔1 (𝑦)𝑑𝑦, 𝑛 = 1, 2, . . . ,
𝐻
(6.3.31)
0
Τέλος µένει το Υποπρόβληµα-I.
Επίλυση Υποπροβλήµατος-I. Παρατηρούµε ότι το Πρόβληµα Ιδιοτιµών του Υποπροβλήµατος-I
προκύπτει από το Πρόβληµα Ιδιοτιµών του Υποπροβλήµατος-III µε την αλλαγή, 𝑥 ↔ 𝑥 και 𝑦 → 𝐻 − 𝑦 .
Η αλλαγή των µεταβλητών 𝑦 και 𝐻 − 𝑦 εκφράζει απλώς το γεγονός ότι στο Υποπρόβληµα-I η οµογενής
συνθήκη, ως προς το 𝑦 είναι στο 𝑦 = 𝐻 , ενώ στο Υποπρόβληµα-III η οµογενής συνθήκη ως προς 𝑦
είναι στο 𝑦 = 0. ΄Ετσι,
𝑢1𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑛 sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
(︁ 𝑛𝜋
)︁
𝑥 sinh
(𝐻 − 𝑦)
𝐿
𝐿
(6.3.32)
οπότε,
𝑢1 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 sin
𝑛=1
(︁ 𝑛𝜋
)︁
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 sinh
(𝐻 − 𝑦)
𝐿
𝐿
(6.3.33)
και η απαίτηση της ικανοποίησης της Μη-οµογενούς ΣΣ δίνει,
𝑓1 (𝑥) = 𝑢1 (𝑥, 0) =
∞
∑︁
𝑛=1
𝐴𝑛 sinh(
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑛𝜋
𝐻) sin
𝑥
𝐿
𝐿
(6.3.34)
΄Ετσι, οι συντελεστές 𝐴𝑛 δίνονται από τη σχέση
2
𝐴𝑛 =
𝐿 sinh( 𝑛𝜋
𝐿 𝐻)
∫︁𝐿
sin
(︁ 𝑛𝜋 )︁
𝑥 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 1, 2, . . . ,
𝐿
0
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.3.35)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
82
Χωρισµού Μεταβλητών.
Υπενθυµίζουµε ότι η λύση του ΠΣΤ είναι το άθροισµα,
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑢1 (𝑥, 𝑦) + 𝑢2 (𝑥, 𝑦) + 𝑢3 (𝑥, 𝑦) + 𝑢4 (𝑥, 𝑦)
(6.3.36)
και ότι ϑα µπορούσε κανείς να ξεκινήσει από οποιοδήποτε από τα Υποπροβλήµατα και να προσδιορίσει
µε µέθοδο ανάλογη µε αυτή που χρησιµοποιήσαµε πιο πάνω, τις λύσεις των υπολοίπων. Τονίζουµε,
για άλλη µία ϕορά, ότι κάποιος κάλλιστα ϑα µπορούσε απλώς να επιλύσει πλήρως και αναλυτικά το
κάθε Υποπρόβληµα µε το κόστος των αρκετά περισσοτέρων πράξεων.
Εφαρµογή 6.9 (Παράγραφος 5.2 Snider, Arthur David, 1999).
Να λυθεί το παρακάτω ΠΣΤ
Ψ𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + Ψ𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0,
Ψ(𝑥, 𝜋) = sin 𝑥,
0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑦 < 𝜋
0≤𝑥≤𝜋
(ΣΣ − 1)
3
0≤𝑦≤𝜋
Ψ(𝜋, 𝑦) = sin 𝑦,
Ψ(𝑥, 0) = 𝑥(𝜋 − 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
Ψ(0, 𝑦) = 𝑓 (𝑦),
0≤𝑦≤𝜋
(ΣΣ − 2)
(ΣΣ − 3)
(ΣΣ − 4)
(6.3.37)
(6.3.38)
(6.3.39)
(6.3.40)
(6.3.41)
Λύση.
Θα προχωρήσουµε στη λύση ¨σπάζοντας¨ το πρόβληµα σε τέσσερα υποπροβλήµατα όπως κάναµε
παραπάνω όταν παρουσιάζαµε τη γενική µεθοδολογία. ΄Ετσι, εκµεταλευόµενοι τη γραµµικότητα της
εξίσωσης απαιτούµε η λύση, Ψ(𝑥, 𝑦), να είναι της µορφής
Ψ(𝑥, 𝑦) = Ψ1 (𝑥, 𝑦) + Ψ2 (𝑥, 𝑦) + Ψ3 (𝑥, 𝑦) + Ψ4 (𝑥, 𝑦)
(6.3.42)
όπου
1) Η Ψ1 (𝑥, 𝑦) ικανοποιεί την
∇2 Ψ1 (𝑥, 𝑦) = 0
(6.3.43)
στο εσωτερικό, µε ΣΣ
Ψ1 (𝑥, 𝜋) = sin 𝑥,
Ψ1 (𝜋, 𝑦) = 0,
Ψ1 (𝑥, 0) = 0,
Ψ1 (0, 𝑦) = 0
2) Η Ψ2 (𝑥, 𝑦) ικανοποιεί την
∇2 Ψ2 (𝑥, 𝑦) = 0
στο εσωτερικό, µε ΣΣ
Ψ2 (𝑥, 𝜋) = 0,
Ψ2 (𝜋, 𝑦) = sin3 𝑦,
Ψ2 (𝑥, 0) = 0,
Ψ2 (0, 𝑦) = 0
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.3.44)
83
6.3. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.
