Mecânica dos Fluidos

Conservação da massa

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

Programa da aula

    Revisão   Sistema, volume de controle e superfície de controle Teorema do transporte de Reynolds Equação da conservação da massa; Casos Especiais; Exercícios.

Sistema

  É uma quantidade de matéria de massa e identidade fixa, que escolhemos como objeto de estudo; Esta quantidade de matéria está contida por uma fronteira através da qual não há fluxo de massa.

Volume de controle

  É uma determinada região delimitada por uma fronteira onde uma determinada quantidade de matéria é observada.

Exemplo:

Superfície de controle

 É a fronteira (contorno geométrico) de um volume de controle.

Superfície de controle s.c.

O sistema e o volume de controle fixo

fluxo líquido da propriedad e   s .

c  nˆ  Vda DN sis Dt  lim  t  0 N sist ( t   t )  N sis ( t )  t DN sis Dt  lim  t  0 N 3 ( t   t )  N 2 ( t   t  t )  N 2 ( t )  N 1 ( t )  lim  t  0 N 2 ( t   t )  N 1 ( t   t  t )  N 2 ( t )  N 1 ( t )  lim  t  0 N 3 ( t   t )   t N 1 ( t   t ) DN sis Dt  lim  t  0 N v .

C ( t   t )  N V .

C ( t )  t  lim  t  0 N 3 ( t   t )   t N 1 ( t   t )

DN sis Dt  lim  t  0 N v .

C ( t   t )  t  N V .

C ( t )  lim  t  0 N 3 ( t   t )   t N 1 ( t   t ) DN sis Dt  dN v .

c dt  lim  t  0 N 3 ( t   t )   t N 1 ( t   t ) N 3 ( t   t )   A 3  nˆ  V  tdA 3 N 1 ( t   t )    A 1  nˆ  V  tdA 1

N 3 ( t   t )  N 1 ( t   t )   s .

c  nˆ  V  tdA DN sis Dt  dN v .

c dt  lim  t  0 N 3 ( t   t )   t N 1 ( t   t ) DN sis Dt  dN v .

c dt  s .

c   nˆ  VdA DN sis Dt  d dt v  .

c  d V  s .

c   nˆ  VdA Teorema de Transporte de Reynolds => Transformação sistema para volume de controle.

DN sis Dt  d dt v  .

c  d V  s .

c   nˆ  VdA Taxa de variação da propriedade extensiva no V.C

Fluxo da propriedade extensiva através da superfície de controle ≠ 0 somente aonde o fluido atravessa a superfície de controle

Conservação da massa

   O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e volume de controle é o princípio da conservação de massa. A massa de um sistema permanece constante.

Em linguagem matemática:

Dm Dt Sistema



0

Equação da conservação da massa

 Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:

DN Sistema Dt



d dt VC

  

d

  

SC

 

V

  

dA

 Para deduzir a formulação para volume de controle da conservação de massa, fazemos:

N



massa



m

  

N m



m m



1 N

  

1 m

Equação da conservação da massa

 Que substituídos na equação genérica do TTR fornece:

DN Sistema Dt



d dt VC

 

d

  

SC



V

  ˆ

dA

 Da conservação da massa do sistema:

DN Sistema



0 Dt

Equação da conservação da massa

Variação interna da massa no V.C.

Fluxos de entrada e saída na S.C.

d dt VC

  

d

  

SC



V

 

dA

 0

Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle

Casos Especiais

 Volume de controle não deformável:

Volume de controle não deformável Saída Entrada

Taxa de massa acumulada Taxa de massa que sai Taxa de massa que entra

d dt



VC



d

 

i n

  1  

i u i A i



sai



j m

  1  

j u j A j



entra

 0

Casos Especiais

 Escoamento permanente: Variação interna da massa no V.C.

Fluxos de entrada e saída na S.C.

0

d dt VC

  

d

  

SC



V

 

dA

 0

SC

 

V

 

dA

 0

Casos Especiais

 Escoamento incompressível (propriedades do fluido são constantes): 

d dt VC



d

  

i n

  1 

u i A i



sai

 

j m

  1

u j A j entra

 0

d



dt



i n

  1  

i i sai



j m

  1

u j A j entra

 0

Casos Especiais

   Escoamento incompressível (propriedades do fluido são constantes); Regime permanente; Volume de controle não deformável:

i n

 

1

 

i i sai



j m

 

1 u j A j entra i n

 

1

 

i sai



j m

 

1

 

j entra

Entrada A 1 , u 1

Caso mais simples

Volume de controle não deformável Saída A 2 , u 2

u 1 A 1



u 2 A 2 Q 1



Q 2

Exercício 1

Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no diagrama. As áreas das seções são: A 1 = 0,2 m 2 ; A m 2 3 = 0,2 m 2 ; A 3 = 0,15 m 2 . O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício no ponto 4, com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 /s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são u 1 = 5 m/s e u m/s. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.

3 = 12

Exercício 2

Um reservatório se enche de água por meio de duas entradas unidimensionais. A altura da água é h. (a) Encontre uma expressão para a variação da altura da água, dh/dt. (b) Calcule dh/dt para D 1 = 25 mm, D 2 = 75 mm, u 1 = 0,9 m/s, u 2 = 0,6 m/s e A res = 0,18 m 2 , considerando a água a 20 ºC.

aberto

Lista de exercícios

Exercício 3