3) Η Ψ3 (𝑥, 𝑦) ικανοποιεί την
∇2 Ψ3 (𝑥, 𝑦) = 0
(6.3.45)
στο εσωτερικό, µε ΣΣ
Ψ3 (𝑥, 𝜋) = 0,
Ψ3 (𝜋, 𝑦) = 0,
Ψ3 (𝑥, 0) = 𝑥(𝜋 − 𝑥),
Ψ3 (0, 𝑦) = 0
4) Η Ψ4 (𝑥, 𝑦) ικανοποιεί την
∇2 Ψ4 (𝑥, 𝑦) = 0
(6.3.46)
στο εσωτερικό, µε ΣΣ
Ψ4 (𝑥, 𝜋) = 0,
Ψ4 (𝜋, 𝑦) = 0,
Ψ4 (𝑥, 0) = 0,
Ψ4 (0, 𝑦) = 𝑓 (𝑦)
Ακριβώς, όπως είδαµε και προηγουµένως, εφόσον, κάθε µία από τις Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 είναι λύση της
οµογενούς Laplace, το άθροισµα τους ικανοποιεί, λόγω γραµµικότητας, την οµογενή Laplace, όσο και
τις αντίστοιχες ΣΣ. ΄Ετσι, για παράδειγµα, είναι προφανές ότι
Ψ1 (𝜋, 𝑦) + Ψ2 (𝜋, 𝑦) + Ψ3 (𝜋, 𝑦) + Ψ4 (𝜋, 𝑦) = 0 + sin3 𝑦 + 0 + 0 = sin3 𝑦 = Ψ(𝜋, 𝑦)
και έτσι ικανοποιείται η ΣΣ−2, (6.3.39). Με εντελώς αντίστοιχο τρόπο επαληθεύουµε ότι ικανοποιούνται όλες οι συνοριακές συνθήκες.
Μπορούµε τώρα να εφαρµόσουµε τη ΜΧΜ για κάθε υποπρόβληµα ξεχωριστά.
Επίλυση Υποπροβλήµατος-1.
Το Υποπρόβληµα-1 είναι το εξής,
𝜕 2 Ψ1
𝜕 2 Ψ1
(𝑥,
𝑦)
+
(𝑥, 𝑦) = 0,
𝜕𝑥2
𝜕𝑦 2
Ψ1 (𝑥, 𝜋) = sin 𝑥,
Ψ1 (𝜋, 𝑦) = 0,
Ψ1 (𝑥, 0) = 0,
Ψ1 (0, 𝑦) = 0,
0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑦 < 𝜋
0≤𝑥≤𝜋
0≤𝑦≤𝜋
0≤𝑥≤𝜋
0≤𝑦≤𝜋
(6.3.47)
(ΣΣ − 1)
(ΣΣ − 2)
(ΣΣ − 3)
(ΣΣ − 4)
(6.3.48)
(6.3.49)
(6.3.50)
(6.3.51)
Αναζητούµε χωριζόµενες λύσεις απαιτώντας ως συνήθως
Ψ1 (𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌 (𝑦)
(6.3.52)
Εφαρµόζουµε τώρα τη χωριζόµενη µορφή, (6.3.52), στην εξίσωση Laplace και προκύπτει µετά το
χωρισµό των µεταβλητών
1 d2 𝑋
1 d2 𝑌
=
−
𝑋(𝑥) d𝑥2
𝑌 (𝑦) d𝑦 2
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.3.53)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
84
Χωρισµού Μεταβλητών.
΄Αρα ϑα πρέπει, σύµφωνα µε όσα ξέρουµε για τη ΜΧΜ, να ισχύει
1 d2 𝑋
1 d2 𝑌
=
−
=𝜆
𝑋(𝑥) d𝑥2
𝑌 (𝑦) d𝑦 2
(6.3.54)
Για να προσδιορίσουµε το Πρόβληµα Ιδιοτιµών µε το οποίο ϑα ξεκινήσουµε, διατυπώνουµε πρώτα τις
ΣΣ που πρέπει να ικανοποιούν οι χωριζόµενες λύσεις. Πολύ εύκολα, δεδοµένου ότι δε ϑέλουµε τη
τετριµµένη λύση Ψ = 0, προκύπτει για τις οµογενείς ΣΣ:
Ψ1 (𝑥, 0) = 0 ⇒ 𝑋(𝑥)𝑌 (0) = 0 ⇒ 𝑌 (0) = 0
Ψ1 (𝜋, 𝑦) = 0 ⇒ 𝑋(𝜋)𝑌 (𝑦) = 0 ⇒ 𝑋(𝜋) = 0
Ψ1 (0, 𝑦) = 0 ⇒ 𝑋(0)𝑌 (𝑦) = 0 ⇒ 𝑋(0) = 0
(6.3.55)
(6.3.56)
(6.3.57)
Είναι ϕανερό ότι µόνο η 𝑋(𝑥), ικανοποιεί οµογενείς ΣΣ και στα δύο άκρα οπότε αυτή ϑα µας δώσει
το πρόβληµα ιδιοτιµών. Τέλος, η µη οµογενής ΣΣ δίνει
Ψ1 (𝑥, 𝜋) = 𝑋(𝑥)𝑌 (𝜋) = sin 𝑥
για την οποία δεν µπορούµε να πούµε τίποτε περισσότερο τώρα. Απλώς, πιο µετά, ϑα τη χειριστούµε
εντελώς ανάλογα µε την αρχική συνθήκη στα ΠΑ-ΣΤ!
Πρόβληµα Ιδιοτιµών.
΄Αρα το πρόβληµα ιδιοτιµών είναι το
d2 𝑋
= −𝜆𝑋(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝜋
d𝑥2
𝑋(0) = 𝑋(𝜋) = 0
(6.3.58)
(6.3.59)
Τη λύση αυτού του προβλήµατος την έχουµε έτοιµη στον Πίνακα-(6.2), και επειδή 𝐿 = 𝜋 , είναι η
𝑋𝑛 (𝑥) = sin (𝑛𝑥) , 𝜆𝑛 = 𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
Εξίσωση ως προς 𝑦 .
(6.3.60)
Η εξίσωση ως προς 𝑦 είναι η
d2 𝑌
= 𝜆𝑌 (𝑦)
d𝑦 2
(6.3.61)
και εξαιτίας της επιλογής του προσήµου του 𝜆 από την επίλυση του προβλήµατος ιδιοτιµών η µόνη
λύση αυτής της εξίσωσης, όπως είδαµε και πιο πάνω κατά την παρουσιάση της µεθόδου, είναι η
√
√
𝑎1 cosh( 𝜆𝑦) + 𝑎2 sinh( 𝜆𝑦)
Επιβάλλοντας, την οµογενή ΣΣ
𝑌 (0) = 0
συµπεραίνουµε ότι 𝑎1 = 0, και λαµβάνοντας υπόψιν µας και τις ιδιοτιµές 𝜆𝑛 = 𝑛2 , η λύση είναι
τελικά,
√︀
𝑎2 sinh( 𝜆𝑛 𝑦) = 𝑎2 sinh(𝑛𝑦)
΄Αρα,
Ψ1,𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑛 sin (𝑛𝑥) sinh(𝑛𝑦), 𝑛 = 1, 2, 3 . . .
(6.3.62)
Παρατηρείστε πάλι, ότι ο ένας όρος του γινοµένου ταλαντώνεται (ο sin (𝑛𝑥)) ενώ, ο άλλος όρος όχι.
΄Εχουµε δηλαδή, όπως το περιµένουµε, την τυπική συµπεριφορά των λύσεων της εξίσωσης Laplace
όταν εφαρµόζουµε τη ΜΧΜ.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
85
6.3. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.
Μη-Οµογενής ΣΣ. Για να ικανοποιήσουµε τη µη-οµογενή ΣΣ ϑα χρησιµοποιήσουµε τη γενικευµένη
αρχή της επαλληλίας για να εκφράσουµε τη γενική λύση ως ένα άπειρο άθροισµα των Ψ1𝑛 (𝑥, 𝑦):
Ψ1 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐴𝑛 sin (𝑛𝑥) sinh(𝑛𝑦)
(6.3.63)
𝑛=1
Η λύση αυτή, µπορεί εύκολα να δειχθεί, χωρίς πάλι να µας απασχολούν Ϲητήµατα αυστηρότητας
ότι ικανοποιεί τόσο την Εξ.L. όσο και τις οµογενείς ΣΣ. Μένει τότε, να απαιτήσουµε την ισχύ της
µη-οµογενούς ΣΣ ϑέτοντας Ψ1 (𝑥, 𝜋) = sin 𝑥, δηλαδή,
∞
∑︁
𝐴𝑛 sinh(𝑛𝜋) sin (𝑛𝑥) = sin 𝑥
(6.3.64)
𝑛=1
∆ιαπιστώνουµε ότι έχουµε καταλήξει σε µία άπειρη Ηµιτονική Σειρά Fourier στο αριστερό µέλος.
΄Οµως και το δεξί µέλος είναι στη µορφή σειράς Fourier όπου ο συντελεστής για 𝑛 = 1 είναι ίσος µε
µονάδα ενώ όλοι οι υπόλοιποι είναι ίσοι µε µηδέν. ΄Αρα, από το αριστερό µέλος επιβιώνει µόνο ο όρος
για 𝑛 = 1. ΄Ετσι ισχύει
𝐴1 sin 𝑥 sinh 𝜋 = sin 𝑥 ⇒ 𝐴1 sinh 𝜋 = 1 ⇒ 𝐴1 =
1
sinh 𝜋
𝐴𝑖 = 0, 𝑖 ̸= 1
(6.3.65)
(6.3.66)
Τελικά,
Ψ1 (𝑥, 𝑦) =
Επίλυση Υποπροβλήµατος-2.
1
sin 𝑥 sinh 𝑦
sinh 𝜋
(6.3.67)
Το Υποπρόβληµα-2 είναι το εξής,
𝜕 2 Ψ2
𝜕 2 Ψ2
(𝑥,
𝑦)
+
(𝑥, 𝑦) = 0,
𝜕𝑥2
𝜕𝑦 2
Ψ2 (𝑥, 𝜋) = 0,
0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑦 < 𝜋
(6.3.68)
0≤𝑥≤𝜋
(ΣΣ − 1)
(6.3.69)
Ψ2 (𝜋, 𝑦) = sin 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋
Ψ2 (𝑥, 0) = 0,
0≤𝑥≤𝜋
Ψ2 (0, 𝑦) = 0,
0≤𝑦≤𝜋
(ΣΣ − 2)
(ΣΣ − 3)
(ΣΣ − 4)
(6.3.70)
3
(6.3.71)
(6.3.72)
Για να αποφύγουµε να εφαρµόσουµε τη ΜΧΜ από την αρχή και σε αυτό το πρόβληµα παρατηρούµε
απλώς ότι αυτό προκύπτει από το υποπρόβληµα-1 µε την εναλλαγή 𝑥 ↔ 𝑦 , άρα αρκεί να πάρουµε τις
λύσεις (6.3.62) και να προχωρήσουµε σε αυτή την εναλλαγή, οπότε και λαµβάνουµε (µε αυθαιρεσία
ως προς την πολλαπλασιαστική σταθερά)
Ψ2,𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐵𝑛 sin (𝑛𝑦) sinh(𝑛𝑥), 𝑛 = 1, 2, 3 . . .
(6.3.73)
οπότε
Ψ2 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐵𝑛 sin (𝑛𝑦) sinh(𝑛𝑥)
𝑛=1
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.3.74)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
86
Χωρισµού Μεταβλητών.
το επόµενο ϐήµα είναι η εφαρµογή της µη-οµογενούς ΣΣ
Ψ2 (𝜋, 𝑦) = sin3 𝑦
εδώ παρατηρούµε ότι
sin3 𝑦 =
3
1
sin 𝑦 − sin(3𝑦)
4
4
άρα,
∞
∑︁
𝐵𝑛 sin (𝑛𝑦) sinh(𝑛𝜋) = sin3 𝑦 =
𝑛=1
1
3
sin 𝑦 − sin(3𝑦)
4
4
(6.3.75)
το δεξί µέλος είναι και αυτό σε µορφή σειράς Fourier όπου έχουν ¨επιβιώσει¨ µόνο οι όροι για 𝑛 = 1
και 𝑛 = 3, άρα και στο αριστερό µέλος ϑα επιβιώσουν µόνο οι αντίστοιχοι όροι. ΄Ετσι, έχουµε
𝐵1 sin 𝑦 sinh 𝜋 + 𝐵3 sin(3𝑦) sinh(3𝜋) =
3
1
sin 𝑦 − sin(3𝑦)
4
4
(6.3.76)
άρα,
𝐵1 sinh 𝜋
= 43
𝐵3 sinh(3𝜋) = − 14
}︃
⇒
𝐵1
𝐵3
3
= 4 sinh
𝜋
1
= − 4 sinh(3𝜋)
(6.3.77)
και τελικά
Ψ2 (𝑥, 𝑦) =
Επίλυση Υποπροβλήµατος-3.
3
1
sin 𝑦 sinh 𝑥 −
sin(3𝑦) sinh(3𝑥)
4 sinh 𝜋
4 sinh(3𝜋)
(6.3.78)
Το Υποπρόβληµα-3 είναι το εξής,
𝜕 2 Ψ1
𝜕 2 Ψ1
(𝑥,
𝑦)
+
(𝑥, 𝑦) = 0,
𝜕𝑥2
𝜕𝑦 2
Ψ1 (𝑥, 𝜋) = 0,
Ψ1 (𝜋, 𝑦) = 0,
Ψ1 (𝑥, 0) = 𝑥(𝜋 − 𝑥),
Ψ1 (0, 𝑦) = 0,
0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑦 < 𝜋
0≤𝑥≤𝜋
0≤𝑦≤𝜋
0≤𝑥≤𝜋
0≤𝑦≤𝜋
(6.3.79)
(ΣΣ − 1)
(ΣΣ − 2)
(ΣΣ − 3)
(ΣΣ − 4)
(6.3.80)
(6.3.81)
(6.3.82)
(6.3.83)
Για την επίλυση του υποπροβλήµατος-3 ϑα σκεφτούµε πάλι έξυπνα για να αποφύγουµε την εφαρµογή
της µεθόδου ΜΧΜ από την αρχή. Παρατηρούµε, λοιπόν, ότι τα υποπροβλήµατα 1 και 3 έχουν και
τα δύο ως οµογενή διεύθυνση τη διεύθυνση 𝑥 (δηλαδή και στα δύο σύνορα της 𝑥 διεύθυνσης έχουν
οµογενείς ΣΣ). ΄Οµως, ενώ στη 𝑦 διεύθυνση το υποπρόβληµα-1 έχει µη-οµογενή ΣΣ για 𝑦 = 𝜋 και
οµογενή ΣΣ για 𝑦 = 0 το αντίστροφο συµβαίνει για το υποπρόβληµα-3. ΄Ετσι, αν ϑεωρήσουµε ως
νέα µεταβλητή την 𝑦 ′ = 𝜋 − 𝑦 τότε προκύπτει η αντιστοιχία
𝑦′ = 0 → 𝑦 = 𝜋
𝑦′ = 𝜋 → 𝑦 = 0
που µας οδηγεί να σκεφτούµε ότι αν ϑεωρήσουµε τις ιδιοσυναρτήσεις, (6.3.62), του υποπροβλήµατος1 και ϑέσουµε σε αυτές ως µεταβλητή την 𝑦 − 𝜋 αντί της 𝑦 , χωρίς να πειράξουµε τη µεταβλητή 𝑥, τότε
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
87
6.3. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.
ϑα πάρουµε τις ιδιοσυναρτήσεις του υποπροβλήµατος-3! ΄Αρα, ϑα έχουµε (πάλι µε µία αυθαιρεσία ως
προς την πολλαπλασιαστική σταθερά)
Ψ3𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐶𝑛 sin (𝑛𝑥) sinh [𝑛(𝜋 − 𝑦)] , 𝑛 = 1, 2, 3 . . .
(6.3.84)
οπότε,
Ψ3 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐶𝑛 sin (𝑛𝑥) sinh [𝑛(𝜋 − 𝑦)]
(6.3.85)
𝑛=1
Η εφαρµογή της µη-οµογενούς ΣΣ απαιτεί να ισχύει
Ψ3 (𝑥, 0) =
∞
∑︁
𝐶𝑛 sin (𝑛𝑥) sinh(𝑛𝜋) = 𝑥(𝜋 − 𝑥)
(6.3.86)
𝑛=1
όπου για να λυθεί αυτό το πρόβληµα επειδή τώρα το δεξί µέλος δεν είναι σε µορφή σειράς Fourier ϑα
πρέπει να υπολογίσουµε τους συντελεστές του αναπτύγµατος
𝑥(𝜋 − 𝑥) =
∞
∑︁
𝑎𝑛 sin(𝑛𝑥), 0 < 𝑥 < 𝜋
𝑛=1
οι οποίοι δίνονται από τα ολοκληρώµατα
∫︀𝜋
𝑎𝑛 =
𝑥(𝜋 − 𝑥) sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥
0
∫︀𝜋
sin2 (𝑛𝑥)
2
=
𝜋
∫︁𝜋
{︃
𝑥(𝜋 − 𝑥) sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥 =
0
0,
8
,
𝜋𝑛3
𝑛 = 2𝑗
𝑛 = 2𝑗 + 1
(6.3.87)
0
έτσι, λόγω της ΣΣ ϑα πρέπει να ισχύει
∞
∑︁
𝐶𝑛 sin (𝑛𝑥) sinh(𝑛𝜋) =
𝑛=1
∞
∑︁
𝑎𝑛 sin(𝑛𝑥) ⇒ 𝐶𝑛 =
𝑛=1
𝑎𝑛
sinh(𝑛𝜋)
(6.3.88)
δηλ.,
{︃
𝐶𝑛 =
0,
8
,
𝜋𝑛3 sinh(𝑛𝜋)
𝑛 = 2𝑗
𝑛 = 2𝑗 + 1
(6.3.89)
κοινώς,
𝐶𝑗 =
8
, 𝑗 = 0, 1, 2 . . .
𝜋(2𝑗 + 1)3 sinh [(2𝑗 + 1)𝜋]
(6.3.90)
και έτσι,
Ψ3 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐶𝑗 sin [(2𝑗 + 1)𝑥] sinh [(2𝑗 + 1)(𝜋 − 𝑦)]
𝑗=1
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
(6.3.91)
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
88
Χωρισµού Μεταβλητών.
Επίλυση Υποπροβλήµατος-4.
𝜕2Ψ
1
𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑦) +
Το Υποπρόβληµα-4 είναι το εξής,
𝜕2Ψ
1
(𝑥, 𝑦) = 0,
𝜕𝑦 2
Ψ1 (𝑥, 𝜋) = 0,
Ψ1 (𝜋, 𝑦) = 0,
Ψ1 (𝑥, 0) = 0,
Ψ1 (0, 𝑦) = 𝑓 (𝑦),
0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑦 < 𝜋
0≤𝑥≤𝜋
0≤𝑦≤𝜋
0≤𝑥≤𝜋
0≤𝑦≤𝜋
(6.3.92)
(ΣΣ − 1)
(ΣΣ − 2)
(ΣΣ − 3)
(ΣΣ − 4)
(6.3.93)
(6.3.94)
(6.3.95)
(6.3.96)
Για την επίλυση του υποπροβλήµατος-4 ϑα σκεφτούµε πάλι έξυπνα και µε τρόπο ανάλογο µε αυτόν που υπολογίσαµε τις ιδιοσυναρτήσεις του υποπροβλήµατος-3 σε σχέση µε τις ιδιοσυναρτήσεις
του υποπροβλήµατος-1. Παρατηρούµε ότι τα υποπροβλήµατα 2 και 4 έχουν και τα δύο ως οµογενή διεύθυνση τη διεύθυνση 𝑦 και ότι µπορούµε να λάβουµε τις ιδιοσυναρτήσεις, (6.3.73), του
υποπροβλήµατος-4 από αυτές του υποπροβλήµατος-2 µε την αντικατάσταση 𝑥 → (𝜋 − 𝑥). ∆ηλαδή,
Ψ4𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝐷𝑛 sin (𝑛𝑦) sinh [𝑛(𝜋 − 𝑥)] , 𝑛 = 1, 2, 3 . . .
(6.3.97)
και έτσι,
Ψ4 (𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐷𝑛 sin (𝑛𝑦) sinh [𝑛(𝜋 − 𝑥)]
(6.3.98)
𝑛=1
Η ανάγκη να ικανοποιείται η µη οµογενής ΣΣ δίνει
Ψ4 (0, 𝑦) =
∞
∑︁
𝐷𝑛 sin (𝑛𝑦) sinh(𝑛𝜋) = 𝑓 (𝑦)
(6.3.99)
𝑛=1
όπου υποθέτουµε ότι το ανάπτυγµα της 𝑓 (𝑥) έχει τη µορφή
𝑓 (𝑥) =
∞
∑︁
𝑎𝑛 sin(𝑛𝑦), 0 < 𝑦 < 𝜋
𝑛=1
οπότε
2
𝑎𝑛 =
𝜋
∫︁𝜋
𝑓 (𝑦) sin(𝑛𝑦)𝑑𝑦
(6.3.100)
0
΄Αρα,
∞
∑︁
𝑛=1
𝐷𝑛 sin (𝑛𝑦) sinh(𝑛𝜋) =
∞
∑︁
𝑎𝑛 sin(𝑛𝑦) ⇒ 𝐷𝑛 =
𝑛=1
2
=
𝜋 sinh(𝑛𝜋)
𝑎𝑛
=
sinh(𝑛𝜋)
∫︁𝜋
𝑓 (𝑦) sin(𝑛𝑦)𝑑𝑦
(6.3.101)
0
Τελικά,
Ψ(𝑥, 𝑦) = Ψ1 (𝑥, 𝑦) + Ψ2 (𝑥, 𝑦) + Ψ3 (𝑥, 𝑦) + Ψ4 (𝑥, 𝑦)
(6.3.102)
Το ίδιο πρόβληµα ϑα µπορούσε να λυθεί να αντί για το τετράγωνο 0 < 𝑥 < 𝜋 , 0 < 𝑦 < 𝜋 είχαµε το
ορθογώνιο 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝐻 .
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
89
6.4. Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά.
Παρατήρηση επί της Μεθόδου Επίλυσης. Αυτό το οποίο µπορούµε να κρατήσουµε ως δίδαγµα
του τρόπου επίλυσης είναι το εξής σηµαντικό : υπήρξε µία οµογενής διεύθυνση, δηλαδή οµογενείς
ΣΣ κατά µήκος µίας διεύθυνσης π.χ. 𝑥(0) = 𝑥(𝜋) = 0, η οποία µας τροφοδότησε µε τις ιδιοσυναρτήσεις ως προς τις οποίες αναπτύξαµε για τις υπόλοιπες µη-οµογενείς ΣΣ κάθε ϕορά.
Στηριζόµενοι στην προηγούµενη παρατήρηση µπορούµε να επιλύσουµε αυτού του είδους τα προϐλήµατα µε εναλλακτική µέθοδο η οποία απλουστεύει κάπως τη διαδικασία και στηρίζεται, επί της
ουσίας, στη µέθοδο αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις για την οποία ϑα µιλήσουµε µετά τη µελέτη
των σειρών Fourier, στο κεφάλαιο (8). Η εναλλακτική αυτή µέθοδος ϑα παρουσιαστεί στις σηµειώσεις
περί Γενικών Προβληµάτων Ιδιοτιµών.
6.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά.
Από τη µελέτη που προηγήθηκε, διαπιστώσαµε ότι η εφαρµογή της ΜΧΜ για την επίλυση ΠΑ-ΣΤ της
κυµατικής εξίσωσης και της εξίσωσης διάχυσης, και την επίλυση ΠΣΤ της εξίσωσης Laplace οδήγησε
σε προβλήµατα ιδιοτιµών, της διαφορικής εξίσωσης
d2 Ψ
= −𝜆Ψ
d𝑥2
Τις λύσεις αυτών των προβληµάτων ιδιοτιµών συνοψίζουµε, στον παρακάτω πίνακα,
2
Πίνακας 6.2: Τα Προβλήµατα ιδιοτιµών της dd𝑥Ψ
2 = −𝜆Ψ.
Προβλήµατα Ιδιοτιµών της
d2 Ψ
d𝑥2
= −𝜆Ψ
Dirichlet, (0 < 𝑥 < 𝐿)
Neumann, (0 < 𝑥 < 𝐿)
Περιοδικό, (−𝐿 < 𝑥 < 𝐿)
Ψ(0) = 0
dΨ
(0)
d𝑥
=0
Ψ(𝐿) = Ψ(−𝐿)
Συνθήκες
Ψ(𝐿) = 0
dΨ
(𝐿)
d𝑥
=0
dΨ
(𝐿)
d𝑥
Ιδιοτιµές 𝜆𝑛
( 𝑛𝜋
)2 , 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,
𝐿
(︀ 𝑛𝜋 )︀
sin 𝐿 𝑥
∞
)︀
(︀
∑︀
𝑓 (𝑥) =
𝐵𝑛 sin 𝑛𝜋
𝑥
𝐿
( 𝑛𝜋
)2 , 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,
𝐿
(︀ 𝑛𝜋 )︀
cos 𝐿 𝑥
∞
)︀
(︀
∑︀
𝑓 (𝑥) =
𝐴𝑛 cos 𝑛𝜋
𝑥
𝐿
Ονοµασία ΠΣΤ
Συνοριακές
Ιδιοσυναρτήσεις
Σειρά Fourier
𝑛=1
𝑛=0
=
dΨ
(−𝐿)
d𝑥
( 𝑛𝜋
)2 , 𝑛 = 0, 1, 2, . . .
𝐿
(︀ 𝑛𝜋 )︀
(︀
)︀
sin 𝐿 𝑥 και cos 𝑛𝜋
𝑥
𝐿
∞
)︀
(︀
∑︀
𝑓 (𝑥) =
𝐴𝑛 cos 𝑛𝜋
𝑥
𝐿
𝑛=0
∞
∑︀
+
Συντελεστές
Σειράς Fourier
𝐵𝑛 =
2
𝐿
∫︀𝐿
0
𝑓 (𝑥) sin
(︀ 𝑛𝜋 )︀
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
𝐴0 =
𝐴𝑛 =
1
𝐿
2
𝐿
∫︀𝐿
0
∫︀𝐿
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
𝑓 (𝑥) cos
0
𝐴0 =
(︀ 𝑛𝜋 )︀
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
𝐵𝑛 sin
𝑛=1
∫︀𝐿
1
2𝐿
𝐴𝑛 =
1
𝐿
𝐵𝑛 =
1
𝐿
(︀ 𝑛𝜋 )︀
𝑥
𝐿
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
−𝐿
∫︀𝐿
−𝐿
∫︀𝐿
−𝐿
𝑓 (𝑥) cos
(︀ 𝑛𝜋 )︀
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
𝑓 (𝑥) sin
(︀ 𝑛𝜋 )︀
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
Το σηµαντικό χαρακτηριστικό της µεθόδου που ακολουθήσαµε είναι ότι οι λύσεις των προβληµάτων
ιδιοτιµών µας επέτρεψαν να εκφράσουµε σε µορφή άπειρης σειράς τόσο τη γενική λύση όσο και τις
αρχικές συνθήκες. Η επίλυση του κάθε ένα από τα προβλήµατα που µελετήσαµε στηριχτηκε ακριβώς
πάνω σε αυτή την ιδιότητα.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος
90
Χωρισµού Μεταβλητών.
Η ΜΧΜ εφαρµόζεται και σε αρκετά πολυπλοκότερες Μ∆Ε. Πολυπλοκότερες ως προς τη µορφή
της διαφορικής εξίσωσης, πολυπλοκότερες ως προς τις ΣΣ αλλά και πολυπλοκότερες λόγω του ότι
περιγράφουν προβλήµατα σε περισσότερες διαστάσεις. Πάλι, για την επίλυση πολλών από αυτές τις
Μ∆Ε καταλήγουµε σε προβλήµατα ιδιοτιµών, πιο γενικά από αυτά που έχουµε λύσει µέχρι στιγµής,
αλλά το σηµαντικό χαρακτηριστικό ϑα εξακολουθήσει να παραµένει :
Τα προβλήµατα ιδιοτιµών µας τροφοδοτούν µε τις ιδιοτιµές και τις ιδιοσυναρτήσεις µε τις
οποίες χτίζουµε τη λύση της Μ∆Ε.
Για αυτό το λόγο, η µελέτη προβληµάτων ιδιοτιµών αποκτά από µόνη της αξία, και εµείς ϑα αφιεϱώσουµε δύο ολόκληρα κεφάλαια στην µελέτη των προβληµάτων ιδιοτιµών. Το κεφάλαιο (7) για τις
σειρές Fourier και το κεφάλαιο (9), για τα προβλήµατα Sturm-Liouville τα οποία είναι προβλήµατα
ιδιοτιµών µε διαφορικές εξισώσεις µίας µεταβλητής. Η περίπτωση των σειρών Fourier είναι ειδική
περίπτωση των προβληµάτων Sturm-Liouville κατά την οποία µπορούµε να έχουµε αναλυτικά αποτελέσµατα. Στο κεφάλαιο (9) ϑα έχουµε την ευκαιρία να διατυπώσουµε αποτελέσµατα για τις ιδιότητες
των λύσεων των προβληµάτων ιδιοτιµών χωρίς να είναι απαραίτητο να τις γνωρίζουµε αυτές ! ΄Ετσι
ϑα ασχοληθούµε και µε γενικεύσεις όσων έχουµε µελετήσει µέχρι στιγµής, όπως για παράδειγµα τη
γενίκευση των προβληµάτων αυτών σε περισσότερες διαστάσεις (µεταβλητές).
Μία απλή γενίκευση είναι το πρόβληµα ιδιοτιµών µε µικτές ΣΣ το οποίο σας δίνεται ως άσκηση
΄Ασκηση 6.10 (Μικτές ΣΣ).
Να λυθεί το πρόβληµα ιδιοτιµών
d2 𝑋
= −𝜆𝑋(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿
d𝑥2
d𝑋
𝑋(0) =
(𝐿) = 0.
d𝑥
Απάντηση. Οι ιδιοτιµές είναι
1 𝜋2
(𝑛 + )2 2 , 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,
2 𝐿
και οι ιδιοσυναρτήσεις είναι
[︂
]︂
1 𝜋𝑥
sin (𝑛 + )
, 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,
2 𝐿
Επίλογος. Σε αυτό εδώ το κεφάλαιο ϐασικός σκοπός µας ήταν να δώσουµε τις λύσεις του προβλήµατος ιδιοτιµών
d2 𝑋(𝑥)
= −𝜆𝑋(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿 ή − ∞ < 𝑥 < ∞
d𝑥2
(6.4.1)
οι οποίες οδηγούν σε κλασσικές Σειρές Fourier και αυτό είδαµε ότι συµβαίνει για τις τρεις κατηγορίες
ΣΣ(Dirichlet, Neumann και Περιοδικές) µε τις οποίες ασχοληθήκαµε στις προηγούµενες ενότητες.
∆ηλαδή για τρεις µόνο υποκατηγορίες των συνοριακών συνθηκών (6.1.1) για τις οποίες η µέθοδος
είναι εφαρµόσιµη. Αυτά είναι ίσως τα απλούστερα προβλήµατα ιδιοτιµών που µπορεί να συναντήσει
κανείς. Ακόµη και για την εξίσωση (6.4.1) που είναι η απλούστερη που µπορεί να συναντήσει κανείς,
η γενίκευση των ΣΣ δυσκολεύει αρκετά τη δυνατότητα αναλυτικής επίλυσης και κάποιος πρέπει να
καταφύγει σε αριθµητικές µεθόδους. Στο τέλος του κεφαλαίου περί Σειρών Fourier (7) και στην
ενότητα (7.5) ϑα δούµε για πρώτη ϕορά ότι για την ίδια ∆.Ε. αλλά για γενικότερες ΣΣ µπορούµε να
διατυπώσουµε ιδιότητες των λύσεων, χωρίς να γνωρίζουµε αναλυτικά το είδος τους. Είµαστε έτοιµοι
να προχωρήσουµε στη µελέτη των σειρών Fourier.
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10
Παράρτηµα
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
10.1 Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.1 Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.
Για τις τριγονωµετρικές συναρτήσεις ισχύουν οι εξής ταυτότητες.
𝜋
sin 𝑎 = cos( − 𝑎)
2
𝜋
cos 𝑎 = sin( − 𝑎)
2
sin(𝑎 ± 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 ± cos 𝑎 sin 𝑏
cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ sin 𝑎 sin 𝑏
sin 2𝑎 = 𝑠 sin 𝑎 cos 𝑎
cos 2𝑎 = cos2 𝑎 − sin2 𝑎 = 2 cos2 𝑎 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑎
1
[sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)]
2
1
cos 𝑎 sin 𝑏 = [sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏)]
2
1
sin 𝑎 sin 𝑏 = [cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏)]
2
1
cos 𝑎 cos 𝑏 = [cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]
2
sin2 𝑎 − sin2 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏) sin(𝑎 − 𝑏)
sin 𝑎 cos 𝑏 =
(10.1.1)
(10.1.2)
(10.1.3)
(10.1.4)
(10.1.5)
(10.1.6)
(10.1.7)
(10.1.8)
(10.1.9)
(10.1.10)
(10.1.11)
2
2
(10.1.12)
2
2
(10.1.13)
cos 𝑎 − cos 𝑏 = − sin(𝑎 + 𝑏) sin(𝑎 − 𝑏)
cos 𝑎 − sin 𝑏 = cos(𝑎 + 𝑏) cos(𝑎 − 𝑏)
154
10.1. Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.
155
Σηµαντικά είναι τα εξής ολοκληρώµατα
∫︁
∫︁
sin[(𝑎 − 𝑏)𝑥] sin[(𝑎 + 𝑏)𝑥]
sin(𝑎𝑥) sin(𝑏𝑥)𝑑𝑥 =
−
+ 𝐶, |𝑎| =
̸ |𝑏|
2(𝑎 − 𝑏)
2(𝑎 + 𝑏)
∫︁
𝑥
1
𝑥
1
sin2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −
sin(2𝑎𝑥) + 𝐶 = −
sin(𝑎𝑥) cos(𝑎𝑥) + 𝐶
2 4𝑎
2 2𝑎
sin[(𝑎 − 𝑏)𝑥] sin[(𝑎 + 𝑏)𝑥]
cos(𝑎𝑥) cos(𝑏𝑥)𝑑𝑥 =
+
+ 𝐶, |𝑎| =
̸ |𝑏|
2(𝑎 − 𝑏)
2(𝑎 + 𝑏)
∫︁
𝑥
1
𝑥
1
cos2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = +
sin(2𝑎𝑥) + 𝐶 = +
sin(𝑎𝑥) cos(𝑎𝑥) + 𝐶
2 4𝑎
2 2𝑎
cos[(𝑎 − 𝑏)𝑥] cos[(𝑎 + 𝑏)𝑥]
−
+ 𝐶, |𝑎| =
̸ |𝑏|
2(𝑎 − 𝑏)
2(𝑎 + 𝑏)
∫︁
1
sin(𝑎𝑥) cos(𝑎𝑥)𝑑𝑥 = − cos2 (𝑎𝑥) + 𝐶
2𝑎
(10.1.14)
(10.1.15)
(10.1.16)
(10.1.17)
∫︁
sin(𝑎𝑥) cos(𝑏𝑥)𝑑𝑥 = −
(10.1.18)
(10.1.19)
𝑛𝜋
Για την ειδική περίπτωση όπου 𝑎 = 𝑚𝜋
𝐿 , 𝑏 = 𝐿 τότε ισχύει ότι
∫︁𝐿
sin(
0
𝑛𝜋
𝐿 cos[(𝑚 − 𝑛)𝜋] 𝐿 cos[(𝑚 + 𝑛)𝜋]
𝐿
𝑚𝜋
𝑥) cos( 𝑥)𝑑𝑥 = −
−
+
+
𝐿
𝐿
2𝜋(𝑚 − 𝑛)
2𝜋(𝑚 + 𝑛)
2𝜋(𝑚 − 𝑛)
{︂
0,
𝑚 − 𝑛 = άρτιος
𝐿
+
= 2𝐿
𝑚
2𝜋(𝑚 + 𝑛)
𝜋 ( 𝑚2 −𝑛2 ), 𝑚 − 𝑛 = περιττός
(10.1.20)
διότι, αν 𝑚 − 𝑛 = άρτιος ⇒ 𝑚 + 𝑛 = άρτιος και αντίστοιχα αν 𝑚 − 𝑛 = περιττός ⇒ 𝑚 + 𝑛 = περιττός
΄Εκδοση : 18 Ιουνίου 2016
Βιβλιογραφία
Haberman, Richard (2004). Applied Partial Differential Equations, With Fourier Series and Boundary
Value Problems. 4th. NJ: Pearson/Prentice-Hall.
Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein (2005). An Introduction to Differential Equations. Cambridge:
Cambridge University Press.
Powers, David L. (2006). Boundary Value Problems and Partial Differential Equations. Fifth. Amsterdam: Elsevier.
Snider, Arthur David (1999). Partial Differential Equations, Sources and Solutions. NJ: Prentice Hall.
Ζούπας, Ανδρέας (2011). Μερικές ∆ιαφορικές Εξισώσεις. Ηλεκτρονικά Αρχεία, Εκπαιδευτικό Υλικό για
το µάθηµα : ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ. Σηµειώσεις για το Μάθηµα
∆ιαφορικές εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, του 4ου Εξαµήνου του Τµήµατος Μηχανολόγων
Μηχανικών του Πανεπιστήµιου Θεσσαλίας.
156